圖式表達(dá)：促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)深度建構(gòu)

江蘇省南通市海門區(qū)正余小學(xué) 宋云翔

“圖式”原本是心理學(xué)的一個(gè)概念，是指“有組織、可重復(fù)的心理結(jié)構(gòu)、行為模式”。在美國認(rèn)知心理學(xué)家魯姆哈特認(rèn)為，圖式就是組成在一起的知識(shí)的單元。圖式理論同樣揭示了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“奧秘”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要著眼于學(xué)生的認(rèn)知、心理和行為圖式，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行圖式表達(dá)。圖式表達(dá)基于學(xué)生的圖式建構(gòu)，依賴于學(xué)生的心理同化、順應(yīng)等。圖式表達(dá)的方式很多，主要有動(dòng)作圖式表達(dá)、圖像圖式表達(dá)、語言圖式表達(dá)等。圖式表達(dá)可以化抽象為直觀、化單一為豐富、化模糊為清晰、化淺顯為深刻。

一、動(dòng)作表達(dá)：化抽象為直觀

魯姆哈特認(rèn)為，圖式是對(duì)于知識(shí)的一種特有表征方式。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，從某種意義上說，就是“圖式化”的過程。圖式能表征數(shù)學(xué)事實(shí)，能幫助學(xué)生理解算理、算法等，幫助學(xué)生建立數(shù)感，促進(jìn)學(xué)生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，等等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生不僅能建立表象圖式，而且能建立動(dòng)作圖式。建立了動(dòng)作圖式，學(xué)生就會(huì)用動(dòng)作圖式來表達(dá)。動(dòng)作圖式的表達(dá)，能化抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)為直觀。

在蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)下冊(cè)“圓的周長”這一課的同課異構(gòu)教學(xué)中，學(xué)生普遍對(duì)“圓周長的一半”和“半圓的周長”兩個(gè)概念的認(rèn)識(shí)比較模糊，不能有效地區(qū)分。為此，一位教師用抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)“圓周長的一半”和“半圓的周長”進(jìn)行比較、抽象和深化概念，幫助學(xué)生建立了符號(hào)性表征；另一位教師引導(dǎo)學(xué)生畫出了“圓周長的一半”和“半圓的周長”的圖，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較，從而幫助學(xué)生建立了圖像性、圖形性的表征；而第三位教師則引導(dǎo)學(xué)生用手簡單地比畫，即讓學(xué)生用手畫出一個(gè)180°的圓弧表示“圓周長的一半”，再畫出一個(gè)180°的圓弧加一條直徑表示“半圓的周長”，從而幫助學(xué)生建立了動(dòng)作性的表征。實(shí)踐證明，用抽象的符號(hào)建立符號(hào)表征，或用抽象的語言建立解釋表征，抑或用形象化的圖形建立圖像、圖形表征，都沒有用動(dòng)作建立動(dòng)作表征來得穩(wěn)固。當(dāng)學(xué)生用動(dòng)作進(jìn)行動(dòng)作表征、動(dòng)作圖式之后，他們自然地理解了兩個(gè)概念的區(qū)別與聯(lián)系，在匯報(bào)交流、解決問題等活動(dòng)中，學(xué)生也自然地能用動(dòng)作圖式來表達(dá)。用動(dòng)作圖式表達(dá)，避免了符號(hào)演繹的煩瑣，避免了圖形表征的麻煩，能化抽象為直觀，同時(shí)操作也比較簡單。

動(dòng)作圖式是依靠動(dòng)作來表征數(shù)量關(guān)系、語義的一種方式。一般來說，在低年級(jí)，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生用動(dòng)作圖式來表達(dá)，以幫助學(xué)生建立內(nèi)在的動(dòng)作圖式心理表征。相比較于符號(hào)表征、圖形表征，動(dòng)作表征更符合低年級(jí)學(xué)生的年齡和心理特征。從某種意義上說，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)端于直觀動(dòng)作，也終止于直觀動(dòng)作。因?yàn)?，學(xué)生內(nèi)化的數(shù)學(xué)素養(yǎng)等最終總是要通過直觀動(dòng)作、行為表達(dá)顯現(xiàn)出來。

二、圖形表達(dá)：化模糊為清晰

德國思想家康德曾說：“圖式是潛藏在人類心靈深處的一種技術(shù)、一種技巧?！痹跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往會(huì)將若干個(gè)知識(shí)點(diǎn)集結(jié)成知識(shí)組塊，進(jìn)而建立一種線狀結(jié)構(gòu)圖式、網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)圖式和表格式的結(jié)構(gòu)圖式等。這些圖式，筆者都將其稱為圖形圖式。在格式塔心理學(xué)中，圖形圖式還有“完形”“整體”的一種趨勢(shì)、趨向。在引導(dǎo)學(xué)生建立圖形圖式的過程中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手作圖、觀察讀圖、思考想圖，從而不斷豐富、夯實(shí)學(xué)生的圖形圖式表象。圖形圖式，能化學(xué)生模糊的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)為清晰。

讀圖、畫圖，用圖形、圖像等來進(jìn)行表征，是學(xué)生圖形圖式生成的重要標(biāo)識(shí)，同時(shí)也是學(xué)生用圖形圖式來表達(dá)的重要方式。作為教師，要注重學(xué)生對(duì)圖式的提取、加工、表達(dá)和應(yīng)用。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生建立圖形圖式或者用圖形圖式來表達(dá)，絕不僅僅是一種“數(shù)形結(jié)合”，而更為重要的是幫助學(xué)生建立一種圖形表象，用圖形表達(dá)來思考，并且將圖形表達(dá)通過表達(dá)顯現(xiàn)出來。在引導(dǎo)學(xué)生建立圖形圖式的過程中，教師要幫助學(xué)生進(jìn)行調(diào)整、補(bǔ)充和修正，從而讓學(xué)生的圖形圖式能有效地表征問題、解決問題。例如，在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“小數(shù)的大小比較”一課時(shí)，筆者將教材中的具體數(shù)量——“0.6元和0.48元”，變更為“0.6和0.48”，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行意義賦予。在學(xué)生借助于自己意義賦予的具體數(shù)量比較大小之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生畫圖，來表征兩個(gè)抽象的小數(shù)——“0.6和0.48”。有學(xué)生畫正方形表征小數(shù)，并進(jìn)行比較；有學(xué)生畫線段圖表征小數(shù)，并進(jìn)行比較。在畫圖的過程中，學(xué)生自然生成了小數(shù)的心理圖像。學(xué)生對(duì)小數(shù)的大小比較從模糊走向清晰，為后面實(shí)施小數(shù)的加減法教學(xué)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

圖式表達(dá)有助于學(xué)生形成用圖形思考、用圖形探究的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和品質(zhì)。在教學(xué)中，圖形表征能讓數(shù)學(xué)不再是“冰冷的美麗”，而是能讓學(xué)生展開“火熱的思考”。圖形圖式契合了學(xué)生的認(rèn)知、探究等心理特點(diǎn)，能降低學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知和探究難度，讓學(xué)生把握到數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)和實(shí)質(zhì)等。

三、符號(hào)表達(dá)：化單一為豐富

圖式，不僅僅包括動(dòng)作圖式、圖形圖式，還包括符號(hào)圖式。相比較于動(dòng)作圖式、圖形圖式，符號(hào)圖式更能發(fā)展學(xué)生的理性思維。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，從某種意義上來說就是“符號(hào)化”的過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)符號(hào)，引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)思考、用符號(hào)探究，使符號(hào)成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的橋梁和載體，幫助學(xué)生建立符號(hào)圖式，引領(lǐng)學(xué)生用符號(hào)進(jìn)行圖式表達(dá)。符號(hào)圖式表達(dá)，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由單一變?yōu)樨S富。

符號(hào)圖式的建構(gòu)過程是一個(gè)符號(hào)表征、符號(hào)加工、符號(hào)建構(gòu)、符號(hào)創(chuàng)造的過程。作為教師，要充分激發(fā)學(xué)生對(duì)符號(hào)建構(gòu)和創(chuàng)造的興趣，讓學(xué)生會(huì)用符號(hào)進(jìn)行思考、探究。符號(hào)圖式能幫助學(xué)生建立符號(hào)模型。例如，在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)“乘法分配律”一課時(shí)，在引導(dǎo)學(xué)生通過舉例、驗(yàn)證等發(fā)現(xiàn)了“運(yùn)算規(guī)律”之后，筆者引導(dǎo)學(xué)生用自己的方式進(jìn)行不完全歸納。于是，有的學(xué)生用“△×（☆+□）=△×☆+△×□”來表達(dá)，有的學(xué)生用“a×（b+c）=a×b+a×c”來表達(dá)；有的學(xué)生用“甲×（乙＋丙）=甲×乙+甲×丙”來表達(dá)；等等。盡管學(xué)生用了不同的文字、符號(hào)，但都能表征乘法分配律的本質(zhì)內(nèi)涵，都能發(fā)現(xiàn)乘法分配律所表達(dá)的關(guān)系、關(guān)聯(lián)、規(guī)律等。相對(duì)于其他圖式表達(dá)，符號(hào)化的圖式表達(dá)更能揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，也更簡潔、更精準(zhǔn)。符號(hào)化的表達(dá)，發(fā)展了學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。

從某種意義上說，數(shù)學(xué)知識(shí)是人類形式化、符號(hào)化的結(jié)果。借助于符號(hào)圖式，能有效地引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，并幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)的符號(hào)表達(dá)，不僅能揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，而且能提升學(xué)生的抽象化、概括化水平，以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

四、言語表達(dá)：化淺顯為深刻

言語圖式表達(dá)是圖式表達(dá)的一種重要形式。言語不像動(dòng)作、圖形那樣直觀，但言語更能喚醒學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，調(diào)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)想象。言語表達(dá)，能化淺顯為深刻。在引導(dǎo)學(xué)生建立言語圖式表達(dá)的過程中，教師要注重言語的整體性、言語的結(jié)構(gòu)性、言語的層次性、言語的系統(tǒng)性等。

例如，在教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)“梯形的面積公式”一課時(shí)，筆者不僅引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)梯形面積公式的形成過程，還引導(dǎo)學(xué)生用符號(hào)來表征梯形的面積公式，并引導(dǎo)學(xué)生用語言來表達(dá)梯形的面積公式。在表達(dá)的過程中，筆者尤其引導(dǎo)學(xué)生突出“上下底的和”，始終將“上下底的和”作為一個(gè)言語圖式中的整體，這個(gè)整體有助于學(xué)生建立梯形的上下底的和與平行四邊形的底之間的關(guān)聯(lián)，從而有助于學(xué)生更加深刻地理解梯形的面積公式，使學(xué)生在思考與“梯形面積”相關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，總能從“梯形的上下底的和”這個(gè)角度來思考。這樣，就打破了學(xué)生在解決問題時(shí)“在已知了梯形的上下底之和”的情況下，還大費(fèi)周折地想分別求出梯形的上底、下底的思維定式。相比較于其他的圖式，言語圖式更能幫助學(xué)生建立一種思維的組塊、認(rèn)知的組塊、知識(shí)的組塊等。言語圖式，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的意義，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從“量”到“質(zhì)”的飛躍，從“知”到“智”的嬗變。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，言語圖式不僅是一種“有意義的圖式”，還是一種“有意味的圖式”。

教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用言語圖式進(jìn)行表達(dá)時(shí)，要注重突出重點(diǎn)，尤其是要讓學(xué)生的言語圖式表達(dá)有節(jié)奏、有節(jié)律。在教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生理解圖式、建構(gòu)圖式、完善圖式，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生用圖式思考、用圖式探究、用圖式表達(dá)。圖式是學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)發(fā)展的“泵”，圖式表達(dá)不僅是學(xué)生圖式內(nèi)化的重要標(biāo)識(shí)，而且也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效度的重要標(biāo)識(shí)。通過圖式表達(dá)，可以幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)理解的跨越，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善，使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更有意義、更有價(jià)值！