一類時間不一致控制問題*

計 偉

(貴州建設(shè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院信息管理學(xué)院，貴州 貴陽 551400)

時間偏好與風(fēng)險偏好在任何投資和決策問題中都起著至關(guān)重要的作用,二者使得投資和決策問題具有不可預(yù)測性和復(fù)雜性，進一步導(dǎo)致問題具有時間不一致性，且時間不一致問題遠(yuǎn)多于時間一致問題.例如，貨幣的通脹與緊縮現(xiàn)象、個人選擇、股票的購買與出售等.

事實上,時間不一致問題可以追溯到1739年，但直到20世紀(jì)50年代,Strotz[1]才首次對其進行數(shù)學(xué)公式化.之后，時間不一致問題主要劃分為實證研究和理論研究.時間不一致問題的理論研究，是金融學(xué)與數(shù)學(xué)的前言交叉課題，近10年應(yīng)用數(shù)學(xué)家和金融學(xué)家對其開展了大量研究,取得了豐富的研究成果[2-12].筆者擬利用Hu等[10]引進的均衡控制及其經(jīng)典變分法和極限思想，對一類一般帖現(xiàn)因子的時間不一致控制問題展開討論，旨在研究經(jīng)典控制問題的最優(yōu)控制與時間不一致控制問題的均衡控制之間的關(guān)系.

1 數(shù)學(xué)模型和預(yù)備知識

本研究從經(jīng)典的最優(yōu)控制問題開始敘述.設(shè)T>0和U?Rm是一個非空的有界閉凸集.定義可行控制集為

U[s,t]≡{u:[s,t]→U|u(·)可測} ?0≤s≤t≤T,

給定y0∈Rn,考慮如下控制系統(tǒng)：

(1)

(2)

為了度量控制u的性能指標(biāo)，引進目標(biāo)泛函

(3)

其中h:[0,T]×Rn×[0,T]×Rn×U→R和G:{T}×Rn×Rn→R均為給定的映射.

考慮如下最優(yōu)控制問題：

問題1對于系統(tǒng)(2),在控制集U[s,T]中求控制函數(shù)u，使得性能指標(biāo)(3)極小化,即

問題1是一個經(jīng)典控制問題,利用Bellman最優(yōu)性原理和Pontryagin極大值原理可對其進行求解[13-14].關(guān)于問題1的研究,有一個前置條件，即時間一致性.但是,現(xiàn)實問題因資源的有限性、政策設(shè)施的滯后性、決策制定者文化及能力的限制性等,往往并不是如此簡單,通常表現(xiàn)為時間不一致性,其數(shù)學(xué)模型可描述如下：

問題2對于系統(tǒng)(2),在控制集U[s,T]中求控制函數(shù)u,使得

(4)

其中

(5)

顯然,目標(biāo)泛函(5)依賴于初始對(s,y).于是,這時的優(yōu)化問題變得復(fù)雜,因為隨著時間s的變化,優(yōu)化的不是一個問題，而是一族問題,甚至可能是無窮不可數(shù)個問題.這就意味著不能采用傳統(tǒng)的經(jīng)典方法,甚至不能使用經(jīng)典最優(yōu)控制問題解的定義.

其中

引入如下假設(shè)條件：

(P1)映射g:[0,T]×Rn×Rm→Rn連續(xù)可微,且存在常數(shù)L>0,使得

|g(t,x1,u1)-g(t,x2,u2)|≤L(|x1-x2|+|u1-u2|) ?t∈[0,T],x1,x2∈Rn,u1,u2∈Rm.

(P2)映射h:[0,T]×Rn×[0,T]×Rn×Rm→R和H:[0,T]×Rn×Rn→R連續(xù)可微，且存在常數(shù)α>0,β>0和γ>0,使得φ(s,y;t,x,u)=h(s,y;t,x,u),H(s,y;x)滿足

|φ(s,y;t,x,u)|≥α(|x|+|y|)+β|u|-γ?t∈[0,T],x,y∈Rn,u∈Rm.

(P3)映射h關(guān)于控制變量是一個弱下半連續(xù)的凸函數(shù).

2 主要結(jié)果及其證明

先引進如下記號：T表示矩陣或向量的轉(zhuǎn)置，gx表示g(t,x,u)關(guān)于第2個變量的偏導(dǎo)數(shù)，gu表示g(t,x,u)關(guān)于第3個變量的偏導(dǎo)數(shù)，hs表示h(s,y;t,x,u)關(guān)于第1個變量的偏導(dǎo)數(shù)，hy表示h(s,y;t,x,u)關(guān)于第2個變量的偏導(dǎo)數(shù)，hx表示h(s,y;t,x,u)關(guān)于第4個變量的偏導(dǎo)數(shù)，hu表示h(s,y;t,x,u)關(guān)于第5個變量的偏導(dǎo)數(shù)，Hs表示H(s,y;x)關(guān)于第1個變量的偏導(dǎo)數(shù)，Hy表示H(s,y;x)關(guān)于第2個變量的偏導(dǎo)數(shù)，Hx表示H(s,y;x)關(guān)于第3個變量的偏導(dǎo)數(shù).

以及

定理1假設(shè)條件(P1)～(P3)成立.若y0∈Rn固定,則問題1的最優(yōu)控制是問題2的均衡控制.

(6)

于是，

由假設(shè)條件(P1),(P2)和(6)式，可得