預(yù)科高等數(shù)學(xué)課程思政教學(xué)探索①
——以拉格朗日中值定理為案例

王 旭，苗 麗，汪文帥

（1.寧夏大學(xué)民族預(yù)科教育學(xué)院，寧夏 銀川 750002；2.寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院，寧夏 銀川 750002）

習(xí)近平總書記指出：“要提升思想政治教育親和力和針對(duì)性，滿足學(xué)生成長發(fā)展需求和期待，其他各門課都要守好一段渠、種好責(zé)任田，使各類課程與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)?！盵1]

長期以來，高校思想政治教育與專業(yè)知識(shí)教育相互隔絕，普遍存在將高校思想政治工作當(dāng)作思想政治理論課的事，或?qū)⑺枷胝谓逃闯奢o導(dǎo)員、班主任和黨團(tuán)組織的事，各類課程教師主要是給學(xué)生傳授系統(tǒng)的知識(shí)，忽視或不重視育人的崇高使命，出現(xiàn)“教書”和“育人”相互脫節(jié)的現(xiàn)象。在高校思想政治教育工作面臨環(huán)境愈加復(fù)雜的今天，越來越多的高校教育工作者認(rèn)識(shí)到，單純依靠德育課或思想政治理論課已很難適應(yīng)思想政治教育的現(xiàn)實(shí)發(fā)展需求，也不利于“立德樹人”目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。

一、課程思政理念的誕生

如何打破長期以來思想政治教育與專業(yè)教育相互隔絕的“孤島效應(yīng)”，將“立德樹人”貫穿高校教學(xué)全過程、全方位、全員之中，推動(dòng)思政課程與課程思政協(xié)同前行、相得益彰，構(gòu)筑育人大格局，是新時(shí)代中國高校面臨的重要任務(wù)之一。在這樣的背景下，課程思政的理念與實(shí)踐應(yīng)運(yùn)而生。

課程思政將思想政治教育的精神融入所有專業(yè)課程中，構(gòu)建各類課程與思想政治理論課同向同行、形成協(xié)同效應(yīng)的思想政治理論教育課程體系。近年來，這種教育教學(xué)理念得到廣泛關(guān)注，相關(guān)研究主要體現(xiàn)在課程思政的內(nèi)涵、高校課程思政建設(shè)實(shí)施路徑以及課程思政建設(shè)存在的問題和原因等方面。

（一）課程思政的內(nèi)涵

邱偉光認(rèn)為課程思政就是讓高校所有課程發(fā)揮思政作用，高校所有教師引導(dǎo)學(xué)生把所學(xué)知識(shí)內(nèi)化于心，外化于行[2]。高德毅認(rèn)為高校課程改革的各個(gè)環(huán)節(jié)都要把對(duì)大學(xué)生進(jìn)行的思想政治教育融入課程思政，強(qiáng)調(diào)“課程承載思政”與“思政寓于課程”[3]。石書臣則從課程思政與思政課程的維度進(jìn)行辨析，認(rèn)為它的本質(zhì)就是一種課程模式，是以潤物無聲的途徑將思政元素融入正常課程教育教學(xué)之中，這種融入是全流程、全方位的，相比之前的德育教學(xué)更加立體[4]。趙鶴玲認(rèn)為課程思政是將立德樹人視為教育基本任務(wù)的綜合教育理念，是一項(xiàng)系統(tǒng)工程，認(rèn)為它從根本上回應(yīng)了“培養(yǎng)什么樣的人、如何培養(yǎng)人以及為誰培養(yǎng)人”的根本問題[5]。

（二）課程思政建設(shè)實(shí)施路徑

石麗艷從協(xié)同育人的角度提出促進(jìn)高校課程思政建設(shè)的實(shí)施路徑，認(rèn)為全面挖掘德育思政元素，應(yīng)在構(gòu)建全面思政體系上下功夫，形成各地區(qū)之間、各高校之間、各專業(yè)課程之間的課程資源協(xié)同育人機(jī)制；應(yīng)在打造立體育人格局上下功夫，充分發(fā)掘課程體系德育元素；應(yīng)在創(chuàng)新課程思政方法上下功夫，引導(dǎo)教師自覺踐行立德樹人理念[6]。陸道坤認(rèn)為應(yīng)該以課程為載體，將思想政治教育的原則、要求和內(nèi)容與課程設(shè)計(jì)、教材開發(fā)、課程實(shí)施、課程評(píng)價(jià)等有機(jī)結(jié)合起來[7]。趙鶴玲從挖掘課程思政元素、找準(zhǔn)學(xué)生興趣點(diǎn)、教師思想道德修養(yǎng)和交流、頂層設(shè)計(jì)四個(gè)方面給出了高校課程思政建設(shè)的對(duì)策建議[5]。楊守金和夏家春提出了高校課程思政建設(shè)的幾個(gè)關(guān)鍵問題：明確分工協(xié)作育人的理念；確立分工協(xié)作育人聯(lián)動(dòng)保障制度；抓好課程思政協(xié)作育人的關(guān)鍵環(huán)節(jié)[8]。

（三）高校課程思政建設(shè)存在的問題及原因探析

石書臣認(rèn)為長期以來，實(shí)用性、知識(shí)性課程更受重視，而教導(dǎo)做人的思想政治教育課程受到忽視，甚至不受歡迎，特別是在一些專業(yè)課教育教學(xué)中輕視、忽視思想政治教育已經(jīng)成為一個(gè)傾向[9]。趙鶴玲指出，當(dāng)前課程思政面臨的困境主要表現(xiàn)為思政課程大多采用傳統(tǒng)大班教學(xué)，理論知識(shí)與實(shí)踐結(jié)合不緊密，課堂缺少活力。專業(yè)課教學(xué)與思想理論課長期存在分離的情況，部分專業(yè)課只注重專業(yè)知識(shí)的教學(xué)，而忽視了學(xué)生思想道德的培養(yǎng)[5]。陸道坤從課程的視角分析課程思政在建設(shè)過程中存在問題的原因，他認(rèn)為高校課程思政建設(shè)缺乏長久規(guī)劃、缺乏系統(tǒng)規(guī)劃、缺乏專業(yè)師資隊(duì)伍、缺乏科學(xué)合理的評(píng)價(jià)體系和制度、缺乏課程間有效分工協(xié)作是制約高校課程思政建設(shè)的重要原因[7]。

二、預(yù)科數(shù)學(xué)課程思政的實(shí)施背景

預(yù)科教育作為高中向本科的過渡階段，進(jìn)行思想政治教育和文化課程學(xué)習(xí)的同時(shí)，還應(yīng)進(jìn)行民族團(tuán)結(jié)教育，促進(jìn)各民族交往、交流、交融，鑄牢中華民族共同體意識(shí)?？紤]到預(yù)科階段的特殊性，探索適合預(yù)科生的課程思政教學(xué)策略顯得尤為必要。

目前，寧夏大學(xué)民族預(yù)科教育學(xué)院主要開設(shè)大學(xué)語文、大學(xué)英語、高等數(shù)學(xué)等必修課。其中，預(yù)科高等數(shù)學(xué)課程的大致內(nèi)容為：函數(shù)與極限、導(dǎo)數(shù)與微分、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分和定積分及其應(yīng)用。這些內(nèi)容起到了銜接高中與大學(xué)數(shù)學(xué)課程的作用，其思想與大學(xué)的數(shù)學(xué)課程相同，從思想上引導(dǎo)更能激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課程的興趣，達(dá)到循序漸進(jìn)的效果，因此這些內(nèi)容成為融入課程思政的最佳載體。對(duì)于理科生而言，高等數(shù)學(xué)課程培養(yǎng)的思想、方法和興趣，同樣適用于本科相關(guān)數(shù)學(xué)課程及專業(yè)課程的學(xué)習(xí)，是學(xué)生后續(xù)進(jìn)入本科專業(yè)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)；對(duì)于文科生而言，更能讓他們體會(huì)數(shù)學(xué)思想和文化，文理融合，培養(yǎng)兼具人文和科學(xué)素養(yǎng)的復(fù)合型人才。因此，預(yù)科高等數(shù)學(xué)課程在預(yù)科階段的地位十分重要。然而，如何通過課堂教學(xué)主渠道探索適合預(yù)科生的高等數(shù)學(xué)課程思政教學(xué)模式，這就需要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，充分挖掘課程所蘊(yùn)含的思政元素，融思政和課程于一體。因而，關(guān)于預(yù)科高等數(shù)學(xué)課程思政的教學(xué)探索與實(shí)踐的研究也顯得尤為必要和迫切。

預(yù)科數(shù)學(xué)課程思政建設(shè)研究成果主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面。一是在預(yù)科數(shù)學(xué)課程融入課程思政的教學(xué)策略和具體路徑研究方面，沈俊探討了使預(yù)科生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)、掌握數(shù)學(xué)技能、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維的教學(xué)模式[10]，王勇兵從思政意識(shí)、思政元素和思政實(shí)踐三個(gè)方向提出了預(yù)科數(shù)學(xué)課程與思政教育融合的具體路徑[11]，李想調(diào)查研究了上海理工大學(xué)一年制預(yù)科生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，結(jié)合其學(xué)習(xí)效果提出了融入課程思政的高等數(shù)學(xué)教育教學(xué)策略[12]。二是在某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的課程思政教學(xué)研究方面，趙娟等以函數(shù)的連續(xù)性為例，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，以外交故事、自然現(xiàn)象等巧妙地滲透文化自信、價(jià)值引領(lǐng)，給出融入課程思政的教學(xué)策略[13]。由此可見，思政元素具體如何融入課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的研究才剛剛起步，還有很大的研究空間。

三、拉格朗日中值定理的課程思政教學(xué)設(shè)計(jì)

微分中值定理一節(jié)包括羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，知識(shí)體系完整，蘊(yùn)含思政元素豐富，知識(shí)體系和思政元素結(jié)合緊密。本文以拉格朗日中值定理的課程思政教學(xué)為案例，探討如何將思政元素融入課堂教學(xué)，達(dá)到知識(shí)傳授與價(jià)值引領(lǐng)的統(tǒng)一，最終達(dá)到“立德樹人”的目的。

首先引導(dǎo)學(xué)生回顧前一節(jié)所學(xué)羅爾定理的條件與結(jié)論：

如果函數(shù)f（x）滿足：

（1）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；

（3）端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b）；

那么在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ（a＜ξ＜b），使f′（ξ）=0 成立[14]。

此時(shí)，引出拉格朗日中值定理：

如果函數(shù)f（x）滿足：

（1）在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)；

（2）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)；

那么在（a，b）內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ（a＜ξ＜b），使得f（b）-f（a）=f（ξ）·（b-a）成立[14]。

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生比較拉格朗日中值定理和羅爾定理的條件和結(jié)論，學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)定理內(nèi)在聯(lián)系緊密，可嘗試用羅爾定理證明拉格朗日中值定理。證明的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù) φ（x），使得 φ（a）=φ（b）。下面結(jié)合函數(shù)圖像，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)，構(gòu)造函數(shù)的關(guān)鍵是函數(shù)f（x）與弦AB 在區(qū)間端點(diǎn)是重合的。抓住此關(guān)鍵點(diǎn)，可以構(gòu)造滿足要求的輔助函數(shù)，利用羅爾定理可證明拉格朗日中值定理。

它們?cè)趧?dòng)！猛然意識(shí)到了這一點(diǎn)，他的汗毛都炸了起來，本能地向下一縮身子，四只節(jié)足彎曲蓄勢(shì)，另外兩只則高高揚(yáng)起，橫斜在身前，做好了隨時(shí)攻防的準(zhǔn)備。

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考如下問題：常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零，那么它的逆命題成立嗎？

逆命題：如果函數(shù)f（x）在區(qū)間I 上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么f（x）在區(qū)間I 上是一個(gè)常數(shù)。

引導(dǎo)學(xué)生分析：如果對(duì)于任意x1，x2∈I，均有f（x1）=f（x2），這樣根據(jù)x1和x2的任意性，可知f（x）在區(qū)間I 上是一個(gè)常數(shù)。

怎樣證明f（x1）=f（x2）？引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步理解拉格朗日中值定理的實(shí)質(zhì)，即函數(shù)增量和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，學(xué)生嘗試?yán)美窭嗜罩兄刀ɡ斫o出證明：

函數(shù)f（x）在［x1，x2］上連續(xù)，在（x1，x2）內(nèi)可導(dǎo)，因而利用拉格朗日中值定理可知f（x2）-f（x1）=0，即f（x2）=f（x1）。

有了這個(gè)命題的證明后，教師引導(dǎo)學(xué)生嘗試證明不等式：

分組討論，教師根據(jù)討論情況適時(shí)啟發(fā)：拉格朗日中值定理的實(shí)質(zhì)是什么？函數(shù)增量如何構(gòu)造？結(jié)合問題實(shí)際，巧妙利用ln1=0，就可找到破解問題的關(guān)鍵：構(gòu)造函數(shù)f（t）=ln（1+t），t∈［0，x］，利用拉格朗日中值定理證明該不等式。

至此，拉格朗日中值定理的引入及定理的內(nèi)容、證明和在解題中的具體應(yīng)用已講解結(jié)束。類似拉格朗日中值定理的學(xué)習(xí)方法，引導(dǎo)學(xué)生思考如果改變拉格朗日中值定理?xiàng)l件和結(jié)論是否會(huì)產(chǎn)生一個(gè)新的定理？引導(dǎo)學(xué)生通過思考、質(zhì)疑自學(xué)柯西中值定理，并引導(dǎo)學(xué)生理解二者之間的關(guān)系，即柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣。通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，一方面學(xué)生自然地明白了羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的關(guān)系；另一方面這節(jié)課所學(xué)到的學(xué)習(xí)方法，尤其是以思考質(zhì)疑的方式提出問題、分析問題和解決問題的方法，均適用于其他課程的學(xué)習(xí)或者實(shí)際問題的解決。

四、拉格朗日中值定理教學(xué)中體現(xiàn)的思政元素

（一）思考質(zhì)疑的精神

羅爾定理中，f（x）在閉區(qū)間上連續(xù)、開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)容易滿足，但讓端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即f（a）=f（b），這個(gè)條件是相當(dāng)特殊的。教師引導(dǎo)學(xué)生思考如下問題：端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，太特殊，它使羅爾定理的應(yīng)用受到限制。如果去掉這個(gè)條件，會(huì)產(chǎn)生怎樣的結(jié)果？

如果把f（a）=f（b）這個(gè)條件去掉，但仍保留其余兩個(gè)條件，并相應(yīng)地改變羅爾定理的結(jié)論，也許會(huì)有一個(gè)新的發(fā)現(xiàn)，這個(gè)發(fā)現(xiàn)其實(shí)就是拉格朗日中值定理，在微分學(xué)中具有十分重要的地位。

由此可見，通過思考和質(zhì)疑，才能使學(xué)生更好地把握和理解這個(gè)定理的思想，增強(qiáng)自信，培養(yǎng)興趣。在預(yù)科期間塑造的數(shù)學(xué)思想、方法和興趣，同樣適用于本科階段數(shù)學(xué)課程及相關(guān)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)。

在學(xué)習(xí)過程中，還可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生查閱數(shù)學(xué)史或數(shù)學(xué)文化方面的著作，了解羅爾、拉格朗日和柯西的生平和成就，體會(huì)他們的科學(xué)精神。

無論時(shí)代如何變化，思考質(zhì)疑的精神、自學(xué)的能力都會(huì)讓學(xué)生受益一生。思考質(zhì)疑是大學(xué)精神所在，自學(xué)能力也是學(xué)生成才之本。在以后的工作和生活中，學(xué)生才更能想干事、能干事、干成事，沒有等出來的精彩，只有干出來的輝煌。剛好印證了習(xí)近平總書記所講的“社會(huì)主義是干出來的，幸福是奮斗出來的”。

（二）求真務(wù)實(shí)的作風(fēng)

利用羅爾定理可證明拉格朗日中值定理。類似羅爾定理，大多數(shù)學(xué)生可試著給出拉格朗日中值定理的幾何意義。通過拉格朗日中值定理的提出、證明、幾何意義和具體應(yīng)用的學(xué)習(xí)，提高了學(xué)生認(rèn)識(shí)問題、分析問題和解決問題的能力。學(xué)生進(jìn)一步感悟到只有掌握定理的實(shí)質(zhì)，結(jié)合具體情形，具體問題具體分析，才能正確解題。解題如此，做事、做人何嘗不是如此？因而，學(xué)生的思想認(rèn)識(shí)從具體的數(shù)學(xué)問題上升到學(xué)思結(jié)合、知行合一和求真務(wù)實(shí)的做人做事態(tài)度，體會(huì)到應(yīng)該踏踏實(shí)實(shí)學(xué)習(xí)，從點(diǎn)滴做起。點(diǎn)滴浸潤，微力無邊，引起思想、學(xué)習(xí)和生活發(fā)生大的變化，量變引起質(zhì)變，力爭完美，止于至善。這樣的課程思政教學(xué)設(shè)計(jì)自然地潤學(xué)生于無聲處，課程教學(xué)和思政教育無縫銜接，協(xié)同育人。

（三）謙虛謹(jǐn)慎的態(tài)度

羅爾定理中，端點(diǎn)處函數(shù)值相等，這個(gè)條件很特殊，結(jié)論也很特殊。利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可將羅爾定理的條件變得更寬松，結(jié)論更一般，然后進(jìn)行證明?？梢罁?jù)問題的幾何意義或定理的結(jié)論來構(gòu)造函數(shù)，看構(gòu)造的函數(shù)是否滿足羅爾定理的三個(gè)條件，然后利用羅爾定理證明拉格朗日中值定理。證明定理的思想和方法同時(shí)也體現(xiàn)了做學(xué)問的精神，即大膽假設(shè)，小心驗(yàn)證。

通過后面內(nèi)容的學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)形式更一般的拉格朗日中值定理就是將要學(xué)習(xí)的柯西中值定理。定理的條件、結(jié)論以及證明與羅爾定理和拉格朗日中值定理是類似的。因而，通過微分中值定理的學(xué)習(xí)，可在具體的情景中，培養(yǎng)學(xué)生謙虛謹(jǐn)慎的態(tài)度。這種優(yōu)秀的品質(zhì)可使學(xué)生更加理性，更能合情合理地處理生活、工作中的問題，讓學(xué)習(xí)、生活更美好。

（四）堅(jiān)持不懈的習(xí)慣

羅爾、拉格朗日和柯西都是著名的數(shù)學(xué)家，我們來簡單了解他們的成就。

羅爾（1652—1719），法國數(shù)學(xué)家。著名的有羅爾定理，出版著作《方程的解法》。

拉格朗日（1736—1813），法國著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家。在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中都有歷史性的貢獻(xiàn)，其中尤以數(shù)學(xué)方面的成就最為突出。

柯西（1789—1857），法國數(shù)學(xué)家。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有很高的建樹和造詣。很多數(shù)學(xué)定理和公式以他的名字命名，如柯西中值定理、柯西不等式、柯西積分公式等。

微積分的創(chuàng)始人之一牛頓說過，科學(xué)研究雖然是艱苦而又枯燥的，但要堅(jiān)持，因?yàn)樗o上帝的創(chuàng)造提出證據(jù)。我們認(rèn)識(shí)到，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)真理貴在堅(jiān)持，是堅(jiān)持成就了他們的人生。

因而，只有堅(jiān)持思考、努力上進(jìn)，才能更好地理解定理的精髓，取得新的進(jìn)步。就像下象棋一樣，日更一卒，長尾積累，鍥而不舍進(jìn)行預(yù)科高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)。只有通過長期堅(jiān)持不懈的努力，才能成就未來，成就人生。

五、結(jié)語

本文在充分厘清課程思政的提出背景、內(nèi)涵和實(shí)施路徑，高校課程思政建設(shè)存在的問題及原因的基礎(chǔ)上，以預(yù)科數(shù)學(xué)課程思政建設(shè)現(xiàn)狀為出發(fā)點(diǎn)，以預(yù)科高等數(shù)學(xué)課程中的拉格朗日中值定理教學(xué)設(shè)計(jì)為案例，充分挖掘其所蘊(yùn)含的課程思政元素。通過課堂教學(xué)主渠道，培根鑄魂，啟智潤心，在講授知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生思考質(zhì)疑、求真務(wù)實(shí)的科學(xué)精神，錘煉他們謙虛謹(jǐn)慎、堅(jiān)持不懈的精神品質(zhì)。這些精神和品質(zhì)適用于個(gè)人的發(fā)展，亦適用于強(qiáng)國建設(shè)的需要。

同時(shí)，該課程的其他內(nèi)容如極限與連續(xù)、導(dǎo)數(shù)與微分、不定積分和定積分等知識(shí)中都蘊(yùn)含著豐富的思政元素，教師可結(jié)合授課內(nèi)容，充分挖掘課程中所蘊(yùn)含的思政元素，探索適合預(yù)科生的高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式和培養(yǎng)模式，促使預(yù)科和本科的無縫銜接，達(dá)到課堂教學(xué)與思政教育的協(xié)同效應(yīng)。如此，通過課堂教學(xué)主渠道，達(dá)到教書育人和立德樹人的目的，更好地培養(yǎng)少數(shù)民族人才，更好地為民族團(tuán)結(jié)服務(wù)，更好地為社會(huì)繁榮發(fā)展服務(wù)，更好地為國家的長治久安服務(wù)。