強(qiáng)Prüfer環(huán)上的半正則平坦模

張曉磊, 戴國成, 肖雪蓮, 齊 薇

(1. 山東理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 山東 淄博 255049; 2. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 成都 610066;3. 阿壩師范學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 汶川 623002)

本文設(shè)R是有單位元的交換環(huán),T(R)是R的完全商環(huán).根據(jù)文獻(xiàn)[1]: 環(huán)R的理想I稱為稠密理想是指理想(0:RI)={r∈R|Ir=0}=0; 如果理想I包含一個(gè)有限生成稠密子理想, 則稱I是半正則理想; 環(huán)R的理想I稱為正則理想是指I中至少存在一個(gè)正則元素.設(shè)I是R的理想, 記I-1={z∈T(R)|Iz?R}.如果環(huán)R的理想I滿足II-1=R, 則I稱為可逆理想.

有限生成非零理想都是可逆的整環(huán), 稱為Prüfer整環(huán)[2]. 文獻(xiàn)[3]給出了Prüfer整環(huán)的系統(tǒng)總結(jié). 由于Prüfer整環(huán)在環(huán)論研究中具有重要意義, 因此備受關(guān)注, 目前已將Prüfer整環(huán)推廣到一般交換環(huán)上. Butts等[4]給出了Prüfer環(huán)的概念, 即有限生成正則理想都是可逆理想的環(huán); Griffin[5]利用乘法理想理論給出了Prüfer環(huán)的等價(jià)刻畫; 肖雪蓮等[6]從模論的角度研究Prüfer環(huán), 給出了Prüfer環(huán)的等價(jià)刻畫.

由于Prüfer環(huán)定義較簡(jiǎn)單, 很難進(jìn)行更深入的研究. 因此, 為更多了解Prüfer環(huán), 文獻(xiàn)[7]引入了強(qiáng)Prüfer環(huán)的概念, 即有限生成半正則理想都是局部主理想的環(huán), 并證明了環(huán)R是強(qiáng)Prüfer環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)其Nagata環(huán)R(x)是Prüfer環(huán); 文獻(xiàn)[8]從有限生成半正則理想格論的角度刻畫了強(qiáng)Prüfer環(huán), 例如環(huán)R是強(qiáng)Prüfer環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R的所有有限生成半正則理想構(gòu)成的格Lsr(R)是分配格; 文獻(xiàn)[9]證明了環(huán)R是強(qiáng)Prüfer環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R是Prüfer環(huán), 且T(R)是強(qiáng)Prüfer環(huán). 強(qiáng)Prüfer環(huán)也與環(huán)的小finitistic維數(shù)密切相關(guān). 環(huán)R的小finitistic維數(shù)fPD(R)定義為

fPD(R)=sup{pdRM|M是超有限表現(xiàn)模, pdRM<∞},

這里超有限表現(xiàn)模是指存在有限生成的投射分解的模.文獻(xiàn)[10]證明了環(huán)R滿足fPD(R)=0當(dāng)且僅當(dāng)R是DQ(identity quotient)環(huán), 即有限生成半正則理想只有R的環(huán); 文獻(xiàn)[11]證明了連通的強(qiáng)Prüfer環(huán)R滿足fPD(R)≤1; 文獻(xiàn)[12]證明了任意強(qiáng)Prüfer環(huán)R的fPD(R)≤1, 并且通過實(shí)例說明對(duì)任意的n∈, 均存在Prüfer環(huán)R滿足fPD(R)=n.

本文主要從模論和同調(diào)理論的角度研究強(qiáng)Prüfer環(huán). 首先, 研究半正則平坦模、 半正則余平坦模和半正則余撓模, 并證明半正則平坦模類和半正則余撓模類構(gòu)成了完全的余撓理論; 其次, 利用半正則平坦模、 半正則余平坦模和半正則余撓模給出DQ環(huán)的等價(jià)刻畫以及強(qiáng)Prüfer環(huán)的等價(jià)刻畫, 即證明R是強(qiáng)Prüfer環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)半正則平坦模的任意子模都是半正則平坦模, 當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)R的任意有限生成理想都是半正則平坦模, 當(dāng)且僅當(dāng)半正則余平坦模的任意商模都是半正則余平坦模， 當(dāng)且僅當(dāng)h-可除模都是半正則余平坦模; 最后, 給出半正則凝聚環(huán)的相關(guān)刻畫, 并證明R是強(qiáng)Prüfer環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)任意R-模均有滿的半正則平坦包, 當(dāng)且僅當(dāng)任意R-模均有滿的半正則平坦預(yù)包.

1 余撓理論

顯然, 任意平坦模都是半正則平坦模, 任意半正則平坦模都是正則平坦模.對(duì)偶地, 可以給出半正則余平坦模的概念.

引理1設(shè)M是R-模, 則下列敘述等價(jià):

1)M是半正則平坦模;

2) 對(duì)任意有限生成半正則理想I, 自然同態(tài)I?M→R→R?M是單同態(tài);

3) 對(duì)任意有限生成半正則理想I, 自然同態(tài)σI:I?M→IM是同構(gòu);

4) 對(duì)任意內(nèi)射模E, HomR(M,E)是半正則余平坦模;

5) 若E是內(nèi)射余生成子, 則HomR(M,E)是半正則余平坦模.

證明: 1)?2).設(shè)I是有限生成半正則理想, 則有長(zhǎng)正合列

2)?3).設(shè)I是有限生成半正則理想, 則有如下交換圖:

從而σI是單同態(tài).顯然乘法同態(tài)σI是滿同態(tài), 所以σI是同構(gòu).

3)?1).設(shè)I是有限生成半正則理想, 由3)有如下長(zhǎng)正合列:

1)?4).設(shè)I是有限生成半正則理想,E是內(nèi)射模, 則有

(1)

4)?5)顯然成立.

引理2設(shè)R是環(huán), 則半正則平坦模類Fsr關(guān)于正向極限、 純子模和純商模封閉.

證明: 對(duì)于正向極限, 設(shè){Mi}i∈Γ是半正則平坦模構(gòu)成的正向系統(tǒng).則對(duì)任意有限生成半正則理想I,

對(duì)于純子模和純商模, 設(shè)f: 0→I→R→R/I→0是短正合列, 其中I是有限生成的半正則理想, 0→M→N→L→0是R-模的純正合列, 則可得如下正合列交換圖：

由蛇形引理知, 自然同態(tài)f:M?RI→M?RR和g:L?RI→L?RR都是單同態(tài), 從而M,L都是半正則平坦模.證畢.

顯然, 任意內(nèi)射模都是半正則余撓模, 任意半正則余撓模都是余撓模.由文獻(xiàn)[13]可知, 平坦模類和余撓模類組成一對(duì)完全的余撓理論.下面證明半正則平坦模類和半正則余撓模類也組成一對(duì)完全的余撓理論.

定理1設(shè)R是環(huán), 則 (Fsr,Csr)是完全的余撓理論.從而半正則平坦模類Fsr是蓋類, 半正則余撓模類Csr是包類.

證明: 顯然R是半正則平坦模, 并且半正則F關(guān)于擴(kuò)張和直和項(xiàng)封閉.由引理2和文獻(xiàn)[14]中定理3.4可得(Fsr,Csr)是平坦余撓理論.因此, 半正則平坦模類Fsr是蓋類, 半正則余撓模類Csr是包類.證畢.

命題1設(shè)R是環(huán), 則下列敘述等價(jià):

1)M是半正則余撓模;

2) 對(duì)于任意平坦模F, HomR(F,M)是半正則余撓模;

3) 對(duì)于任意投射模P, HomR(P,M)是半正則余撓模.

證明: 1)?2).設(shè)N是半正則平坦模,F是平坦模.則由短正合列0→K→P→N→0, 可得短正合列

0→K?RF→P?RF→N?RF→0，

其中P為投射R-模.因?yàn)閷?duì)任意有限生成半正則理想I均有

故有N?RF是半正則平坦R-模.由于

正合, 從而有短正合列

HomR(P,HomR(F,M))→HomR(K,HomR(F,M))→0.

此外,

2)?3)顯然.

3)?1).只需設(shè)P=R即可得結(jié)論.證畢.

2 同調(diào)理論

由文獻(xiàn)[10]中命題2.2知, 環(huán)R是DQ環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R的有限生成半正則理想只有R.如果任意R-模都是平坦R-模, 則環(huán)R稱為VN(von Neumann)-正則環(huán).下面給出任意R-模都是半正則平坦模的等價(jià)刻畫.

定理2設(shè)R是環(huán), 則下列敘述等價(jià):

1)R是DQ環(huán);

2) fPD(R)=0;

3) 任意R-模都是半正則平坦模;

4) 任意R-模都是半正則余平坦模;

5) 任意半正則余撓模都是內(nèi)射模;

6) 對(duì)任意有限生成理想J和有限生成半正則理想I, 均有I∩J=IJ;

7) 對(duì)任意有限生成半正則理想I,R/I是平坦模;

8) 對(duì)任意有限生成半正則理想I和a∈I, 均有c∈I使得(1-c)a=0.

證明: 1)?3), 1)?4)和1)?7)顯然.1)?2)參見文獻(xiàn)[10]中命題2.2.3)?5)由定理1可得.6)?7)?8)參見文獻(xiàn)[15]中定理1.2.15.

4)?1).設(shè)I是任意有限生成半正則理想, 則由4)可知R/I是投射模, 從而I是有限生成冪等理想.由文獻(xiàn)[16]中命題1.10知,I=〈e〉, 其中e是冪等元.從而1-e∈(0:RI)=0, 于是I=R.證畢.

下面給出非平坦的半正則平坦R-模和非半正則的正則平坦模實(shí)例.

例1設(shè)R是非域的零維Noetherian局部環(huán).根據(jù)文獻(xiàn)[17],R滿足fPD(R)=0.由于R是非域的局部環(huán), 故R不是VN-正則環(huán).根據(jù)定理2知, 存在非平坦的半正則平坦R-模.

例2由文獻(xiàn)[6]中定理2.13知,R是全商環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)任意R-模都是正則平坦模.文獻(xiàn)[18]給出了滿足fPD(R)>0的全商環(huán)的實(shí)例.從而存在正則平坦模不是半正則平坦模.

推論1設(shè)R是環(huán), 則下列敘述等價(jià):

1)R是半單環(huán);

2) 任意半正則平坦模是投射模;

3) 任意R-模都是半正則余撓模.

證明: 1)?2)和1)?3)顯然.

2)?1).由2)可知平坦模都是投射模.故R是完全環(huán), 即FPD(R)=0, 從而fPD(R)=0, 其中FPD(R)是指環(huán)R的大finitistic維數(shù).由定理2可知任意R-模都是半正則平坦模, 故都是投射模.因此R是半單環(huán).

2)?3).由定理1可得.證畢.

若M是一個(gè)內(nèi)射模的商模, 則R-模M稱為h-可除模.

定理3設(shè)R是環(huán), 則下列敘述等價(jià):

1)R是強(qiáng)Prüfer環(huán);

2) 半正則平坦模的任意子模都是半正則平坦模;

3) 平坦模的任意子模都是半正則平坦模;

4) 環(huán)R的任意理想都是半正則平坦模;

5) 環(huán)R的任意有限生成理想都是半正則平坦模;

6) 環(huán)R的任意有限生成半正則理想都是平坦模;

7) 環(huán)R的任意有限生成半正則理想都是投射模;

8) 半正則余平坦模的任意商模都是半正則余平坦模;

9)h-可除模都是半正則余平坦模.

證明: 2)?3)?4)?5), 7)?6)和8)?9)顯然.

5)?6).設(shè)I是任意有限生成半正則理想,J是任意有限生成理想, 則有如下短正合列:

0→I→R→R/I→0, 0→J→R→R/J→0.

從而可得

進(jìn)而J是半正則平坦模當(dāng)且僅當(dāng)I是平坦模.

6)?1).設(shè)I是有限生成半正則理想,m是R的極大理想, 則Im是有限生成平坦Rm-理想.由文獻(xiàn)[15]中引理4.2.1及文獻(xiàn)[19]中定理2.5可知,Im是自由Rm-理想.故rank(Im)≤1, 從而Im是Rm的主理想.

1)?6).設(shè)I是有限生成半正則理想,m是R的極大理想, 則Im是局部主的Rm-理想.設(shè)Im=〈x/s〉, 則由文獻(xiàn)[1]可得

6)?2).設(shè)M是半正則平坦模,N是M的子模.設(shè)I是任意有限生成半正則理想, 則I是平坦理想, 從而fdR(R/I)≤1.考慮長(zhǎng)正合列

6)?7).由文獻(xiàn)[20]中推論3.1可得.

9)?7).設(shè)I是有限生成半正則理想,M是R-模.考慮短正合列0→M→E→N→0, 其中E是內(nèi)射模, 則N是h-可除模.從而

因此I是投射理想.

7)?8).設(shè)I是有限生成半正則理想, 則I是投射理想, 從而pdR(R/I)≤1.設(shè)0→L→M→N→0是短正合列, 其中M是半正則余平坦模, 則有

3 半正則凝聚環(huán)

任意有限生成理想都是有限表現(xiàn)理想的環(huán)稱為凝聚環(huán). 例如Noether環(huán)和Prüfer整環(huán)等. 但強(qiáng)Prüfer環(huán)不一定是凝聚環(huán). 為此, 本文引入半正則凝聚環(huán)的概念, 并通過(預(yù))包類給出強(qiáng)Prüfer環(huán)新的刻畫.

定義4任意有限生成半正則理想I都是有限表現(xiàn)理想的環(huán)稱為半正則凝聚環(huán).

設(shè)R是非半遺傳弱總體維數(shù)為1的環(huán), 則R是強(qiáng)Prüfer環(huán), 但不是凝聚環(huán)[15]. 下列命題表明任意強(qiáng)Prüfer環(huán)必為半正則凝聚環(huán).

命題2設(shè)R是強(qiáng)Prüfer環(huán), 則R是半正則凝聚環(huán).

證明: 設(shè)I是R的有限生成半正則理想, 則由定理3可知I是投射理想, 從而是有限表現(xiàn)理想.證畢.

許多非整環(huán)的實(shí)例都是通過理想化R(+)M構(gòu)造的, 其中M是R-模[21].令R(+)M作為R-模同構(gòu)于R⊕M, 定義

(r,m)+(s,n)=(r+s,m+n),

(2)

(r,m)(s,n)=(rs,sm+rn).

(3)

在上述定義下,R(+)M成為有單位元(1,0)的交換環(huán).下面利用理想化構(gòu)造方法給出半正則凝聚環(huán)的實(shí)例.

命題3設(shè)D是凝聚整環(huán),K是D的商域.令R=D(+)K, 則R是半正則凝聚環(huán).此外,R是凝聚環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)D是域.

證明: 根據(jù)文獻(xiàn)[22]中注1知,R是強(qiáng)φ-環(huán), 所以Nil(R)=0(+)K, 且任意R-理想均可與Nil(R)比較.從而由文獻(xiàn)[23]中推論3.4可知,R的理想均形如I(+)K或0(+)L, 其中I是D的非零理想,L是K的D-子模.若I是D的非零理想, 則顯然I(+)K是R的半正則理想.若I(+)K是有限生成理想, 不妨設(shè)I(+)K由{(d1,x1),(d2,x2),…,(dn,xn)}生成, 則易證I由{d1,d2,…,dn}生成.因?yàn)镽是凝聚環(huán), 所以存在D-模短正合列Dm→Dn→I→0.由于R是平坦D-模, 故張量R得到D-模正合列Rm→Rn→I(+)K→0.易驗(yàn)證該正合列也是R-模正合列.從而I(+)K是有限表現(xiàn)R-理想.顯然, 有限生成R-理想0(+)L中的元素都是冪零元素, 從而不是半正則理想.所以R是半正則凝聚環(huán).

顯然若D是域, 則R是凝聚環(huán).下面說明若D不是域, 則R不是凝聚環(huán).注意到(0,1)R是有限生成R-理想.考慮自然短正合列0→L→R→(0,1)R→0, 則L=Nil(R)=0(+)K.由于D不是域, 所以K不是有限生成D-模, 從而不是有限生成D-模.由文獻(xiàn)[24]中引理2.2可知, 理想Nil(R)不是有限生成R-理想, 從而(0,1)R不是有限表現(xiàn)的.證畢.

定理4對(duì)于環(huán)R, 下列敘述等價(jià):

1)R是半正則凝聚環(huán);

2) 半正則平坦模的直積是半正則平坦模;

3) 平坦模的直積是半正則平坦模;

4)R的直積是半正則平坦模;

5) 半正則余平坦模的直向極限還是半正則余平坦模;

6) 半正則余平坦模關(guān)于純商模封閉;

7) 半正則余平坦模是預(yù)蓋類;

8) 半正則余平坦模是蓋類;

9) 對(duì)于任意半正則余平坦模N, 內(nèi)射模E均有HomR(N,E)是半正則平坦模;

10) 若E是內(nèi)射余生成子, 則對(duì)任意半正則余平坦模N均有HomR(N,E)是半正則平坦模;

11) 對(duì)任意半正則平坦模M, 內(nèi)射模E1和E2均有HomR(HomR(M,E1),E2)是半正則平坦模;

12) 若E1和E2是內(nèi)射余生成子, 則對(duì)任意半正則平坦模M均有HomR(HomR(M,E1),E2)是半正則平坦模.

證明: 2)?3)?4)顯然成立.

1)?2).設(shè)I是有限生成半正則理想, {Fi}i∈I是一族半正則平坦模構(gòu)成的集合.考慮如下交換圖:

4)?1).設(shè)I是有限生成半正則理想, 考慮如下交換圖：

5)?6)?7)?8).根據(jù)文獻(xiàn)[26]中引理3.4可得.

1)?9).設(shè)I是有限生成半正則理想,E是內(nèi)射模,N是半正則余平坦模.考慮短正合列0→I→R→R/I→0, 則有如下正合列交換圖(用(-,-)代替HomR(-,-)):

9)?10)和11)?12)顯然成立.9)?11)和10)?12)根據(jù)定理1可得.

10)?1).設(shè)I是有限生成半正則理想,N是半正則余平坦模,E是內(nèi)射余生成子, 則有如下交換圖:

由10)可知f是單態(tài)射, 故ψI是單態(tài)射, 從而由文獻(xiàn)[27]中命題8.14(1)可知,I是{R}-Mittag-Leffler模.又因?yàn)镮是有限生成理想, 故根據(jù)文獻(xiàn)[25]中定理2可知I是有限表現(xiàn)理想.證畢.

引理3設(shè)R是環(huán), 則R是半正則凝聚環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)半正則平坦模類Fsr是預(yù)包類.

推論2設(shè)環(huán)R是半正則凝聚環(huán), 且半正則平坦模類Fsr關(guān)于反向極限封閉, 則Fsr是包類.

證明: 由引理3可知得半正則平坦模類F是預(yù)包類, 從而由文獻(xiàn)[28]中推論6.3.5可知Fsr是包類.證畢.

引理4[29]設(shè)F是關(guān)于子模封閉的R-模類,f:M→F是F-包, 則f是滿射.

引理4給出了關(guān)于子模封閉模類包的性質(zhì).作為應(yīng)用, 可得下列結(jié)論.

定理5設(shè)R是環(huán), 則下列敘述等價(jià):

1)R是強(qiáng)Prüfer環(huán);

2) 任意R-模均有滿的半正則平坦包;

3) 任意R-模均有滿的半正則平坦預(yù)包.

證明: 2)?3)顯然.