基于度量本質(zhì) 積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)
——以“長(zhǎng)方形面積”學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)為例

福建省長(zhǎng)汀縣城關(guān)登俊小學(xué) 修煥然

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要前提。教師在教學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)歷，然后在數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中形成感性認(rèn)識(shí)、情緒體驗(yàn)和觀念意識(shí)；在進(jìn)一步的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，最后生長(zhǎng)為較高層次的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。下面以“長(zhǎng)方形面積”一課為例，談?wù)勗诙攘炕顒?dòng)中，如何幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

一、教材與學(xué)情

“長(zhǎng)方形面積”是人教版三年級(jí)下冊(cè)的教材內(nèi)容，對(duì)于三年級(jí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，在學(xué)習(xí)這一課前，他們已經(jīng)有了一定的度量經(jīng)驗(yàn)，能夠測(cè)量物體的長(zhǎng)度，并且知道了什么是面積，能夠通過(guò)數(shù)面積單位的方法計(jì)算圖形的面積并比較圖形的大小。長(zhǎng)方形面積是學(xué)生第一次通過(guò)公式的方法度量圖形的面積，并且長(zhǎng)方形面積公式的推導(dǎo)是后面學(xué)習(xí)所有圖形面積計(jì)算方法的基礎(chǔ)，甚至是體積計(jì)算方法的基礎(chǔ)，所以這節(jié)看似簡(jiǎn)單的課對(duì)于學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)是非常重要的。從前測(cè)可以發(fā)現(xiàn)，80%以上的學(xué)生在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形面積公式之前已經(jīng)知道了計(jì)算面積公式，并會(huì)加以應(yīng)用。

二、問(wèn)題與思考

在常規(guī)的課堂中，多數(shù)教師會(huì)采取這樣的流程進(jìn)行教學(xué)：一開(kāi)始，教師出示兩個(gè)不同形狀的長(zhǎng)方形，要求學(xué)生猜測(cè)它們的大小，學(xué)生無(wú)法利用觀察或重疊來(lái)比較，從而產(chǎn)生度量的需求；接著學(xué)生利用教師提供的面積單位度量長(zhǎng)方形的面積，很快完成了任務(wù)，并在擺的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，擺出了不同的圖形，通過(guò)觀察擺出的圖形以及同學(xué)的講解，發(fā)現(xiàn)擺的過(guò)程中一行擺的個(gè)數(shù)正好和長(zhǎng)相同，而寬正好是擺的行數(shù)，從而總結(jié)出長(zhǎng)方形的面積正好等于長(zhǎng)×寬，推導(dǎo)出了面積公式；然后教師就讓學(xué)生計(jì)算一些實(shí)際物體表面的面積，比如長(zhǎng)方形桌面的面積，學(xué)生很自然地開(kāi)始測(cè)量長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，列算式計(jì)算面積；最后還會(huì)進(jìn)行拓展，比如讓學(xué)生在方格紙中畫(huà)一個(gè)面積是16平方厘米的長(zhǎng)方形等操作活動(dòng)。

從教學(xué)流程來(lái)看，這一切很順利自然，學(xué)生看似已經(jīng)理解了長(zhǎng)方形面積公式，但通過(guò)課后訪談我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)于“長(zhǎng)和寬都是線段，為什么可以用測(cè)量長(zhǎng)度后再相乘的方法來(lái)求面積？”幾乎都不能給出清晰的解釋。為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢？回想之前的教學(xué)過(guò)程，我們讓學(xué)生用面積單位平鋪長(zhǎng)方形發(fā)現(xiàn)規(guī)律：在一個(gè)5×3的長(zhǎng)方形中，一行能擺5個(gè)面積單位，個(gè)數(shù)正好和長(zhǎng)的長(zhǎng)度數(shù)值相同；能擺3行，個(gè)數(shù)正好和寬的長(zhǎng)度數(shù)值相同。我們列出的算式是5×3，但是它的含義是“5個(gè)面積單位×3行=15個(gè)面積單位”。這個(gè)算式學(xué)生都能明白，可是如果換成“長(zhǎng)×寬”，算式的意義就變成了5cm×3cm=15cm2，這也就是學(xué)生的疑惑所在：為什么“長(zhǎng)度×長(zhǎng)度=面積”？

我們知道，公式是在平鋪的過(guò)程中產(chǎn)生的，面積公式中的長(zhǎng)表示的是一行能擺的面積單位的個(gè)數(shù)，寬表示的是擺的行數(shù)，只是正好和長(zhǎng)、寬的數(shù)據(jù)相同，所以借用了長(zhǎng)和寬的名稱，從而使學(xué)生真正理解公式的含義。為什么教材中不用“一行中面積單位的個(gè)數(shù)×行數(shù)”來(lái)表示長(zhǎng)方形面積，卻用“長(zhǎng)×寬”呢？長(zhǎng)方形中長(zhǎng)的每一厘米對(duì)應(yīng)一個(gè)面積單位，寬的每一厘米對(duì)應(yīng)一行，而且無(wú)論是用語(yǔ)言闡述還是動(dòng)手測(cè)量，“長(zhǎng)×寬”都要比用“一行中面積單位的個(gè)數(shù)×行數(shù)”更加簡(jiǎn)潔方便，所以，教材用“長(zhǎng)×寬”替換了“一行的個(gè)數(shù)×行數(shù)”。而這種替換，學(xué)生在之前的學(xué)習(xí)中是沒(méi)有接觸到的，是在對(duì)知識(shí)進(jìn)行歸納、概括的過(guò)程中收獲的新的經(jīng)驗(yàn)，是在不影響結(jié)果的前提下，用一個(gè)概念替換另一個(gè)概念，從而提高了解決問(wèn)題的效率。這就是這節(jié)課上學(xué)生積累的新的經(jīng)驗(yàn)——替換的經(jīng)驗(yàn)。隨著學(xué)生替換經(jīng)驗(yàn)的積累，學(xué)生明白了長(zhǎng)方形面積公式的真正含義，而且這個(gè)經(jīng)驗(yàn)在之后的學(xué)習(xí)中還會(huì)用到，比如長(zhǎng)方體體積公式的推導(dǎo)等。

三、設(shè)計(jì)與實(shí)施

在進(jìn)行學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)之前，我們先進(jìn)行思考。首先，本節(jié)課的重點(diǎn)應(yīng)該是探究長(zhǎng)、正方形面積的本質(zhì)是什么，可以創(chuàng)設(shè)哪些活動(dòng)讓學(xué)生來(lái)體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)這一本質(zhì)。其次，從度量的角度來(lái)看，長(zhǎng)方形面積的本質(zhì)是單位面積的累加，但是實(shí)際生活中沒(méi)有人拿著面積單位來(lái)測(cè)量某一平面的面積。最后，通過(guò)核心活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生建立模型間的關(guān)聯(lián)。怎樣使學(xué)生能夠用長(zhǎng)度刻畫(huà)面積，建立起幾何圖形中的“乘法模型”，這將是一個(gè)很了不起的思維飛躍。

（一）經(jīng)歷中形成活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾說(shuō)：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種活動(dòng)，這種活動(dòng)與游泳、騎自行車一樣，不經(jīng)過(guò)親身體驗(yàn)，僅僅看書(shū)本、聽(tīng)講解、觀察他人的演示是學(xué)不會(huì)的?！彼?，作為教師，我們能夠做的就是為學(xué)生精心設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生在活動(dòng)中積累足夠的經(jīng)驗(yàn)，讓他們親身經(jīng)歷才能記憶深刻。

比如在“利用面積單位鋪長(zhǎng)方形”的教學(xué)環(huán)節(jié)中，我們應(yīng)該讓學(xué)生充分經(jīng)歷“擺”長(zhǎng)方形面積的過(guò)程，這樣就可以發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生利用全鋪滿的方法，然后數(shù)出（計(jì)算出）長(zhǎng)方形的面積；也有的學(xué)生用5張1cm2的小紙片鋪滿一行，然后又鋪滿一列，推理出“每行可以擺5個(gè)，一共有3行”，然后列出算式“5×3”；也有個(gè)別學(xué)生手執(zhí)學(xué)具，不知如何下手，最后在同伴的幫助下，利用“全鋪滿”的方法解答了長(zhǎng)方形紙片的面積。

這一學(xué)習(xí)活動(dòng)就屬于經(jīng)驗(yàn)的生成環(huán)節(jié)。從學(xué)生的表現(xiàn)可以看出，學(xué)生在使用身邊的工具探究長(zhǎng)5cm、寬3cm的長(zhǎng)方形面積時(shí)，原有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)儲(chǔ)備的多少直接影響到問(wèn)題解決的速度與效果。不同層次的學(xué)生在經(jīng)驗(yàn)的培養(yǎng)方面需要教師不一樣的關(guān)注。采用活動(dòng)的形式，讓學(xué)生獨(dú)立經(jīng)歷動(dòng)手操作、探究的全過(guò)程，不僅暴露了學(xué)生原有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生的不同表現(xiàn)還有助于教師因材施教。學(xué)生也可以在獨(dú)立探究的過(guò)程中，對(duì)長(zhǎng)方形面積公式中蘊(yùn)含的“全鋪滿（疊合性）→鋪一行一列（乘法模型）→長(zhǎng)×寬（公式模型）”知識(shí)之間的聯(lián)系有更深的認(rèn)識(shí)。

我們可以看到，學(xué)生充分經(jīng)歷“擺”長(zhǎng)方形面積的過(guò)程，這一過(guò)程不僅豐富了感覺(jué)、知覺(jué)的經(jīng)驗(yàn)，而且生生之間的交流與互動(dòng)也為學(xué)生的思維碰撞提供了豐富的資源。由此可見(jiàn)，動(dòng)手操作不僅僅是直觀、形象的“手指運(yùn)動(dòng)”，更是豐富、生動(dòng)的思維活動(dòng)，并在推導(dǎo)長(zhǎng)方形面積公式這一過(guò)程中獲得了乘法的面積模型經(jīng)驗(yàn)。在課堂上，通過(guò)一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，學(xué)生在自主探究、合作交流中學(xué)會(huì)觀察、猜想、驗(yàn)證、推理、歸納等一系列數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生也只有在“親身經(jīng)歷”中獲得解決問(wèn)題的方法，才能真正積累單位累加的經(jīng)驗(yàn)。

（二）關(guān)聯(lián)中體會(huì)知識(shí)本質(zhì)

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累與獲得，常常與學(xué)生的觀察、操作、猜想、歸納、反思等數(shù)學(xué)活動(dòng)密切相關(guān)，并直接作用于解決問(wèn)題經(jīng)驗(yàn)的提升。要準(zhǔn)確、快捷地打開(kāi)問(wèn)題解決的大門，僅僅靠知識(shí)的壘疊是不夠的。知識(shí)的存在并不是孤立的、片面的，彼此之間存在關(guān)聯(lián)。對(duì)學(xué)生來(lái)講，發(fā)現(xiàn)不同知識(shí)間的關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)之間的遷移，對(duì)學(xué)習(xí)能夠起到事半功倍的作用。如“乘法的意義”與“長(zhǎng)方形面積”分別屬于“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”兩個(gè)領(lǐng)域。乘法是二年級(jí)上冊(cè)的知識(shí)，長(zhǎng)方形面積屬于三年級(jí)下冊(cè)的知識(shí)，這些知識(shí)之間如何建立起聯(lián)系呢？在教學(xué)時(shí)，我們可以安排以下活動(dòng)。

活動(dòng)一：估計(jì)桌面的面積，暴露已有經(jīng)驗(yàn)。因?yàn)?dm2和掌心大小相似，所以有學(xué)生用手的掌心部分度量桌面的面積，他們沿著長(zhǎng)平鋪了一行，又沿著寬平鋪了一列，然后兩量相乘推算出桌面的面積；也會(huì)有學(xué)生用手拃度量桌面的長(zhǎng)和寬，通過(guò)度量出長(zhǎng)和寬的數(shù)量，來(lái)估計(jì)長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度，從而計(jì)算出長(zhǎng)方形桌面的面積。

活動(dòng)二：測(cè)量、計(jì)算長(zhǎng)方形的面積。給學(xué)生15cm2大小的長(zhǎng)方形紙片，讓他們從學(xué)具袋子里拿出一些1cm2的小正方形進(jìn)行平鋪。有學(xué)生同樣采取了用單位面積平鋪的方法，一行鋪了5個(gè)1cm2的小正方形，一共鋪了三行，用3×5=15得出一共鋪了15個(gè)1cm2的面積單位，從而得出長(zhǎng)方形的面積是15cm2；還有的先沿著長(zhǎng)鋪了一行（一行鋪了5個(gè)），又沿著寬鋪了一列（一列鋪了3個(gè)），再列式計(jì)算3×5=15cm2。

活動(dòng)三：小組合作，選擇方法，測(cè)量桌子的面積。學(xué)生兩人合作測(cè)量桌面的長(zhǎng)和寬。有的組一個(gè)拿住直尺的左端對(duì)準(zhǔn)刻度0，另一個(gè)手拿直尺的右端，發(fā)現(xiàn)直尺較短不夠測(cè)量桌面的長(zhǎng)，于是拿來(lái)了一把長(zhǎng)的直尺接在直尺的右端，但還是不夠，又拿來(lái)了一把直尺拼接，最后測(cè)量出桌面的長(zhǎng)和寬，相乘得出桌面面積；還有的組一個(gè)用直尺量桌子的長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)直尺不夠長(zhǎng)，想到了用做標(biāo)記的方法測(cè)量，另一個(gè)用自己手中的尺子邊做標(biāo)記邊測(cè)量桌子的寬，最后兩人通過(guò)長(zhǎng)乘寬計(jì)算出桌面的面積。

從以上的活動(dòng)片段可以看出，學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形面積的認(rèn)識(shí)已經(jīng)有了一些經(jīng)驗(yàn)，知道長(zhǎng)方形的面積與長(zhǎng)和寬有關(guān)，能夠借助手拃和掌心這兩個(gè)測(cè)量工具測(cè)量桌面的面積，在親身實(shí)踐中積累了選擇測(cè)量單位和工具的經(jīng)驗(yàn)。有了第一次估計(jì)桌面的經(jīng)驗(yàn)，再讓學(xué)生經(jīng)歷第二次的操作活動(dòng)，測(cè)量5cm×3cm的長(zhǎng)方形面積，讓學(xué)生經(jīng)歷由具體到抽象的過(guò)程。其中，有學(xué)生采用了鋪滿的方法求得了長(zhǎng)方形的面積，對(duì)所測(cè)長(zhǎng)方形面積大小等于15個(gè)1cm2的單位面積之和有深刻的體驗(yàn)和認(rèn)識(shí)。還有學(xué)生只鋪了一行和一列，這一方法又比鋪滿的方法更簡(jiǎn)潔、更方便，學(xué)生是在理解鋪滿的基礎(chǔ)上又有了新的認(rèn)識(shí)。最后一個(gè)活動(dòng)，在面對(duì)桌面這樣一個(gè)較大的面積，學(xué)生放棄了用單位面積去平鋪的方法測(cè)量，體會(huì)到并不是所有長(zhǎng)方形的面積都需要通過(guò)實(shí)際操作一個(gè)一個(gè)累加而得出，而是要想方設(shè)法去尋求更簡(jiǎn)捷的方法。在前一個(gè)活動(dòng)的基礎(chǔ)上，有了平鋪的經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生能夠自己推理出長(zhǎng)方形的面積公式，并能理解其中的道理，發(fā)展了學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

在經(jīng)歷學(xué)習(xí)活動(dòng)、掌握長(zhǎng)方形面積公式的過(guò)程中，學(xué)生積累了測(cè)量的可加性經(jīng)驗(yàn)，深刻地體會(huì)到一維的線可以用尺子去度量長(zhǎng)度，二維的面也可以用單位面積去度量面積的大小，加深了學(xué)生對(duì)量及其單位實(shí)際意義的理解，為后續(xù)學(xué)習(xí)體積打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。學(xué)生能夠通過(guò)長(zhǎng)與寬和乘法行與列之間的比較，為乘法建立面積的模型。

通過(guò)創(chuàng)設(shè)一系列的活動(dòng)，教師不僅要幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)之間的直覺(jué)，還要促進(jìn)學(xué)生能夠利用數(shù)學(xué)的思維對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)進(jìn)行思考，并用于新知識(shí)的學(xué)習(xí)。將“知識(shí)本質(zhì)”作為新舊知識(shí)之間實(shí)現(xiàn)遷移的橋梁，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)具有很重要的價(jià)值。

四、反思與提高

首先，這樣的設(shè)計(jì)可以以知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程為活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷其中。數(shù)學(xué)知識(shí)是在逐漸發(fā)展、完善的，計(jì)算方法、公式是以知識(shí)本質(zhì)為基礎(chǔ)產(chǎn)生的，要讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程。經(jīng)歷“鋪滿→一行一列→公式”這樣的過(guò)程，也就是讓學(xué)生經(jīng)歷根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇合適的測(cè)量單位、測(cè)量工具的過(guò)程，由此讓學(xué)生在親身實(shí)踐的過(guò)程中積累選擇測(cè)量工具與測(cè)量單位的經(jīng)驗(yàn)。在經(jīng)歷知識(shí)產(chǎn)生的過(guò)程中，學(xué)生不僅獲得了有關(guān)長(zhǎng)方形面積的測(cè)量，還能夠進(jìn)一步認(rèn)識(shí)測(cè)量的實(shí)際意義，獲得合理應(yīng)用長(zhǎng)方形面積公式的能力。

其次，知識(shí)本質(zhì)的深度學(xué)習(xí)有利于學(xué)生數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累。以長(zhǎng)方形面積知識(shí)為例，知識(shí)的本質(zhì)是“單位面積的累加”，即使學(xué)生已經(jīng)具備“長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬”的原有知識(shí)，也需要幫助學(xué)生理解單位面積的意義，建立起公式與單位面積的聯(lián)系。也就是說(shuō)，要使學(xué)生以公式為起點(diǎn)，積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，就應(yīng)該從學(xué)生的原始直觀出發(fā)，進(jìn)行引導(dǎo)、發(fā)現(xiàn)，幫助其在探究知識(shí)本質(zhì)的過(guò)程中建立起清晰、穩(wěn)固、正確的直觀表象。從一維到二維，對(duì)圖形的刻畫(huà)從測(cè)量為主轉(zhuǎn)變到對(duì)算法的研究為主，即從“量”長(zhǎng)度變?yōu)椤八恪泵娣e。對(duì)于長(zhǎng)方形的面積來(lái)說(shuō)，從“量”發(fā)展為“算”的過(guò)程就體現(xiàn)了推理經(jīng)驗(yàn)的作用。

最后，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)與基本經(jīng)驗(yàn)之間的關(guān)聯(lián)。學(xué)生利用自身的原有經(jīng)驗(yàn)，合理地對(duì)某一問(wèn)題進(jìn)行猜測(cè)，這是一種十分重要的能力。張丹教授曾提出：“估測(cè)有助于兒童理解測(cè)量的特征和過(guò)程，并獲得對(duì)測(cè)量單位大小的認(rèn)識(shí)。”比如在“長(zhǎng)方形面積”這一課的學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)中，為把握學(xué)生學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，在經(jīng)驗(yàn)的暴露環(huán)節(jié)特意設(shè)計(jì)了估測(cè)的環(huán)節(jié)：估一估這個(gè)長(zhǎng)方形桌面的面積大約是多少，說(shuō)說(shuō)你的理由。學(xué)生的原有經(jīng)驗(yàn)得到了清晰的暴露。對(duì)于學(xué)生而言，其估測(cè)的能力需要在實(shí)踐的過(guò)程中得到豐富，而得到擴(kuò)充、發(fā)展的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)又促進(jìn)了學(xué)生估測(cè)能力的發(fā)展。因此，對(duì)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的關(guān)注與培養(yǎng)，能夠加深學(xué)生對(duì)測(cè)量實(shí)際意義的理解，對(duì)于發(fā)展其靈活運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力也具有促進(jìn)意義。