數(shù)形結(jié)合合理用 學(xué)習(xí)能力巧提升
——小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)形結(jié)合實踐研究

文 /吳仁玉

引 言

數(shù)形結(jié)合是一種比較常用的思想，也是一種適用性比較廣泛的方法，它為學(xué)生理解抽象復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識提供了直觀形象的材料。但在實際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，雖然數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的適用性比較強，難度也并不大，但它的作用并沒有得到充分發(fā)揮。教師不重視，學(xué)生不會用是普遍的現(xiàn)象。雖然教材提到了相關(guān)的內(nèi)容，教學(xué)大綱也提出了相關(guān)要求，但是很多教師“蜻蜓點水”地一帶而過，導(dǎo)致學(xué)生的學(xué)習(xí)和運用熱情不高。

一、數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵

從本質(zhì)上來說，數(shù)形結(jié)合思想指的是將抽象數(shù)量關(guān)系與直觀圖形結(jié)構(gòu)相互結(jié)合[1]，它不僅可以對代數(shù)的意義進行分析，還可以將幾何圖形直觀地展現(xiàn)出來，既有數(shù)量的精準(zhǔn)刻畫，又有空間形式的直觀巧妙。在二者巧妙、和諧融合的基礎(chǔ)上，很多數(shù)學(xué)問題都可以實現(xiàn)化繁為簡、化難為易[2]。

數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)涵主要包括以下兩個方面。第一是同數(shù)及形，即“數(shù)”上鉤“形”。對于那些表面上屬于代數(shù)類的問題，學(xué)生可以利用“形”來進行呈現(xiàn)，通過結(jié)合圖形來將其中的數(shù)量關(guān)系形象化地表示出來。第二是同形及數(shù)，即“形”中覓“數(shù)”。在面對數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生可以通過觀察圖形結(jié)構(gòu)關(guān)系特征來找到表達(dá)問題的數(shù)量關(guān)系式，以此來將幾何問題進行代數(shù)化處理。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合的實踐價值

（一）促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的掌握

傳統(tǒng)教學(xué)中，教師在開展教學(xué)活動時關(guān)注的都是學(xué)生的成績，“一言堂”“滿堂灌”是主要的教學(xué)模式[3]。美國教育學(xué)家布魯納提出了發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理念，主張學(xué)生在開展學(xué)習(xí)活動時要關(guān)注過程而非結(jié)果，同時鼓勵他們主動地發(fā)現(xiàn)和解決問題。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要讓學(xué)生站在數(shù)學(xué)的角度來思考問題，在親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動的過程中對數(shù)學(xué)知識形成深刻的感知，同時在數(shù)學(xué)思想的支持下與原有的經(jīng)驗進行融合，進而產(chǎn)生新的認(rèn)知。而數(shù)形結(jié)合思想的融合就是實現(xiàn)這一目標(biāo)的重要途徑，這不僅可以幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識，還可以培養(yǎng)他們獨立思考的能力和勇于創(chuàng)新的精神。

雖然小學(xué)數(shù)學(xué)教材堅持系統(tǒng)化和科學(xué)化的原則，將相關(guān)知識呈現(xiàn)出來，希望通過這種方式來幫助學(xué)生形成完善的知識體系，但仍然有很多學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是最難的學(xué)科。這就要求教師在教學(xué)過程中結(jié)合學(xué)生的心智特點，根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容來選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，幫助學(xué)生真正地將知識點進行內(nèi)化與吸收，這樣他們才能創(chuàng)造出更有價值的內(nèi)容。受多樣化因素的影響，學(xué)生雖然能夠進行簡單的邏輯推理，但仍然離不開具體事物的支持。因此，數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法表現(xiàn)出了較強的適用性，與學(xué)生的年齡特點相符，可以使抽象的事物變得更為形象化和具體化，能夠使學(xué)生基于已有的經(jīng)驗和直觀的經(jīng)驗進行學(xué)習(xí)。

（二）促進學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展

思維指的是人腦所進行的一種反應(yīng)過程。人類的大腦分為左右兩個半球，其中左腦產(chǎn)生的是抽象的邏輯思維，右腦則擅長直觀的形象思維。而數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用可以使左右兩邊的大腦相互協(xié)作，產(chǎn)生共同作用，使學(xué)生更好地對問題進行思考，同時也促進他們的思維發(fā)展。在通過“數(shù)形互助”的形式來對問題進行思考的過程中，學(xué)生的直覺思維、創(chuàng)造性思維及形象化思維都可以得到發(fā)展。

在學(xué)習(xí)的過程中，學(xué)生的知識與經(jīng)驗會不斷地積累。通過數(shù)形結(jié)合，他們可以更好地理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，通過圖形找到內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系，同時可以將抽象的邏輯闡述使用圖形表示出來。長此以往，學(xué)生的直覺思維會得到發(fā)展。創(chuàng)造性思維指的是對同一個數(shù)學(xué)問題找到不同的解決方法，或者提出更為新穎和獨特的方法。通過數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生可以從多個角度和不同層面對問題進行分析，在更短的時間觸及問題的本質(zhì)，打破思維局限性，進而實現(xiàn)思維的創(chuàng)新。而形象化思維則指的是通過符號、圖形及實物等對數(shù)學(xué)問題進行建構(gòu)[4]。研究發(fā)現(xiàn)，表象是思維的基本元素，而表象的載體包含圖形與圖式這兩種。在面對數(shù)學(xué)問題時，學(xué)生建構(gòu)的表象越豐富，他們的猜想就越準(zhǔn)確，分析和歸納就越全面和透徹，問題解決的速度就越快。而通過數(shù)形結(jié)合的方法，學(xué)生可以使抽象的邏輯推理和數(shù)量關(guān)系等表象變得更為豐富，進而基于生活經(jīng)驗對知識形成深刻的理解。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合的實踐原則

（一）等價性

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，圖形的結(jié)合意義與數(shù)字的抽象意義之間具有密切的聯(lián)系，二者形成了可以相互轉(zhuǎn)化的等價關(guān)系。因此，等價性是數(shù)形結(jié)合實踐與應(yīng)用的重要原則。具體來說，在結(jié)合圖形來說明問題時，學(xué)生要確保其與題目中的代數(shù)數(shù)量關(guān)系保持一致。在解題時，學(xué)生通常需要手動繪制圖形，因此難以做到十分精準(zhǔn)，在一些情況下難以將數(shù)的一般性特征表述出來。同時，對于同一個題目，學(xué)生的理解存在明顯的差異，他們所構(gòu)造和繪制的圖形也會受到自身認(rèn)識的影響，容易與實際問題之間存在偏差，進而出現(xiàn)解題漏洞。而數(shù)形結(jié)合實踐中等價性的原則要求學(xué)生準(zhǔn)確地抓住問題中所包含的已知條件，并通過有效的分析獲取已知之外的信息。同時，學(xué)生要確保找到的幾何直觀和代數(shù)數(shù)量關(guān)系保持一致，這樣才能確保計算結(jié)果的準(zhǔn)確性。此外，學(xué)生要養(yǎng)成檢驗的好習(xí)慣，通過這種方式來對思維進行整理，同時對解題步驟進行完善。

（二）雙向性

雙向性指的是在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想時，既從代數(shù)的角度進行抽象探索，又從幾何圖形的角度做好直觀分析。筆者發(fā)現(xiàn)，“數(shù)”與“形”各有優(yōu)勢，也各有不足。通過代數(shù)計算，學(xué)生可以在原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上得到更具說服力的結(jié)果。同時，這個結(jié)果與簡單幾何直觀圖相比更具說服力，能夠避免幾何構(gòu)圖的粗略性弊端。而通過圖形表示，數(shù)學(xué)問題會更為直觀與具體。因此，在滲透數(shù)形結(jié)合思想時，教師要貫徹落實雙向性的原則，將“數(shù)”與“形”相互配合，并在這個基礎(chǔ)上更好地對問題進行分析，達(dá)到“由形思數(shù)”和“由數(shù)想形”的效果。

（三）簡潔性

簡潔性原則指的是在將代數(shù)轉(zhuǎn)化為圖形時，要使所構(gòu)造的圖形盡可能的簡單，同時要確保其符合題意和題目要求。通過簡單、直觀的圖像，學(xué)生可以更好地抓住數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，并在這個基礎(chǔ)上理清思路，將復(fù)雜的問題進行簡單化處理。同時，學(xué)生通過構(gòu)造簡單的圖形，可以避免很多繁雜的數(shù)值計算，這能使學(xué)生的解題效率得到提升。這既符合學(xué)生學(xué)習(xí)的規(guī)律，也符合數(shù)學(xué)簡潔美的要求。在長期數(shù)形結(jié)合的過程中，學(xué)生能夠在不斷體驗和不斷感悟的過程中深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的魅力。

四、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合的實踐策略

（一）利用數(shù)形結(jié)合法講述數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)算理

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)算理是基礎(chǔ)部分，這是后續(xù)學(xué)習(xí)活動順利開展的前提。在低年級數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)概念和算理相對簡單，但在高年級教材中開始出現(xiàn)很多復(fù)雜的概念和算理知識。在對這部分內(nèi)容進行講述時，教師要避免機械化灌輸，而是要基于數(shù)形結(jié)合的形式來實現(xiàn)教學(xué)方法的創(chuàng)新，將抽象的內(nèi)容以直觀、形象的方式呈現(xiàn)出來，并基于循序漸進的原則來引導(dǎo)學(xué)生理解和學(xué)習(xí)知識。為了實現(xiàn)這個目標(biāo)，教師可以運用生活化教學(xué)方式，將學(xué)生的生活經(jīng)驗充分調(diào)動起來，選擇生活中比較常見的事物來代替這些復(fù)雜的概念與算理，通過以形代數(shù)的方式來對這些知識進行具體化處理，以此來幫助他們更好地理解知識的內(nèi)涵，同時提高應(yīng)用的質(zhì)量。

例如，在學(xué)習(xí)“圖形變換”這部分內(nèi)容時，學(xué)生需要對平移、旋轉(zhuǎn)等數(shù)學(xué)概念的內(nèi)容和特點有深入的理解。為了幫助學(xué)生理解，教師不僅可以通過數(shù)形結(jié)合的方式，即在黑板上畫格子和數(shù)格子的形式來幫助學(xué)生在頭腦中構(gòu)建相關(guān)模型，還可以將升國旗、拉窗戶等生活事例作為案例輔助學(xué)生理解。

（二）轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，基于數(shù)形結(jié)合實現(xiàn)教學(xué)模式的創(chuàng)新

在傳統(tǒng)教學(xué)理念下，教師關(guān)注的主要是知識點的傳授，對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)有所忽視。長此以往，學(xué)生雖然可以掌握相關(guān)知識點，能夠在考試中取得令人滿意的分?jǐn)?shù)，但無法對相關(guān)知識點進行靈活應(yīng)用。為了解決這些問題，教師要轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，注重數(shù)形結(jié)合思想的滲透，實現(xiàn)教學(xué)模式的創(chuàng)新。首先，教師要積極尋找數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的融合點，向?qū)W生展示使用數(shù)形結(jié)合來解題的步驟，使他們掌握代數(shù)知識與圖形之間的密切聯(lián)系，在面對復(fù)雜問題和新問題時能夠在腦海中第一時間浮現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合的方法。其次，在為學(xué)生布置課后作業(yè)時，教師要鼓勵他們使用數(shù)形結(jié)合的方法來進行解答，使他們從多個角度實現(xiàn)思維創(chuàng)新。

例如，在學(xué)習(xí)“體積和容積”這部分內(nèi)容時，學(xué)生可能對立方厘米、立方米等體積單位比較陌生，對于多了一個“高度”的空間圖形也難以理解。在這樣的情況下，教師可以改變慣有的教學(xué)模式，通過實踐教學(xué)的方式來融入數(shù)形結(jié)合思想。具體來說，教師可以在課堂上準(zhǔn)備一個1立方分米的容器，向其中注滿自來水，然后將這些水倒入礦泉水瓶中。這可以使學(xué)生對1立方分米的容量單位及其概念形成直觀與深刻的認(rèn)識。

（三）充分利用多媒體技術(shù)來實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合

為了將數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢更好地展現(xiàn)出來，教師在開展教學(xué)活動時，可以借助多媒體教學(xué)工具，通過多媒體技術(shù)來加深學(xué)生對抽象數(shù)學(xué)知識的理解。在多媒體教學(xué)的過程中，教師可以將數(shù)形結(jié)合的過程制作成短視頻并發(fā)送給學(xué)生，使學(xué)生根據(jù)自己的需要反復(fù)觀看，形成深刻的理解。同時，在展示教學(xué)內(nèi)容時，教師還可以利用多媒體強大的功能，充分運用圖片、聲音、文字與視頻等元素來吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)他們的興趣，使他們對圖形的變化過程有更直觀的認(rèn)識，在數(shù)字與圖形之間構(gòu)建聯(lián)系，這有利于教學(xué)效果的增強。

從五年級開始，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中開始涉及立體幾何的內(nèi)容。這些圖形與平面圖形有一定的聯(lián)系，但也存在明顯的差異。在教學(xué)這部分內(nèi)容時，教師僅僅通過口頭講述難以達(dá)到預(yù)期的效果。在這樣的情況下，教師可以使用多媒體技術(shù)來展示這兩種幾何圖形之間的關(guān)系，并展示二者之間的相互變換形式，如將三角形旋轉(zhuǎn)一周后得到三角錐。在這個基礎(chǔ)上，學(xué)生對立體幾何圖形的表面積、體積等進行計算就變得更加簡單，也可以更好地融合和滲透數(shù)形結(jié)合思想。

結(jié) 語

總體而言，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維，有利于學(xué)生具體化思維到形象化思維的轉(zhuǎn)變。在生活化教育理念廣泛應(yīng)用的背景下，數(shù)形結(jié)合思想開始在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域受到關(guān)注。實踐證明，數(shù)形結(jié)合思想的合理利用可以促進學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升及數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。在數(shù)形結(jié)合教學(xué)實踐的過程中，教師要堅持等價性、雙向性及簡潔性的原則，利用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法來對數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)算理進行講述，通過轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念來實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合教學(xué)模式的創(chuàng)新，同時將多媒體技術(shù)作為輔助手段來提高數(shù)形結(jié)合應(yīng)用的質(zhì)量。