基于改進ESO的四旋翼姿態(tài)自抗擾控制器設(shè)計

楊文奇, 盧建華, 姜 旭, 王元鑫

(1. 海軍航空大學(xué)航空基礎(chǔ)學(xué)院, 山東 煙臺 264000; 2. 海軍航空大學(xué)青島校區(qū), 山東 青島 266000)

0 引 言

四旋翼無人機是由4個旋翼組成能夠?qū)崿F(xiàn)垂直起降的無人飛行器[1]。因其結(jié)構(gòu)簡單、易于控制、成本低的特點,成為多智能體編隊控制算法驗證的常用平臺,也為后續(xù)實現(xiàn)固定翼無人機編隊飛行奠定實驗基礎(chǔ)[2]。為保持多無人機編隊隊形的穩(wěn)定,需要每一架單機都盡可能抵御外界干擾(噪聲、風(fēng)擾、紊流等)的影響。四旋翼中常用的控制方法有比例-積分-微分(proportion-integral-differential, PID)控制、反步控制、滑?？刂啤⒕€性二次型調(diào)節(jié)器、反饋線性化等[3]。為提高系統(tǒng)的抗干擾能力,考慮到四旋翼本身的非線性耦合結(jié)構(gòu),本文選擇采用自抗擾控制(active distur-bance rejection control, ADRC)[4]。ADRC無需對象精確的數(shù)學(xué)模型,具有天然的解耦性和濾波特性,進而可以有效改善系統(tǒng)的抗干擾性和魯棒性[5]。

所謂ADRC,就是要在擾動明顯影響系統(tǒng)的最終輸出前,自發(fā)地從控制對象的輸入/輸出信號中估計擾動信息,然后盡快用控制信號將其消除,從而大大減小擾動對被控量的影響[6]。面向不同的功能需求,ADRC也存在不同的改進思路[7],分別為自身算法改進和融合算法改進。其中,ADRC自身算法改進主要包括其組成模塊的改進和fal函數(shù)改進兩個方面[8]。在ADRC融合算法改進思路方面,文獻[9]首先基于ADRC設(shè)計了四旋翼飛行器的位姿控制算法,該方法能夠無靜態(tài)誤差地實現(xiàn)四旋翼的懸停以及軌跡跟蹤功能,并引入模糊邏輯規(guī)則來實現(xiàn)其ADRC參數(shù)的實時整定。文獻[10]通過建立基于反步滑模自抗擾的控制方法來實現(xiàn)四旋翼的姿態(tài)控制,提高了系統(tǒng)自適應(yīng)性和抗干擾性。文獻[11]設(shè)計了一種模型預(yù)測控制和ADRC的串級控制系統(tǒng),其中內(nèi)環(huán)姿態(tài)回路采用ADRC穩(wěn)定角運動,外環(huán)位置回路的預(yù)測控制器通過引入擴張狀態(tài)觀測器(extended state observer, ESO)來實現(xiàn)風(fēng)擾下的軌跡跟蹤,提高了四旋翼無人機的跟蹤精度和抗干擾性。文獻[12]提出了一種基于線性/非線性自抗擾切換控制的四旋翼飛行器控制方法,并驗證了該控制器可有效避免線性自抗擾因為初始狀態(tài)誤差引起的“峰值”問題,進一步改善了抗干擾性能。在fal函數(shù)改進方面,文獻[13]將通過插值擬合所得到的新型非線性nfal函數(shù)作用于ESO和非線性狀態(tài)誤差反饋律(nonlinear state error feedback law, NLSEF)中,從而得到改進型ADRC,并驗證了較傳統(tǒng)ADRC具有更好的快速性、抗干擾性以及魯棒性,但函數(shù)過于復(fù)雜。文獻[14]對四旋翼姿態(tài)ESO中的非線性fal函數(shù)進行改進,得到改進型faln函數(shù)并驗證了改進型faln函數(shù)提高了系統(tǒng)抗干擾能力,但并未解決原點附近的高頻抖振問題。

此外,前人研究時少有考慮傳感器噪聲污染的情況。本文采用ADRC進行四旋翼的姿態(tài)控制時發(fā)現(xiàn),當(dāng)反饋量被傳感器高斯噪聲污染時,基于fal函數(shù)的傳統(tǒng)ESO因其觀測能力不足導(dǎo)致跟蹤效果惡化[15]。為降低噪聲對系統(tǒng)的影響,一般方法是通過加設(shè)濾波器來改善量測信號品質(zhì)?？紤]到ADRC的天然濾波屬性,可將噪聲視作系統(tǒng)的外部干擾[16-17]。通過對fal函數(shù)的分析,構(gòu)建了一種galn函數(shù)并驗證了其相較于fal函數(shù)的優(yōu)越性。以俯仰通道為例,驗證了基于galn函數(shù)設(shè)計的ESO性能以及改進后ADRC跟蹤能力和抗干擾能力。

1 四旋翼無人機數(shù)學(xué)模型

四旋翼無人機是一個欠驅(qū)動、強耦合的非線性系統(tǒng),僅依靠4個輸入量就能實現(xiàn)6個自由度的運動[18]。考慮到四旋翼無人機的非線性特性,難以精確地建立模型,為了簡便,在對其建模時,做出以下假設(shè)[19-21]:① 四旋翼無人機是剛體,機體結(jié)構(gòu)對稱,質(zhì)量分布均勻,機體重心與幾何中心重合;② 旋翼產(chǎn)生的升力和反扭力矩均與轉(zhuǎn)速的平方成正比;③ 忽略地面效應(yīng)和地球自轉(zhuǎn);④ 四旋翼無人機的質(zhì)量、轉(zhuǎn)動慣量以及重力加速度均為常量。本文建模采用“×”字型四旋翼。

(1)

式中:JT是旋翼轉(zhuǎn)動慣量;m是四旋翼無人機質(zhì)量;g是重力加速度;MGx、MGy分別為x軸、y軸上對應(yīng)的陀螺力矩。其中的偽控制量U1、U2、U3、U4所組成的控制效率模型如下所示:

(2)

(3)

本文采用四旋翼模型的參數(shù)如表1所示。

表1 四旋翼無人機仿真參數(shù)數(shù)值表

2 ADRC器設(shè)計

2.1 ADRC器基本結(jié)構(gòu)

ADRC器通常主要由3個部分組成,分別為跟蹤微分器(tracking differentiator,TD)、ESO以及NLSEF,其基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 ADRC器基本結(jié)構(gòu)

(1) TD(微分信號生成與安排過渡過程)

期望信號經(jīng)過TD會輸出一個變化相對較慢且時刻跟蹤期望值的過渡信號,克服了系統(tǒng)超調(diào)與快速性的矛盾;另一方面TD還能同時得到輸入的微分信號。二階TD的離散型表達方程如下所示:

(4)

式中:r0、h0為可調(diào)參數(shù);h為控制器的執(zhí)行周期;fhan(x1,x2,r0,h0)為一種最速綜合非線性函數(shù),表達式如下所示:

(5)

(2) NLSEF(擾動的消減與控制信號的產(chǎn)生)

工業(yè)上廣泛采用的PID控制算法通常只是對控制系統(tǒng)誤差的PID進行基本的線性加權(quán)組合,取到的控制效果仍有很大的改善空間[22-23]。而ADRC采用NLSEF,根據(jù)“小誤差、大增益,大誤差、小增益”的原則,通過適當(dāng)選取參數(shù)和線性區(qū)間進行分段,在不同區(qū)間采用不同的反饋增益,可以起到快速調(diào)節(jié)的效果,顯著提高控制效率和控制精度,實現(xiàn)了動態(tài)補償。為了減小控制器待整定參數(shù)的個數(shù),本文選取了文獻[24]中的Ⅲ型非線性函數(shù),進而得到非線性狀態(tài)誤差反饋結(jié)構(gòu)如下所示:

(6)

(3) ESO(擾動的擴張狀態(tài)與整體的辨識)

ESO通過觀測系統(tǒng)的各部分?jǐn)_動(內(nèi)部干擾與外部干擾)的總和,并在NLSEF產(chǎn)生的控制量中引入一個總和擾動補償量,最后運用簡單的誤差反饋控制策略就能實現(xiàn)對系統(tǒng)良好的控制效果。以如下所示的非線性系統(tǒng)為例:

(7)

(8)

則對式(8)建立的三階ESO為

(9)

其中,

(10)

2.2 四旋翼俯仰通道ADRC設(shè)計

(11)

2.3 galn函數(shù)的構(gòu)建

ESO中的非線性函數(shù)的特性直接影響其觀測性能,進而影響控制系統(tǒng)的性能。根據(jù)文獻[25-27],非線性函數(shù)選取的原則為:函數(shù)關(guān)于原點對稱且處處可導(dǎo),其曲線有良好的連續(xù)性、收斂性、平滑性,待整定參數(shù)盡可能少,且需要遵循“小誤差、大增益,大誤差、小增益”的原則。盡管fal函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù),但該函數(shù)并沒有良好的連續(xù)性和平滑性,在原點鄰域范圍內(nèi)易產(chǎn)生高頻抖振現(xiàn)象,待整定參數(shù)較多,且易出現(xiàn)因增益過大導(dǎo)致的觀測效果不佳的問題[28]。當(dāng)ESO采用fal函數(shù)時,提高其誤差反饋增益雖能提高ESO的收斂速度和觀測能力,但高增益同時也會顯著放大系統(tǒng)所受噪聲的影響[29]。實際工程中,傳感器測量的實際信號往往被各種噪聲所污染,如果不加以處理,輕則會引起系統(tǒng)輸出抖振,控制效果惡化,損耗執(zhí)行機構(gòu)的使用壽命。嚴(yán)重情況下,這種高增益下的噪聲放大效應(yīng)會降低系統(tǒng)穩(wěn)定性,甚至引起系統(tǒng)發(fā)散[30]。以四旋翼無人機俯仰角控制回路為例,不考慮傳感器量測噪聲時,基于傳統(tǒng)ESO的ADRC可以較好地跟蹤俯仰角指令信號,如圖2所示。而引入傳感器高斯噪聲時,跟蹤效果急劇惡化,如圖3所示。

圖2 無噪聲干擾時的響應(yīng)曲線

圖3 噪聲干擾時的響應(yīng)曲線

要克服這種現(xiàn)象,首先就必須要對fal函數(shù)進行改進。鑒于正態(tài)分布函數(shù)在工程上的廣泛應(yīng)用,考慮到非線性函數(shù)的選取原則,通過對均值為零、方差未知的正態(tài)分布函數(shù)加以改進,最終構(gòu)建了一種galn函數(shù),形式如下所示:

(12)

由于galn中的參數(shù)σ與fal中的參數(shù)α對各自函數(shù)的影響類似,為便于比較,仿真時始終保持σ=α。通過Matlab仿真軟件,可繪制fal函數(shù)與galn函數(shù)在σ=0.5,α=0.5,δ=0.01時的函數(shù)曲線對比圖,如圖4所示。fal函數(shù)與galn函數(shù)的原點曲線放大圖如圖5所示。fal函數(shù)與galn函數(shù)誤差反饋增益對比圖如圖6所示。

圖4 函數(shù)曲線仿真對比圖

圖5 函數(shù)曲線原點放大圖

圖6 函數(shù)曲線誤差增益圖

由圖4和圖5可知,當(dāng)誤差大于1時,galn函數(shù)輸出值被固定為一個較低的常量,明顯小于fal函數(shù)輸出值。同時,galn函數(shù)在原點附近更光滑且收斂性更好,有效克服了傳統(tǒng)fal函數(shù)在原點附近存在拐點而導(dǎo)致斜率較大的問題。由圖6可知,當(dāng)輸入誤差值趨向于0時,fal函數(shù)輸出增益趨于無窮,易引起系統(tǒng)震蕩;輸入誤差較小時,galn函數(shù)輸出增益高于fal函數(shù);而輸入誤差較大時,galn函數(shù)輸出增益明顯低于fal函數(shù)。

綜上分析表明,與fal函數(shù)相比,galn函數(shù)不僅更能體現(xiàn)“小誤差、大增益,大誤差、小增益”原則,而且避免了因fal函數(shù)自身缺陷導(dǎo)致零點附近增益量過大引發(fā)的系統(tǒng)高頻抖振問題,在原點附近具有更好的平滑性、連續(xù)性、收斂性。同時,galn函數(shù)待調(diào)參數(shù)僅有一個,易于整定,并通過在galn函數(shù)兩端采用固定常量輸出,進一步降低了參數(shù)σ的整定難度。因此,設(shè)計ESO時若采用該種非線性光滑galn函數(shù),不但能簡化整個控制系統(tǒng),還將提高觀測器的觀測能力,進而提高控制系統(tǒng)的抗干擾能力。

2.4 基于galn函數(shù)的ESO收斂性條件

用galn函數(shù)代替式(9)中的fal函數(shù),從而可以得到新型ESO模型如下所示:

(13)

重新計算誤差方程,如下所示:

(14)

其中,

(15)

引理 1[31]若存在矩陣

(16)

且矩陣D的主對角線上的數(shù)值均為正,使得矩陣DA(e)為正定對稱陣,則式(14)的零解是李雅普諾夫意義下漸進穩(wěn)定的。

根據(jù)引理1,故只需構(gòu)造出滿足條件的矩陣D使得DA(e)正定對稱,即可證式(14)是漸進穩(wěn)定的。現(xiàn)在則需尋找滿足條件的D矩陣。

計算矩陣DA(e)可得

(17)

其中,

(18)

顯然,G為一個有界值,其含義為原點到函數(shù)上任意點之間連線的斜率,該斜率的極大值為函數(shù)在零點處的導(dǎo)數(shù),故有00時,可以找到滿足引理1要求的矩陣D,使得矩陣DA(e)對稱正定,進而得到系統(tǒng)的零解是李雅普諾夫意義下漸進穩(wěn)定的結(jié)論,故此時基于galn函數(shù)設(shè)計的改進型ESO是收斂的。

3 基于galn函數(shù)的四旋翼姿態(tài)自抗擾控制算法仿真驗證

為驗證本文所提出的采用galn函數(shù)改進ESO方案的有效性,在四旋翼俯仰姿態(tài)控制系統(tǒng)中分別對觀測器跟隨誤差能力、控制器跟蹤期望指令信號能力、控制器抗干擾能力進行仿真對比驗證。根據(jù)文獻[32]的參數(shù)整定原則進行調(diào)試,仿真步長h固定為0.004 s,最終所得ADRC參數(shù)如表2所示。

表2 ADRC參數(shù)

3.1 ESO誤差跟隨能力仿真驗證

為驗證基于galn函數(shù)的改進ESO觀測性能,考慮在系統(tǒng)1.5 s時引入大小為10°,周期為2 s,脈沖寬度為0.5 s的矩形波干擾。本次仿真將x2狀態(tài)觀測值和x2實際值做差,得到x2的跟隨誤差量,仿真對比結(jié)果如圖7所示。將x3狀態(tài)觀測值和x3實際值做差,得到x3的跟隨誤差量,仿真對比結(jié)果如圖8所示。

圖7 x2狀態(tài)的跟隨誤差值

圖8 x3狀態(tài)的跟隨誤差值

由圖7可知,改進型ESO狀態(tài)x2的跟隨誤差峰值小于傳統(tǒng)ESO。由圖8可知,初始時改進型ESO狀態(tài)x3變化平緩,而傳統(tǒng)ESO狀態(tài)x3有抖振現(xiàn)象,且隨著誤差增大,改進型ESO狀態(tài)x3跟隨誤差值始終小于傳統(tǒng)ESO。因此,改進型ESO的誤差跟隨能力更強。

3.2 控制器跟蹤性能仿真驗證

為驗證采用改進型ESO的姿態(tài)ADRC在有傳感器高斯噪聲下的指令跟蹤能力,考慮在1 s時引入大小為30°的俯仰角階躍指令信號。圖9所示為無噪聲條件下的響應(yīng)曲線,圖10所示為有噪聲條件下的響應(yīng)曲線。

圖9 無噪聲干擾時的指令跟蹤曲線

圖10 噪聲干擾時的指令跟蹤曲線

由圖9可知,無傳感器高斯噪聲時,改進后的ADRC超調(diào)量略高于傳統(tǒng)ADRC,但均處于5%的可接受范圍內(nèi)。由圖10可知,有傳感器高斯噪聲時,傳統(tǒng)ADRC跟蹤誤差較大且有發(fā)散趨勢,而改進后則能夠穩(wěn)定的跟蹤期望俯仰角指令,且誤差量始終保持在一個較低的范圍內(nèi),因此采用改進型ESO的姿態(tài)ADRC跟蹤能力更強。

3.3 控制系統(tǒng)抗干擾性仿真驗證

四旋翼無人機在飛行過程中常遭遇外界風(fēng)擾,使其實際俯仰角產(chǎn)生較大的偏差。為驗證采用改進型ESO的姿態(tài)ADRC的抗干擾能力,此處用矩形波模擬在一段時間內(nèi)保持風(fēng)速恒定,隨后又突然消失的陣風(fēng)。在3 s時向俯仰角反饋回路加入大小為10°,脈沖寬度為0.5 s的矩形波。圖11所示為無噪聲下的響應(yīng)曲線,圖12所示為有噪聲下的響應(yīng)曲線。

圖11 無噪聲干擾下的風(fēng)擾響應(yīng)曲線

圖12 噪聲干擾下的風(fēng)擾響應(yīng)曲線

由圖11可知,無傳感器高斯噪聲干擾時,改進型ADRC面對外界風(fēng)擾可以更快地將輸出收斂至穩(wěn)態(tài)值,對擾動的抑制能力更強。由圖12可知,有傳感器高斯噪聲干擾時,改進型ADRC在保證穩(wěn)定跟蹤的基礎(chǔ)上,更快的消除了外界風(fēng)擾的影響。因此,采用改進型ESO的姿態(tài)ADRC有更好的抗干擾能力。

4 結(jié) 論

本文要解決的關(guān)鍵問題在于如何使四旋翼無人機在姿態(tài)角反饋信號含傳感器噪聲污染時仍能保持較好的穩(wěn)態(tài)性能。基于“大誤差小增益”的工程思想,構(gòu)建了新型非線性光滑galn函數(shù)來改進姿態(tài)ADRC中的ESO。通過Matlab仿真軟件繪圖來對比分析galn函數(shù)特性,驗證了其相較于fal函數(shù)理論上的優(yōu)越性;采用galn函數(shù)設(shè)計ESO,仿真結(jié)果驗證了這種改進型ESO具有更好的誤差跟隨性能和更好的觀測性能,即使在傳感器高斯噪聲污染下,控制系統(tǒng)也能保持對期望信號良好的跟蹤效果。最后,通過仿真實驗驗證了當(dāng)四旋翼遇到外界風(fēng)擾時,改進后的自抗擾控制系統(tǒng)在有無噪聲條件下都具有更強的抗干擾能力。因此,基于galn函數(shù)所設(shè)計的ESO為含噪聲污染、外界干擾的自抗擾控制系統(tǒng)提供了一種新的改進方案。