數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

江蘇省昆山中學(xué)（215300）薛國(guó)清

高中數(shù)學(xué)是一門(mén)較為復(fù)雜的學(xué)科，也是一些學(xué)生的短板科目。許多教師深入研究高中數(shù)學(xué)教學(xué)方法，試圖在授課模式、技能傳授等方面有所創(chuàng)新。數(shù)形結(jié)合思想能夠有效幫助學(xué)生思考，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶，讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中形成數(shù)學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，它是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的思想方法。高中數(shù)學(xué)教師基于數(shù)形結(jié)合思想講述數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，直觀展現(xiàn)數(shù)學(xué)原理，可讓學(xué)生了解數(shù)形結(jié)合思想，形成良好的數(shù)學(xué)思維。

一、數(shù)形結(jié)合思想與高中數(shù)學(xué)的關(guān)系

“數(shù)”和“形”是高中數(shù)學(xué)的重要概念，也是最為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)形式，大部分的數(shù)學(xué)問(wèn)題和數(shù)學(xué)知識(shí)都圍繞著這兩個(gè)基本概念。在數(shù)學(xué)學(xué)科的演變和發(fā)展中，“數(shù)”和“形”越來(lái)越融會(huì)貫通。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，通過(guò)數(shù)形結(jié)合可以揭示數(shù)學(xué)條件和數(shù)學(xué)問(wèn)題之間存在的內(nèi)部規(guī)律和聯(lián)系，融合幾何直觀和代數(shù)意義，獲得良好的教學(xué)效果。高中數(shù)學(xué)的很多知識(shí)都與數(shù)形結(jié)合思想有關(guān)，比如曲線與方程的問(wèn)題、實(shí)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的問(wèn)題、復(fù)數(shù)問(wèn)題、三角函數(shù)問(wèn)題、代數(shù)式結(jié)構(gòu)問(wèn)題等。

數(shù)形結(jié)合思想能夠達(dá)到“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”的效果。在一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，“以形助數(shù)”能夠讓原本抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化，使問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單。學(xué)生可以通過(guò)圖形把握數(shù)的規(guī)律，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)解題方法，抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)。反之,針對(duì)一些圖形問(wèn)題，比如平面幾何、立體幾何等，學(xué)生可以運(yùn)用“以數(shù)解形”，讓圖形問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系更加明確，使圖形數(shù)量化。這樣，他們就可以用傳統(tǒng)的代數(shù)方法解決復(fù)雜多變的幾何問(wèn)題，提高解題過(guò)程的精確性和嚴(yán)謹(jǐn)性。通過(guò)數(shù)形結(jié)合，學(xué)生可以將新掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)踐方法相結(jié)合，在畫(huà)圖、對(duì)比的基礎(chǔ)上，深入吸收數(shù)學(xué)知識(shí)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)綜合能力。在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)，在不同的知識(shí)模塊中簡(jiǎn)化其使用過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生的學(xué)科技能獲得質(zhì)的提升。

二、數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值

（一）有助于激發(fā)熱情

高中數(shù)學(xué)學(xué)科具有特殊性，大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)都具有符號(hào)化和形式化的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)原理抽象且復(fù)雜，學(xué)習(xí)難度較大。通過(guò)調(diào)查可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前有部分學(xué)生認(rèn)為高中數(shù)學(xué)枯燥乏味，即便掌握了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和原理，也難以解決千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)問(wèn)題。在解決上述問(wèn)題的過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合思想能夠起到重要的作用。教師可以圖為輔，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、鉆研數(shù)學(xué)原理的熱情。數(shù)形結(jié)合思想能夠引導(dǎo)學(xué)生正確解讀數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)關(guān)系，幫助學(xué)生找到數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)關(guān)系的驗(yàn)證方法，指引學(xué)生反復(fù)探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，并從多個(gè)角度展開(kāi)論證。如在講解幾何問(wèn)題時(shí)，教師可以先將幾何知識(shí)抽象為代數(shù)知識(shí)，再將代數(shù)知識(shí)通過(guò)幾何手法展現(xiàn)出來(lái)，從而降低幾何問(wèn)題的難度。又如在學(xué)習(xí)求曲線方程的相關(guān)知識(shí)時(shí)，學(xué)生需要掌握直接法、幾何法、代入法等。學(xué)生要明確，運(yùn)用幾何法求曲線方程，只要結(jié)合曲線分析動(dòng)點(diǎn)存在的幾何特征，并融入平面幾何的定理，就可以找到動(dòng)點(diǎn)軌跡和平面幾何之間的聯(lián)系，然后從中抽象出已知量和動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，以等式的方式表達(dá)出來(lái)，經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)和整理后得到軌跡方程。教師必須引導(dǎo)學(xué)生抓住數(shù)形結(jié)合思想的精髓，掌握數(shù)形結(jié)合的方法，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

（二）有助于提升能力

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，大部分的基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思維都會(huì)在解題中有所呈現(xiàn)。如果學(xué)生缺乏解題能力，只會(huì)紙上談兵，那么數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)便難以實(shí)現(xiàn)。通過(guò)數(shù)形結(jié)合能夠讓問(wèn)題以更加清晰、直觀的形式展現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生在最短的時(shí)間內(nèi)找到解題思路和解題方法，獲得數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。比如，一道解析幾何題通常會(huì)涉及多個(gè)模塊的知識(shí)點(diǎn)，因此解題時(shí)學(xué)生必須在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)中搜索解題思路，將題干給出的信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化、整合，充分挖掘隱含條件，通過(guò)畫(huà)圖、對(duì)比，做到深入研究。解析幾何中常見(jiàn)的問(wèn)題形式有求直線的斜率、求兩點(diǎn)之間的距離等，很多問(wèn)題還涉及最值問(wèn)題。學(xué)生需要抓住題目中的代數(shù)式結(jié)構(gòu)、等式結(jié)構(gòu)所蘊(yùn)含的幾何特征，嘗試用圖形來(lái)展現(xiàn)問(wèn)題，建立直角坐標(biāo)系，將圓、直線、曲線等幾何圖形描繪出來(lái)，從而順利解答問(wèn)題。比如，直線上的兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2，7）和（8，1），求直線的斜率。在解這道題時(shí)，學(xué)生首先可以建立平面直角坐標(biāo)系，然后標(biāo)出這兩個(gè)點(diǎn)，畫(huà)出直線的幾何圖形，最后運(yùn)用斜率公式，求出直線的斜率。高中數(shù)學(xué)知識(shí)是復(fù)雜的、系統(tǒng)的，而數(shù)形結(jié)合思想能夠幫助學(xué)生拓展數(shù)學(xué)思維，發(fā)掘想象空間，構(gòu)建問(wèn)題模型。在解決一些比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，可以優(yōu)先考慮數(shù)形結(jié)合的方法，但這種方法并不是萬(wàn)能的，只有抓住其使用規(guī)律，才能充分發(fā)揮其價(jià)值。

（三）有助于傳遞信息

通過(guò)數(shù)形結(jié)合可以有效傳遞數(shù)學(xué)信息，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的記憶力。高中數(shù)學(xué)中有很多抽象的定理和概念，如果教師單純依靠解說(shuō)開(kāi)展教學(xué)，學(xué)生就會(huì)容易混淆概念，抓不住學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，同時(shí)，教學(xué)過(guò)程也會(huì)變得枯燥。針對(duì)這種情況，教師可以通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法為學(xué)生展示概念背后的含義，讓數(shù)學(xué)知識(shí)可視化、直觀化。比如在教學(xué)函數(shù)時(shí)，教師可以通過(guò)圖形展現(xiàn)反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等不同的函數(shù)類型，并在此基礎(chǔ)上歸納和系統(tǒng)化函數(shù)知識(shí)。通過(guò)數(shù)形結(jié)合，學(xué)生可以深入理解函數(shù)背后的意義，掌握函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等性質(zhì)，在腦海中呈現(xiàn)不同函數(shù)的圖像。教師還可以為學(xué)生展示平移變換、對(duì)稱變換、伸縮變換等函數(shù)變換方法，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)函數(shù)進(jìn)行變形，全方位學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)?？梢?jiàn)，函數(shù)的相關(guān)知識(shí)與數(shù)形結(jié)合有著緊密的聯(lián)系，如果不利用圖形，函數(shù)的意義就無(wú)從體現(xiàn)。再比如，如果教師單純采用推導(dǎo)公式的方式講解中值定理的相關(guān)知識(shí)，那么學(xué)生就會(huì)在大量的公式中迷失方向，難以理解中值定理。中值定理能夠反映函數(shù)和導(dǎo)數(shù)之間的特定關(guān)系，對(duì)公式推導(dǎo)具有重要作用。教師可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)圖形來(lái)理解中值定理的意義，鼓勵(lì)學(xué)生深入探究，開(kāi)發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維。

三、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

（一）在新授課中的應(yīng)用

在課堂教學(xué)中，教師可以將數(shù)形結(jié)合思想與知識(shí)講解相結(jié)合，幫助學(xué)生更加順利地理解和掌握知識(shí)內(nèi)容，提高學(xué)習(xí)效果。在新授課中，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)還比較陌生，教師可以運(yùn)用圖形輔助教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生深入思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，充分復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)內(nèi)容，讓學(xué)生建立完善的知識(shí)架構(gòu)，用舊知識(shí)輔助新知識(shí)的學(xué)習(xí)，并增強(qiáng)課堂教學(xué)內(nèi)容的直觀性。比如，在教學(xué)指數(shù)函數(shù)時(shí)，教師可以展現(xiàn)a＞1和0＜a＜1 的指數(shù)函數(shù)圖像，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生比較不同底的指數(shù)函數(shù)圖像。一般情況下，如果要判斷不同底的指數(shù)函數(shù)，可以先作出與各個(gè)函數(shù)圖像相交的直線x=1，再比較各交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，最后就可以得出底數(shù)的大小。如人教A 版必修第一冊(cè)教材第117 頁(yè)例3中的第（3）題要求比較1.70.3和0.90.3的大小。在接觸數(shù)形結(jié)合思想之前，學(xué)生只能通過(guò)計(jì)算的方法比較大小，即先把函數(shù)值求出來(lái)，再進(jìn)行對(duì)比。但是這道題很難通過(guò)計(jì)算求出這兩個(gè)值。為此，教師可以引入數(shù)形結(jié)合的方法，將1.70.3和0.90.3分別看作指數(shù)函數(shù)y=1.7x當(dāng)x=0.3 時(shí)的函數(shù)值，以及指數(shù)函數(shù)y=0.9x當(dāng)x=3.1時(shí)的函數(shù)值，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較，從而快速解決問(wèn)題。數(shù)形結(jié)合的方法可以將抽象的數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)借助圖形展現(xiàn)出來(lái)，將抽象化為形象，降低數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)難度，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。

（二）在課后練習(xí)中的應(yīng)用

高中階段是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法的重要時(shí)期，很多數(shù)學(xué)題都需要借助圖像進(jìn)行解答。教師可以在課后練習(xí)中滲透數(shù)形結(jié)合這種方法，以提升學(xué)生的解題思維。教師需要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)運(yùn)用這種方法，以使學(xué)生養(yǎng)成良好的思考習(xí)慣和做題習(xí)慣，提高做題效率。如“中心投影和平行投影”的課后習(xí)題中，有關(guān)于三視圖的題目。學(xué)生需要根據(jù)一個(gè)圖形的三視圖，畫(huà)出直觀圖。這一類數(shù)學(xué)題目非?？简?yàn)學(xué)生的空間想象能力和作圖能力。有些學(xué)生經(jīng)常在畫(huà)直觀圖時(shí)出錯(cuò)，這是由于沒(méi)有做好前期分析，對(duì)圖形本身不夠了解，以致腦海中呈現(xiàn)的立體圖形與實(shí)際情況存在差距。通過(guò)數(shù)形結(jié)合，學(xué)生可以從三視圖中分析出立體圖形的整體面貌，還可以用實(shí)際工具進(jìn)行模擬，進(jìn)而做出不同假設(shè)模型，最終完成直觀圖。這一類的課后習(xí)題有很多，教師要不斷滲透數(shù)形結(jié)合思想，以使學(xué)生及時(shí)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題當(dāng)中蘊(yùn)含的幾何信息，最終得到答案。數(shù)形結(jié)合思想的滲透需要循序漸進(jìn)，學(xué)生只有真正體會(huì)到數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值，才能在頭腦中構(gòu)建代數(shù)與幾何的聯(lián)系，熟練掌握這種思想方法。

（三）在實(shí)際解題中的應(yīng)用

教師需要在不同類型題目的解題過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生找準(zhǔn)該思想的使用方法，包括如何尋找?guī)缀涡畔?、如何作圖等，抓住所求問(wèn)題，不斷挖掘條件。教師的引導(dǎo)和滲透是一方面，而另一方面,學(xué)生必須學(xué)會(huì)獨(dú)立使用數(shù)形結(jié)合思想，這樣才能在高考和現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的解決中做到有效應(yīng)用。

1.在集合中的應(yīng)用

集合在整個(gè)高中階段是非?；A(chǔ)的知識(shí)，學(xué)生需要在必修一中學(xué)習(xí)，以打下堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。面對(duì)高一新生，數(shù)學(xué)教師不但要透徹地展示數(shù)學(xué)原理，而且要幫助學(xué)生擺脫初中的不良學(xué)習(xí)習(xí)慣，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)。并集和交集是集合知識(shí)中的難點(diǎn)問(wèn)題，學(xué)生需要理解并集、交集、補(bǔ)集等概念。集合之間的關(guān)系可以用Venn 圖來(lái)表示。例如，已知全集U＝｛x|x小于10，且x?N｝，A＝｛3，4，6，8｝，B＝｛1，2，6，8｝，求?u（A∪B），?u（A∩B）。講解這道題時(shí)，教師可以運(yùn)用圖示法，清晰地呈現(xiàn)A集合和B集合，讓學(xué)生了解兩個(gè)集合之間的交集和并集，用圖像來(lái)打開(kāi)學(xué)生的思路。集合知識(shí)是非?；A(chǔ)的內(nèi)容，圖形的表示過(guò)程也比較簡(jiǎn)單，教師只需要將重點(diǎn)放在文字與圖形的轉(zhuǎn)化上，以促使學(xué)生自主解答問(wèn)題，增強(qiáng)其求知欲望。在數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用過(guò)程中，教師不但要展現(xiàn)解題過(guò)程，而且要讓學(xué)生了解每一步的解題思路，將數(shù)形結(jié)合思想傳遞給學(xué)生，全面提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

2.在不等式中的應(yīng)用

不等式是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，高考中出題頻率較高。部分學(xué)生面對(duì)不等式問(wèn)題時(shí)常常會(huì)摸不著頭腦，以致解題正確率較低。針對(duì)這種情況，教師需要讓學(xué)生全面了解不等式的相關(guān)題型，為不等式類的題目提供解題思路。例如，f（x）是R上的偶函數(shù)，已知這個(gè)函數(shù)在［0，+∞）上是減函數(shù)，f（a）＝0（a＞0），求不等式xf（x）＜0 的解集。對(duì)于這道數(shù)學(xué)題，教師可以鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合題干內(nèi)容畫(huà)出f（x）的函數(shù)圖像，再根據(jù)xf（x）＜0 的條件，判斷出x和f（x）異號(hào)，得出x的取值范圍，即x＞a或-a＜x＜0。高中數(shù)學(xué)中的不等式問(wèn)題有多種類型，如解不等式、求參數(shù)取值范圍等。不等式問(wèn)題通常與函數(shù)問(wèn)題相關(guān)，在解題時(shí)，需要通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法展示問(wèn)題本質(zhì)，提煉有效條件，從而找到解決問(wèn)題的正確途徑，提高解題效率。數(shù)形結(jié)合思想是解決函數(shù)問(wèn)題的終極武器。教師需要在解題教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，以全面提高學(xué)生對(duì)函數(shù)問(wèn)題的理解能力和感知能力。

對(duì)高中數(shù)學(xué)而言，數(shù)形結(jié)合思想是一種極其重要的數(shù)學(xué)思維，它主張將代數(shù)與幾何相結(jié)合，讓抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)更加直觀，并以展現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，降低學(xué)習(xí)難度。數(shù)形結(jié)合思想可以在新授課和課后練習(xí)中應(yīng)用。在函數(shù)問(wèn)題、解析幾何問(wèn)題、代數(shù)問(wèn)題等的解決過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合思想都發(fā)揮著重要作用。值得注意的是，教師和學(xué)生必須正確認(rèn)識(shí)數(shù)形結(jié)合的可行性和有利性，挖掘問(wèn)題中的隱含條件，這樣才能充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值。