非線性蘭姆波在厚度緩慢變化和衰減下的特性分析*

左煒翌 安志武? 張碧星

(1 中國(guó)科學(xué)院聲學(xué)研究所聲場(chǎng)聲信息國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室北京 100190）

(2 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)北京 100190）

0 引言

板殼結(jié)構(gòu)廣泛用于機(jī)械、民用和航空航天等領(lǐng)域。這些結(jié)構(gòu)在時(shí)變載荷下由于疲勞產(chǎn)生的微裂紋會(huì)降低材料性能，進(jìn)而引發(fā)斷裂。因此，在材料早期疲勞時(shí)檢測(cè)微裂紋對(duì)于避免工程部件和結(jié)構(gòu)的災(zāi)難性故障非常重要。非線性蘭姆波可以長(zhǎng)距離傳輸并檢測(cè)整個(gè)板殼結(jié)構(gòu)的內(nèi)部缺陷，因此在超聲無(wú)損檢測(cè)和結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-4]。

一些理論研究討論了蘭姆波二次諧波的產(chǎn)生機(jī)制和效率。de Lima等[5]和Deng等[6-7]使用二階微擾近似和模態(tài)分析方法研究了蘭姆波二次諧波生成的復(fù)雜問(wèn)題。由于蘭姆波各個(gè)模式具有色散特性，在基頻波和二次諧波的波數(shù)不匹配時(shí)會(huì)產(chǎn)生拍頻效應(yīng)，二次諧波難以隨傳播距離增加而累積。S0模態(tài)在低頻范圍內(nèi)的色散非常微弱，相比其他模態(tài)容易產(chǎn)生累積非線性效應(yīng)。Zuo等[8]和Wan等[9]分析了由S0模態(tài)產(chǎn)生的非線性蘭姆波，測(cè)量了一段傳播距離范圍內(nèi)線性增加的S0模式的二次諧波。在某些場(chǎng)景下，變厚度板殼更接近實(shí)際工程結(jié)構(gòu)。Hu等[10]基于對(duì)稱蘭姆波模式分析了緩慢線性變厚板中非線性導(dǎo)波的理論模型的微擾法近似解，并通過(guò)仿真模擬和實(shí)驗(yàn)對(duì)其進(jìn)行了驗(yàn)證。然而，在測(cè)量長(zhǎng)距離結(jié)構(gòu)或黏彈性材料時(shí)，導(dǎo)波的衰減會(huì)影響二次諧波的激發(fā)和接收[11-12]，導(dǎo)致模型失效。Kanda等[13]用多尺度法得到了均勻厚度板下的二次諧波衰減規(guī)律，但由于求解方程時(shí)將復(fù)波數(shù)近似成實(shí)數(shù)，使得在衰減較大的情況下結(jié)果不準(zhǔn)確。

為此，本文基于Hu等[10]的工作，完善了蘭姆波二次諧波在變厚度板中傳播的理論推導(dǎo)過(guò)程，使該理論適用于角度變化更大的變厚度板，并將理論的適用范圍推廣至黏彈性介質(zhì)。通過(guò)半解析計(jì)算給出了S0模式在厚度保持均勻、線性增加、線性減小、曲線變化下的二次諧波的累積和傳播規(guī)律，并利用有限元方法對(duì)該理論的適用范圍進(jìn)行了分析。

1 復(fù)數(shù)域的蘭姆波頻散曲線

蘭姆波是在固體板中傳播的超聲導(dǎo)波。由于波導(dǎo)界面存在自由邊界條件，縱波和橫波在上下邊界處相互轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生疊加和干涉，于是產(chǎn)生了一種與固體波導(dǎo)幾何形狀有關(guān)的超聲導(dǎo)波模式。因此蘭姆波具有多模式和色散特性。當(dāng)考慮聲波衰減時(shí)，蘭姆波的頻散曲線對(duì)應(yīng)的波數(shù)和相速度均是復(fù)數(shù)。本文以應(yīng)用廣泛的有機(jī)玻璃(PMMA)作為算例，表1列出了PMMA材料的參數(shù)，包括密度、縱波和橫波的聲速、對(duì)應(yīng)的衰減系數(shù)[14]和三階彈性常數(shù)[15]。

表1 PMMA的各項(xiàng)參數(shù)Table 1 Parameters of PMMA

PMMA是一種黏彈性材料，聲波在其中具有較大的衰減。基于Kelvin-Voight模型，其縱波速度和橫波速度都是復(fù)數(shù)：

其虛部項(xiàng)表示聲波的衰減。如圖1所示，將復(fù)速度帶入蘭姆波的頻散方程可以得到各個(gè)蘭姆波模式的頻散曲線。由于考慮了聲波的衰減，在給定頻厚積下，蘭姆波的任何模式都有負(fù)的速度虛部，因此傳播模式和非傳播模式不再有明顯的區(qū)分。

圖1 蘭姆波對(duì)稱模式在復(fù)數(shù)域的頻散曲線Fig.1 Dispersion curve of Lamb wave symmetric modes in complex domain

2 等厚度板中的蘭姆波二次諧波解析解

非線性聲波方程缺乏一般的研究方法，但在弱非線性效應(yīng)的情況下微擾法可以取得很好的近似。微擾法的基本思想是把待求的物理量表示成收斂的級(jí)數(shù)。該級(jí)數(shù)中的主要項(xiàng)是完全可解問(wèn)題的解，而高階項(xiàng)描述完全可解問(wèn)題相比實(shí)際問(wèn)題產(chǎn)生的偏差。參照?qǐng)D2中的坐標(biāo)，基于微擾法的思想，將蘭姆波的位移寫為基頻項(xiàng)和二階微擾項(xiàng)的和：

圖2 等厚度的平板Fig.2 The uniform-thickness plate

其中，需要滿足|u(2)|?|u(1)|。蘭姆波基頻的位移可以展開為各個(gè)模態(tài)的位移：

其中，A(1)n為第n個(gè)模式的振幅，ˉu(1)n(y)為單位振幅下的位移場(chǎng)。在實(shí)際測(cè)量時(shí)，如果測(cè)量得到了蘭姆波模式n的表面振動(dòng)位移uy(h)，則該模式的振幅為An=uy(h)/ˉuy(h)。

考慮三階彈性常數(shù)時(shí)，蘭姆波基頻項(xiàng)將產(chǎn)生體積力fi和表面應(yīng)力σij：

其中，δij表示克羅內(nèi)克函數(shù)，下標(biāo)表示愛因斯坦求和約定，上標(biāo)(1,1)表示體積力和表面應(yīng)力是基頻波位移的二次型，因此頻率是基頻波頻率的兩倍。將體積力作為外力，得到二倍頻的有源聲波方程：

同時(shí)在上下邊界y=±h處滿足自由邊界條件：

其中，σ(2)是二次諧波在僅考慮二階彈性系數(shù)(線性情況下)產(chǎn)生的應(yīng)力張量，ny是沿y軸方向的單位向量。將二倍頻的蘭姆波位移u(2)同樣展開為各個(gè)模式的和：

出于計(jì)算方便起見，二次諧波第n個(gè)模式的振幅包含了隨傳播距離x變化的相位項(xiàng)。

在超聲無(wú)損檢測(cè)的實(shí)際應(yīng)用中，由于高頻蘭姆波的激發(fā)和接收較為困難，通常使用低頻S0模式作為激發(fā)非線性蘭姆波的基頻波，并同樣接收二倍頻的S0模式作為檢測(cè)信號(hào)[8-10]。從圖1的頻散曲線可以看出，在頻厚積較小的部分，S0模式只有輕微的色散。而其他模式和S0模式相速度嚴(yán)重不匹配，所以難以產(chǎn)生累積的二次諧波。因此本文接下來(lái)也限定為S0模的基頻波和二次諧波。將位移公式(8)帶入有源聲波方程(6)和邊界條件(7)得到：

3 緩慢變厚度板的二次諧波方程

如圖3所示，當(dāng)板的厚度沿傳播距離發(fā)生變化時(shí)，對(duì)應(yīng)了圖1中蘭姆波頻厚積的變化，但是當(dāng)厚度變化足夠緩慢時(shí)，發(fā)生模式轉(zhuǎn)換和反射的振幅可以忽略不計(jì)，同時(shí)近似認(rèn)為依然滿足水平自由邊界條件。然而，式(9)中的相關(guān)物理量均會(huì)隨傳播距離x發(fā)生變化。因此式(9)需要改寫為

圖3 厚度緩慢變化的板Fig.3 The plate with slowly-varying thickness

其中：

該方程具有解：

其中包含二次諧波相位的累積項(xiàng)：

由于厚度變化d(x)的任意性，實(shí)際計(jì)算時(shí)需要借助圖1中的頻散曲線進(jìn)行數(shù)值積分求解。

Hu等[10]運(yùn)用了類似的方法，在角度為0.17°時(shí)完成了厚度線性變化板的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證工作。本文改進(jìn)了Hu等[10]的推導(dǎo)過(guò)程，使理論適用于角度更大的變厚度板，并將理論的適用范圍推廣至黏彈性介質(zhì)。

4 算例和理論成立條件

本文在4種不同幾何形狀的板中設(shè)置90 kHz的S0模式蘭姆波，使用式(18)進(jìn)行數(shù)值積分求解，并運(yùn)用有限元方法(Finite element method,FEM)進(jìn)行仿真驗(yàn)證。有限元仿真使用顯性動(dòng)力學(xué)程序，使用高斯調(diào)制的20個(gè)周期正弦波作為激勵(lì)信號(hào)。計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

在圖4(a)中，由于色散特性，蘭姆波二次諧波的傳播產(chǎn)生了拍頻效應(yīng)，色散長(zhǎng)度符合式(9)。不考慮聲波衰減時(shí)，二次諧波的振幅經(jīng)過(guò)色散長(zhǎng)度的整數(shù)倍后會(huì)歸零。當(dāng)考慮聲波衰減或板的厚度緩慢變化的情況時(shí)，拍頻效應(yīng)將不再嚴(yán)格地被滿足。二次諧波的振幅依然會(huì)沿著傳播距離而振蕩，但在基頻能量消失前不會(huì)歸零。如圖4(b)～圖4(d)所示，基于不同幾何形狀的板，二次諧波的振幅累積具有不同的特性。

圖4 4種長(zhǎng)度為1 m的板中的二次諧波振幅Fig.4 Second harmonic amplitudes in four plates with length of one meter

該半解析方法與有限元仿真結(jié)果吻合度較高，據(jù)此，基于有限元仿真的結(jié)果可以討論該理論成立的條件。通過(guò)前文的分析可以得出該理論經(jīng)過(guò)了3處近似：

(1)微擾近似。微擾近似要求振幅不能過(guò)大，累計(jì)非線性諧波相比起基頻波是一個(gè)小量。一些實(shí)驗(yàn)中典型的二次諧波振幅會(huì)小2～3個(gè)數(shù)量級(jí)。

(2)無(wú)散射近似。Feng等[16]提出了一種半解析計(jì)算方法，可用于計(jì)算時(shí)間上無(wú)限長(zhǎng)的蘭姆波在變截面的板中的散射情況。另外也可以基于有限元仿真結(jié)果判斷基頻波的能流大小。對(duì)于坡度變化最大的圖4(d)模型，其最大角度為5.5°，有限元計(jì)算結(jié)果表明基頻波的能流在通過(guò)高斯變化的窄邊后損失小于1%，可以近似認(rèn)為在傳播過(guò)程中無(wú)散射發(fā)生。

(3)小角度近似。當(dāng)厚度變化的角度過(guò)大時(shí)，式(7)表示的上下水平自由邊界條件不再得到滿足。

通過(guò)第4節(jié)的4個(gè)算例發(fā)現(xiàn)，在坡度小于5°，同時(shí)最大厚度不超過(guò)最小厚度兩倍的情況下，可以很好地滿足上述的近似條件，使得該理論方法與有限元仿真的結(jié)果一致。

5 結(jié)論

本文運(yùn)用微擾法推導(dǎo)了考慮聲波衰減時(shí)在厚度緩慢變化板中蘭姆波二次諧波的波動(dòng)方程，并通過(guò)半解析方法給出了S0模式二次諧波的累積和傳播規(guī)律。用有限元仿真驗(yàn)證了理論，并分析了理論成立的條件。結(jié)果表明，在滿足微擾近似、無(wú)散射近似、小角度近似的情況下，本文的理論模型具有較高的精度。因此，非線性蘭姆波檢測(cè)技術(shù)有望應(yīng)用于波導(dǎo)厚度緩慢變化和存在衰減的情況。