數(shù)學(xué)錯(cuò)題評(píng)講的“思”“辯”“悟”

福建省上杭縣通賢中心小學(xué) 曹文鋒

皮亞杰說(shuō)過(guò)，錯(cuò)誤是有意義學(xué)習(xí)所必需的，學(xué)習(xí)就是一個(gè)不斷犯錯(cuò)誤的過(guò)程，同時(shí)又是一個(gè)不斷通過(guò)反復(fù)思考、發(fā)掘錯(cuò)誤緣由，并消除錯(cuò)誤的過(guò)程。小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的活動(dòng)過(guò)程中，受限于心智發(fā)育及知識(shí)經(jīng)驗(yàn)積累，常常出現(xiàn)錯(cuò)誤?？梢哉f(shuō)，學(xué)生學(xué)到哪里，往往就會(huì)錯(cuò)到哪里。伴隨著大量錯(cuò)題的出現(xiàn)，教師如果只是簡(jiǎn)單地對(duì)學(xué)生進(jìn)行指責(zé)和批評(píng)，不重視分析錯(cuò)誤原因，不重視學(xué)生查錯(cuò)、糾錯(cuò)學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，就容易造成學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生畏難心理，使學(xué)生失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。因此，教師應(yīng)重視并積極發(fā)掘教學(xué)過(guò)程中可能出現(xiàn)的錯(cuò)題資源，做好錯(cuò)題評(píng)講的“思”“辯”“悟”，引導(dǎo)學(xué)生探究分析錯(cuò)誤原因，加深學(xué)生對(duì)錯(cuò)題的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生糾錯(cuò)反思的能力，從而提高學(xué)生的思辨能力和解決問(wèn)題的能力。

一、在錯(cuò)前“思”，預(yù)設(shè)錯(cuò)點(diǎn)

預(yù)設(shè)錯(cuò)點(diǎn)是指教師在對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中可能會(huì)發(fā)生的錯(cuò)誤的基礎(chǔ)上進(jìn)行的錯(cuò)題設(shè)計(jì)。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生由于學(xué)習(xí)能力參差不齊，將產(chǎn)生眾多錯(cuò)誤信息干擾的錯(cuò)題。那么，應(yīng)如何利用錯(cuò)題改進(jìn)課堂教學(xué)，提高課堂教學(xué)效率呢？這就要求教師認(rèn)真解讀教材，從學(xué)生的知識(shí)水平視角，深度發(fā)掘、精心設(shè)計(jì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中可能出現(xiàn)的錯(cuò)題，找準(zhǔn)易錯(cuò)點(diǎn)，增強(qiáng)錯(cuò)題評(píng)講的針對(duì)性，干預(yù)和防范解題錯(cuò)誤，做到未教先知、防微杜漸，幫助學(xué)生正確理解和掌握相應(yīng)的知識(shí)、技能和方法，從而提高學(xué)生的作業(yè)正確率，真正減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)。

例如，在教學(xué)“多位數(shù)乘一位數(shù)的筆算（不連續(xù)進(jìn)位）”一課時(shí)，教師課前備課應(yīng)研透教材，對(duì)教學(xué)的重難點(diǎn)環(huán)節(jié)進(jìn)行必要的錯(cuò)題預(yù)設(shè)，查閱相關(guān)習(xí)題資料，站在學(xué)生的角度思考。由于學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度不認(rèn)真、學(xué)習(xí)習(xí)慣不良、算理算法掌握不夠牢固等，學(xué)生在計(jì)算時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：

（1）如在計(jì)算“224×3”的時(shí)候，“3×4”需要向前十位進(jìn)位時(shí)，遺漏進(jìn)位的數(shù)“1”，把結(jié)果算成了662；把“3×4”的進(jìn)位的數(shù)直接寫在積的十位上，把結(jié)果算成了6612；還有把進(jìn)位的“1”寫得很大，結(jié)果和別的數(shù)字混淆的情況。

（2）相同數(shù)位沒(méi)有對(duì)齊，如“28×5”，把5寫在2下面，結(jié)果算成1040。

對(duì)于以上可能發(fā)生的錯(cuò)誤，教師應(yīng)采取這樣的評(píng)講策略：（1）明白算理。如“224×3”第二步計(jì)算的是2個(gè)十乘3加1個(gè)十等于7個(gè)十，或是用算式表示出來(lái)20×3+10=70。（2）掌握算法。讓學(xué)生養(yǎng)成每次相乘時(shí)有進(jìn)位的時(shí)候，把進(jìn)位的數(shù)標(biāo)注在相對(duì)應(yīng)的數(shù)位下方；哪一位滿幾十向前一位進(jìn)幾，如果前一位沒(méi)有數(shù)字了，則直接落下來(lái)，如果前一位還有數(shù)字，需要相乘之后再加進(jìn)位的數(shù)。

這樣，教師根據(jù)以上錯(cuò)題的預(yù)設(shè)，對(duì)于學(xué)生在課堂上可能發(fā)生的錯(cuò)誤了然于胸，在課堂教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體的情境，理解并掌握算理算法，靈活地調(diào)整教學(xué)的步驟，有效地降低了學(xué)生犯錯(cuò)的概率，防患于未然。預(yù)設(shè)錯(cuò)點(diǎn)是為了防止或減少學(xué)生犯錯(cuò)，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)題時(shí)，保證教師能及時(shí)正確引導(dǎo)學(xué)生查錯(cuò)改錯(cuò)，將教與學(xué)帶入正確的學(xué)習(xí)軌道。

二、在錯(cuò)中“辯”，分析錯(cuò)因

俗話說(shuō)，真理越辯越明，道理越講越清。在課堂教學(xué)中，學(xué)生做錯(cuò)數(shù)學(xué)題，生成許多數(shù)學(xué)問(wèn)題，這種情況是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中真實(shí)且存在的。學(xué)生所犯的一些錯(cuò)誤資源，稍縱即逝，如果教師不及時(shí)加以引導(dǎo)討論、辨析、思考，學(xué)生就會(huì)對(duì)錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因模糊不清，在獨(dú)立糾錯(cuò)中懸而未決的問(wèn)題越積越多，最終影響后續(xù)的系列學(xué)習(xí)活動(dòng)。學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的錯(cuò)誤，意味著發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造活動(dòng)的機(jī)會(huì)來(lái)了，糾錯(cuò)的目的是防止學(xué)生再犯錯(cuò)。因此，教師有必要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生在錯(cuò)題評(píng)講中辨析，培養(yǎng)學(xué)生的思辨意識(shí)和批判精神，讓學(xué)生降低錯(cuò)誤再次發(fā)生的可能性，避免在學(xué)習(xí)上一錯(cuò)再錯(cuò)，陷入惡性循環(huán)。

例如，在教學(xué)“長(zhǎng)方形和正方形周長(zhǎng)”一課時(shí)，一位教師設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)環(huán)節(jié)：把兩個(gè)長(zhǎng)8分米、寬4分米的長(zhǎng)方形桌子拼成一個(gè)大桌。

師：該怎樣拼？大桌面的周長(zhǎng)是多少？

生1：一張桌子面的周長(zhǎng)是（8+4）×2=24分米，兩張桌子拼在一起，大桌面的周長(zhǎng)是48分米。（學(xué)生很肯定、快速地找到了解決方法）

生2：不對(duì)吧，拼起來(lái)了……（學(xué)生心中充滿疑惑）

生3：拼起來(lái)了，也是2個(gè)24分米相加得到48分米。

生4：拼起來(lái)了，中間緊貼的兩條邊就應(yīng)該不能算了吧。

（此時(shí)，其他學(xué)生被這位學(xué)生的質(zhì)疑牽動(dòng)著思緒，有些學(xué)生開始動(dòng)搖了）

師：組織小組合作。拼一拼：用相同的硬紙板或課本模擬拼一拼，認(rèn)真觀察。畫一畫：動(dòng)手畫由兩個(gè)長(zhǎng)方形拼在一起的圖形。說(shuō)一說(shuō)：你發(fā)現(xiàn)了什么？（教師順勢(shì)在黑板上畫出了其中一種圖例：兩條寬拼在一起的大長(zhǎng)方形。隨后展開交流討論）

生1：怎么不算呢？這兩條寬不是還在中間嗎？

生2：這個(gè)大長(zhǎng)方形周長(zhǎng)是指拼成以后大長(zhǎng)方形一周的長(zhǎng)度，中間的那兩條寬是不能再算了。

師：請(qǐng)你用手指一指，它的周長(zhǎng)在哪兒？

生：我沒(méi)有想到。（其他學(xué)生也恍然大悟）

師：對(duì)的！不能再算中間的兩條寬，那么，兩張桌子拼在一起的大長(zhǎng)方形桌面，它的周長(zhǎng)究竟是多少分米呢？

生（試算）：①（8+8+4）×2=40（分米）；②（8+4）×2=24（分米），24+24-4×2=40（分米）。

師：難道只有這一種拼法嗎？

生：不止一種拼法，還可以將兩個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)拼在一起。

師（順勢(shì)在黑板上畫出另一種拼法：長(zhǎng)拼在一起）：同學(xué)們，你們發(fā)現(xiàn)了什么？

生：原來(lái)不止一種拼法，長(zhǎng)拼在一起就拼成了一個(gè)正方形。拼成正方形后，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是原來(lái)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，周長(zhǎng)就是8×4=32（分米）。

在這個(gè)教學(xué)案例中，教師面對(duì)課堂上出現(xiàn)的錯(cuò)題資源，充分發(fā)揮了及時(shí)評(píng)講錯(cuò)題的積極作用，引導(dǎo)學(xué)生在錯(cuò)誤中分析與討論，去偽存真、層層深入，突破基于概念表層的非本質(zhì)屬性的學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)了拼成大長(zhǎng)方形后會(huì)減少兩條邊，抓住了兩個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方形拼在一起，周長(zhǎng)減少的特征，使學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到有兩種拼法，明白了兩個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方形拼在一起，周長(zhǎng)會(huì)發(fā)生變化，明確圖形的周長(zhǎng)與區(qū)域面的大小無(wú)關(guān)，與區(qū)域邊線有關(guān)，進(jìn)一步鞏固和掌握了長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)概念。這個(gè)教學(xué)過(guò)程，以實(shí)物為載體，引導(dǎo)學(xué)生在操作、觀察、作圖、體驗(yàn)的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，借助實(shí)物或畫圖把抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題具體化，通過(guò)動(dòng)手作圖的實(shí)踐活動(dòng)，建立和發(fā)展了學(xué)生的空間觀念。

三、在錯(cuò)后“悟”，反思建構(gòu)

許多教師在評(píng)講錯(cuò)題時(shí)，草草了事，其錯(cuò)題講解停留在告知正確答案和糾正錯(cuò)誤的層面，沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行分析、評(píng)價(jià)、總結(jié)，就題論題。學(xué)生對(duì)錯(cuò)題的反思止于教師的忽視，這極有可能造成錯(cuò)誤的重復(fù)發(fā)生，換個(gè)題型學(xué)生就找不出易錯(cuò)點(diǎn)。教師忽略了錯(cuò)題評(píng)講對(duì)學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)框架的助力作用。因此，教師應(yīng)強(qiáng)化學(xué)生在錯(cuò)題評(píng)講之后的“悟”，培養(yǎng)學(xué)生糾錯(cuò)反思的能力，提高學(xué)生解決問(wèn)題和認(rèn)知建構(gòu)的能力。

例如，一位教師設(shè)計(jì)了這樣一道填空題：你知道近似數(shù)是2.3的兩位小數(shù)嗎？這些兩位小數(shù)中最大的是（ ），最小的是（ ）。結(jié)果，一些學(xué)生出現(xiàn)了解答錯(cuò)誤，有的學(xué)生做成：這些兩位小數(shù)中最大的是2.39，最小的是2.30；有的學(xué)生做成：這些兩位小數(shù)中最大的是2.35，最小的是2.24。以上錯(cuò)例表明，學(xué)生雖然在新課教學(xué)的時(shí)候?qū)Α八纳嵛迦搿狈ㄒ呀?jīng)運(yùn)用自如，但是，由于數(shù)感不強(qiáng)，面對(duì)這樣“如何取值與取值范圍”的逆向思維問(wèn)題，仍然感到迷茫彷徨，沒(méi)有真正理解準(zhǔn)確數(shù)和近似數(shù)，以及它們之間的關(guān)系。評(píng)講這道錯(cuò)題時(shí)，首先，教師要讓學(xué)生準(zhǔn)確理解保留一位小數(shù)就是精確到十分位，取近似數(shù)時(shí)省略十分位后面的數(shù)，如最大是2.35、最小是2.24這個(gè)錯(cuò)解，2.35取一位小數(shù)的近似數(shù)是2.4，2.24取一位小數(shù)的近似數(shù)是2.2。其次，教師要幫助學(xué)生建立近似數(shù)所含范圍的數(shù)學(xué)模型，這里的數(shù)學(xué)模型就是存在于近似數(shù)內(nèi)部的關(guān)于取值范圍的規(guī)律，“四舍”與“五入”的數(shù)都接近于準(zhǔn)確數(shù)。最后，教師要讓學(xué)生反思解題過(guò)程中出現(xiàn)的思維定式問(wèn)題，如最大是2.39、最小是2.30這一錯(cuò)解，不能一看到大就想到9，一看到小就想到0，“悟”出近似數(shù)2.3不僅僅是指2.3，而是指大于2.25、而小于或等于2.34的數(shù)，這些數(shù)介于2.25和2.34之間，利用“四舍五入法”，都符合2.3的近似數(shù)的要求，因此可以得到：這些兩位小數(shù)中最大的是2.34，最小的是2.25。

這樣評(píng)講錯(cuò)題，讓學(xué)生看到近似數(shù)就能想到它對(duì)應(yīng)的取值范圍。學(xué)生掌握這個(gè)規(guī)律將有效地減少錯(cuò)誤的發(fā)生。針對(duì)解題過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，教師要重視引導(dǎo)學(xué)生加以反思，讓學(xué)生在錯(cuò)題反思中學(xué)習(xí)，逐步形成反思習(xí)慣，這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自我監(jiān)控和自我調(diào)節(jié)的能力。

總之，對(duì)于數(shù)學(xué)錯(cuò)題評(píng)講，教師要重視做好“思”“辯”“悟”。在備課時(shí)，教師要做好錯(cuò)前“思”，要有針對(duì)性地預(yù)設(shè)錯(cuò)點(diǎn)，設(shè)計(jì)錯(cuò)題引導(dǎo)學(xué)生辨析說(shuō)理。在教學(xué)中，教師既要引導(dǎo)學(xué)生在錯(cuò)中“辯”，也要引導(dǎo)學(xué)生在錯(cuò)后“悟”，啟發(fā)學(xué)生思考辯論、分析錯(cuò)誤原因、制訂糾錯(cuò)對(duì)策、悟出解題思路，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知的深化和知識(shí)體系的建構(gòu)，不斷提高學(xué)生的反思能力和解決問(wèn)題的能力，讓學(xué)生真正學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)。