多模型廣義標(biāo)簽多伯努利濾波器

辛懷聲, 宋鵬漢, 曹 晨

(中國電子科技集團(tuán)公司電子科學(xué)研究院, 北京 100041)

0 引 言

隨時(shí)間傳遞多目標(biāo)后驗(yàn)密度的貝葉斯多目標(biāo)濾波器是解決多目標(biāo)跟蹤問題的貝葉斯最優(yōu)解[1]。在標(biāo)準(zhǔn)多目標(biāo)系統(tǒng)建模下,由于多目標(biāo)后驗(yàn)密度服從廣義標(biāo)簽多伯努利(generalized gabeled multi-Bernoulli, GLMB)分布[2],因此基于GLMB分布得到的貝葉斯濾波器就成了最優(yōu)的多目標(biāo)濾波器,也就是GLMB濾波器或Vo-Vo濾波器[3-4]。但值得注意的是,GLMB濾波器并沒有對目標(biāo)的運(yùn)動模型進(jìn)行深入分析。

研究表明,運(yùn)動模型與真實(shí)運(yùn)動之間的失配是機(jī)動目標(biāo)跟蹤面臨的一個(gè)最主要的挑戰(zhàn)[5],在隨機(jī)有限集多目標(biāo)跟蹤算法中這也是影響跟蹤機(jī)動目標(biāo)的最關(guān)鍵因素之一。運(yùn)動模型的失配往往導(dǎo)致時(shí)間預(yù)測步驟得到的狀態(tài)轉(zhuǎn)移密度與目標(biāo)的真實(shí)運(yùn)動狀態(tài)完全背離,進(jìn)而引起后續(xù)關(guān)聯(lián)和跟蹤的徹底失敗。針對這個(gè)問題的一個(gè)有效解決手段是引入馬爾可夫跳變系統(tǒng)(jump Markov system,JMS)。引入JMS后目標(biāo)的運(yùn)動模型可以在一個(gè)運(yùn)動模型集之內(nèi)切換。一些基于JMS的多模型隨機(jī)有限集濾波器被陸續(xù)提出,例如多模型概率假設(shè)密度(multiple model probability hypothe-sis density, MM-PHD)[6-9],多模型勢集概率假設(shè)密度(multiple model cardinalized probability hypothesis density, MM-CPHD)[10],多模型多伯努利(multiple model multi-Bernoulli, MM-MB)[11-12],多模型標(biāo)簽多伯努利(multiple model labeled multi-Bernoulli, MM-LMB)[13-15]。近期為了擴(kuò)展GLMB在機(jī)動目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域的適用性,多模型GLMB(multiple model GLMB, MM-GLMB)算法[16-18]被提出來,這類MM-GLMB算法首先對帶標(biāo)簽的目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行擴(kuò)展,然后基于JMS和目標(biāo)的擴(kuò)展運(yùn)動狀態(tài)對GLMB的預(yù)測和更新方程進(jìn)行推導(dǎo),從而得到多模型算法的閉式解,所以MM-GLMB算法也被稱為JMS-GLMB算法。然而,完整的JMS-GLMB算法存在JMS分支規(guī)模成指數(shù)增長的問題,無法實(shí)現(xiàn),因此已有的JMS-GLMB算法都采取了剪枝近似的方式控制跳變分支的規(guī)模。

與剪枝策略對應(yīng)的,目前流行的多種經(jīng)典多模型算法,例如交互多模型(interacting multiple model, IMM)、變結(jié)構(gòu)多模型(variable-structure multiple model, VS-MM)[19-23]和廣義偽貝葉斯(generalized pseudo Bayes, GPB)[24],均采用基于條件概率的分支合并策略解決JMS分支的規(guī)模膨脹問題,在跟蹤精度和計(jì)算復(fù)雜度方面均優(yōu)于采取剪枝策略的多模型算法,而已有的MM-GLMB算法還沒有采用分支合并策略的解決方案。

本文將馬爾可夫分支合并策略與GLMB算法結(jié)合,提出了3種多模型GLMB算法,分別為IMM-GLMB、一階GPB-GLMB (GPB1-GLMB),以及二階GPB-GLMB (GPB2-GLMB),并通過蒙特卡羅仿真對所提算法與JMS-GLMB進(jìn)行比較,驗(yàn)證了所提算法在精度和計(jì)算時(shí)間兩個(gè)方面都優(yōu)于JMS-GLMB,尤其在計(jì)算時(shí)間上優(yōu)勢明顯。

下面章節(jié)中,第1節(jié)首先簡要介紹JMS和JMS-GLMB濾波算法的背景知識,在第2節(jié)至第4節(jié)中參照IMM和GPBn的分支合并策略給出IMM-GLMB、GPB1-GLMB和GPB2-GLMB這3種濾波器的遞推公式和高斯混合實(shí)現(xiàn)。第5節(jié)通過仿真對所提出的3種算法與JMS-GLMB進(jìn)行對比。第6節(jié)對所提的3種濾波器做出結(jié)論。

1 背 景

1.1 JMS簡介

(1)

定義馬爾可夫模式跳變概率矩陣為

(2)

式中:χi, j表示模式rj跳變到模式ri的概率。

接下來對目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移密度使用貝葉斯規(guī)則,可以得到馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移密度如下所示:

(3)

1.2 JMS-GLMB濾波算法

假設(shè)目標(biāo)的運(yùn)動模式跳變歷史可以用索引?進(jìn)行標(biāo)記。p?為跳變歷史?的概率。因此,按照貝葉斯全概率公式單目標(biāo)的分布密度可以寫為

(4)

假設(shè)經(jīng)過k次迭代后多目標(biāo)后驗(yàn)分布滿足標(biāo)簽多伯努利分布,如下所示:

(5)

式中:X為多目標(biāo)狀態(tài)的隨機(jī)有限集;o′表示多假設(shè)的索引。將帶標(biāo)簽和模式變量的目標(biāo)增廣狀態(tài)分布s(x,l,r)以及式(1)～式(4)代入GLMB的時(shí)間預(yù)測方程中，可以得到JMS-GLMB的時(shí)間預(yù)測步驟結(jié)果,如下所示:

(6)

式中:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

假設(shè)k+1時(shí)刻量測集合為Zk+1,則JMS-GLMB的觀測更新步驟如下所示:

(13)

式中:

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

新的運(yùn)動模型跳變分支概率如下所示：

(20)

式中:歸一化參數(shù)

?k+1表示k+1時(shí)刻的模式跳變分支索引,由k+1時(shí)刻的模式r與k時(shí)刻的跳變歷史索引?k組合而成,如下所示:

?k+1=(r,?k)

(21)

θ函數(shù)為航跡標(biāo)簽到量測的關(guān)聯(lián)映射;κ(z)函數(shù)為雜波強(qiáng)度函數(shù),κ(z)=λ·c(z),c(z)為雜波空間密度,雜波數(shù)量服從泊松分布;λ為泊松分布的均值。

通過式(10)可知,在JMS-GLMB濾波迭代過程中,單目標(biāo)的模式跳變分支數(shù)量會隨每次預(yù)測迭代增長R倍,即按照運(yùn)動模型集合的勢成指數(shù)增長。為了易于實(shí)現(xiàn),在觀測更新結(jié)束后需要進(jìn)行剪枝,以保持分支總體規(guī)模的穩(wěn)定。

2 IMM-GLMB濾波器

參考IMM在預(yù)測前進(jìn)行目標(biāo)運(yùn)動狀態(tài)混合的思路,IMM-GLMB可以通過模式條件概率將多目標(biāo)狀態(tài)分布進(jìn)行多模式合并近似,解決馬爾可夫模式跳變分支的數(shù)量爆炸問題。

2.1 IMM-GLMB濾波算法

假設(shè)經(jīng)過k輪迭代后多目標(biāo)GLMB先驗(yàn)密度如下所示:

(22)

(23)

單目標(biāo)分布混合密度:

(24)

(25)

根據(jù)IMM算法有:

完成狀態(tài)混合后,進(jìn)行時(shí)間預(yù)測步驟,多目標(biāo)時(shí)間預(yù)測分布密度函數(shù)為

(26)

式中:

(27)

ps(x′,l,r)·fr,l(x|x′)dx′

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

假設(shè)k+1時(shí)刻觀測集合為Zk+1,則觀測更新步驟后多目標(biāo)密度可以表示為

(33)

式中:

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

模式概率更新方程如下所示:

(39)

2.2 IMM-GLMB的高斯混合實(shí)現(xiàn)

(40)

目標(biāo)的狀態(tài)混合密度為

(41)

式中:

(42)

(43)

將式(41)代入式(25)可以得到多目標(biāo)時(shí)間預(yù)測表達(dá)式：

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

目標(biāo)狀態(tài)提取方程為

(57)

對應(yīng)協(xié)方差為

(58)

模式概率更新方程為

(59)

3 GPB1-GLMB濾波器

區(qū)別于IMM-GLMB,GPB1沒有預(yù)測前混合步驟,或者可以認(rèn)為GPB1為χi, j全相等條件下的特殊混合形式的IMM。

3.1 GPB1-GLMB濾波算法

設(shè)經(jīng)過k次迭代后多目標(biāo)先驗(yàn)分布密度如式(5)所示,則時(shí)間預(yù)測步驟后的多目標(biāo)密度為

(60)

(61)

(62)

(63)

ps(x′,l,r)·fr,l(x|x′)dx′

(64)

(65)

(66)

GPB1-GLMB的觀測更新步驟如下所示:

(67)

式中:

(68)

(69)

(70)

(71)

(72)

(73)

目標(biāo)狀態(tài)提取如下所示:

(74)

模式概率更新方程如下所示:

(75)

3.2 GPB1-GLMB的高斯混合實(shí)現(xiàn)

(76)

(77)

(78)

(79)

(80)

(81)

設(shè)線性高斯條件下量測矩陣為Hk+1,則觀測更新步驟的高斯混合實(shí)現(xiàn)為

(82)

(83)

式中:

(84)

(85)

(86)

單目標(biāo)分布密度為

(87)

合成單目標(biāo)分布密度:

(88)

則狀態(tài)提取表達(dá)式為

(89)

(90)

模式概率的更新為

(91)

4 GPB2-GLMB濾波器

4.1 GPB2-GLMB濾波算法

參考GPB2的濾波架構(gòu),單目標(biāo)分布密度在每次迭代中需要進(jìn)行R2個(gè)模式分支計(jì)算,并根據(jù)量測似然度更新模式概率,合并模式分支。

假設(shè)k時(shí)刻多目標(biāo)先驗(yàn)GLMB分布密度為

(92)

則時(shí)間預(yù)測分布密度可以表示為

fk+1|k(X)=

(93)

(94)

(95)

(96)

(97)

(98)

通過式(93)可以看出經(jīng)過預(yù)測步驟后表示每個(gè)目標(biāo)的R個(gè)模式分支增加到了R2個(gè)。

GPB2-GLMB的觀測更新步驟如下,更新后多目標(biāo)的GLMB密度為

(99)

其隨機(jī)集權(quán)重和單目標(biāo)分布密度為

(100)

(101)

式中:

(102)

(103)

(104)

(105)

(106)

完成觀測更新后,還需要進(jìn)行狀態(tài)合并:

(107)

(108)

(109)

模式更新為

(110)

歸一化參數(shù):

從式(107)、式(109)可以看出,經(jīng)過觀測更新后R2個(gè)分支密度被合并為R個(gè),使得表示單個(gè)目標(biāo)的分支數(shù)量保持穩(wěn)定,避免了馬爾可夫模式跳變分支數(shù)量呈指數(shù)增長的問題。

4.2 GPB2-GLMB的高斯混合實(shí)現(xiàn)

(111)

(112)

(113)

(114)

(115)

(116)

(117)

(118)

(119)

(120)

(121)

(122)

(123)

(124)

k+1時(shí)刻的目標(biāo)合并分布為

(125)

(126)

(127)

模式概率更新為

(128)

式中:歸一化參數(shù)

5 仿 真

5.1 環(huán)境設(shè)置

下面設(shè)置一個(gè)兩維跟蹤場景,比較JMS-GLMB與本文提出的IMM-GLMB、GPB1-GLMB和GPB2-GLMB這3種濾波器的機(jī)動多目標(biāo)跟蹤性能。仿真場景設(shè)置如下,傳感器位于坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0) m,傳感器量測周期T=8 s。多個(gè)機(jī)動目標(biāo)在[0,150 000] m×[-20 000,100 000] m觀測區(qū)域內(nèi)運(yùn)動。運(yùn)動模型集由一個(gè)勻速運(yùn)動(constant velocity, CV)模型、一個(gè)右轉(zhuǎn)模型(5°/s轉(zhuǎn)彎速率的協(xié)同轉(zhuǎn)彎(corrdinated turn, CT)模型和一個(gè)左轉(zhuǎn)彎模型(-5°/s轉(zhuǎn)彎速率的CT模型)組成。3個(gè)運(yùn)動模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣如下所示。

CV的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為

右轉(zhuǎn)模型(CT,ω1=5π/180)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為

左轉(zhuǎn)模型(CT,ω2=-5π/180)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為

過程噪聲協(xié)方差矩陣：

過程噪聲方差對于CV模型取σv1=5 m/s2,對于CT模型取σv2=σv3=20 m/s2。

馬爾可夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣給定如下：

5個(gè)機(jī)動目標(biāo)的存活概率設(shè)為ps=0.99,初始狀態(tài)設(shè)置如表1所示,各個(gè)目標(biāo)運(yùn)動模型轉(zhuǎn)換的時(shí)序如圖1所示。

表1 目標(biāo)初始狀態(tài)表

圖1 目標(biāo)運(yùn)動模型轉(zhuǎn)換時(shí)序圖

目標(biāo)的真實(shí)運(yùn)動路徑如圖2所示。

圖2 目標(biāo)運(yùn)動軌跡

由于標(biāo)準(zhǔn)GLMB采取的已知新生目標(biāo)分布策略會導(dǎo)致斷批目標(biāo)航跡無法重新起始,所以本文的算法均采用邏輯法進(jìn)行航跡起始,確保目標(biāo)航跡中斷后可以重新起始。

量測方程采用極坐標(biāo)形式,d為目標(biāo)距離,α為目標(biāo)方位角。xsensor為傳感器的X軸坐標(biāo),ysensor為傳感器的Y軸坐標(biāo)。

量測方差設(shè)置如下:

方位角標(biāo)準(zhǔn)差σα=0.1π/180,測距標(biāo)準(zhǔn)差σd=50 m。每個(gè)掃描周期的雜波點(diǎn)數(shù)服從均值為λ的泊松分布,每個(gè)雜波點(diǎn)的位置在觀測范圍內(nèi)均勻分布。最優(yōu)子模型分配(optimal sub-pattern assignment,OSPA)[25]的參數(shù)設(shè)定為c=200 m,p=3。為了定量對OSPA曲線進(jìn)行排名,對OSPA按時(shí)間統(tǒng)計(jì)其均值TOSPA,定義如下:

式中:OSPAk為時(shí)刻k對應(yīng)的OSPA誤差;S為單次仿真運(yùn)行的計(jì)算迭代次數(shù)。

5.2 仿真結(jié)果分析

在給定目標(biāo)探測概率pd=0.95,雜波率λ=5的情況下,對每個(gè)濾波器進(jìn)行150次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn),計(jì)算時(shí)間消耗的對比如表2和圖3所示。

表2 4種MM-GLMB濾波器的平均計(jì)算時(shí)間對比(λ=5)

圖3 4種MM-GLMB濾波器的計(jì)算時(shí)間消耗對比(λ=5)

OSPA誤差對比如圖4所示。

圖4 4種MM-GLMB濾波器的OSPA航跡跟蹤誤差對比

可以看出,GPB1-GLMB、IMM-GLMB以及GPB2-GLMB跟蹤精度都要優(yōu)于JMS-GLMB。其中,GPB2-GLMB精度最高,IMM跟蹤精度次之,GPB1-GLMB的精度排在第三名。另外,通過計(jì)算時(shí)間消耗對比可知,GPB1-GLMB消耗時(shí)間是最小的,JMS-GLMB消耗時(shí)間最多。

下面討論4種濾波器在高雜波率和低探測概率情況下的表現(xiàn)。首先在雜波率λ=30,探測概率pd=0.95的情況下,進(jìn)行150次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)。

計(jì)算時(shí)間消耗對比如表3和圖5所示。

表3 4種MM-GLMB濾波器的平均計(jì)算時(shí)間對比(λ=30)

圖5 4種MM-GLMB濾波器的計(jì)算時(shí)間消耗對比(λ=30)

可以看出,隨著雜波率的提升,雜波造成的無效關(guān)聯(lián)占用了更多的計(jì)算時(shí)間,所以4種算法的計(jì)算時(shí)間消耗差距有所縮小。

跟蹤精度對比如圖6所示。

圖6 4種MM-GLMB濾波器的OSPA航跡跟蹤 誤差對比(高雜波率)

可以看出,誤差距離有所抬升,所提3種算法的跟蹤精度仍然都優(yōu)于JMS-GLMB,其中GPB2-GLMB精度最高。

下面設(shè)置雜波率λ=5,探測概率pd=0.75,進(jìn)行150次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)對比測試。4種算法的計(jì)算時(shí)間對比如表4和圖7所示。

表4 4種MM-GLMB濾波器的平均計(jì)算時(shí)間對比(pd=0.75)

圖7 4種MM-GLMB濾波器的計(jì)算時(shí)間消耗對比(pd=0.75)

跟蹤精度對比的結(jié)果如圖8所示,可以看出在低探測概率的情況下4種濾波器的跟蹤精度與高探測概率情況相比都有較大程度的下降。

圖8 4種MM-GLMB濾波器的OSPA航跡跟蹤 誤差對比(低探測概率)

4種濾波器的TOSPA誤差對比如表5所示,可以看出JMS-GLMB精度是最低的,跟蹤精度最高的是GPB2-GLMB,其次是IMM-GLMB。

表5 航跡跟蹤平均TOSPA誤差對比

4種濾波器的平均目標(biāo)數(shù)量估計(jì)對比如圖9所示,可見4種濾波器都可以正確估計(jì)目標(biāo)數(shù)量,目標(biāo)數(shù)量估計(jì)性能的差距很小。

圖9 平均目標(biāo)數(shù)量估計(jì)對比

通過4種MM-GLMB在不同雜波率和不同探測概率下的對比可以看出:

(1) 所提3種濾波器的計(jì)算時(shí)間消耗都小于JMS-GLMB。

(2) 所提3種濾波器的跟蹤精度都優(yōu)于JMS-GLMB。

(3) 高雜波率和低探測概率都會增加IMM-GLMB濾波器的航跡跟蹤誤差,低探測概率的影響比高雜波率更顯著。

(4) GPB2-GLMB的跟蹤精度最高,IMM-GLMB雖然精度稍低但是計(jì)算時(shí)間與GPB1-GLMB基本一樣,與GPB2-GLMB相比在計(jì)算實(shí)時(shí)性上有較大優(yōu)勢。

6 結(jié) 論

為了解決機(jī)動多目標(biāo)跟蹤問題,本文將馬爾可夫分支合并策略與GLMB濾波器相結(jié)合,給出了3種MM-GLMB濾波器,包括IMM-GLMB、GPB1-GLMB和GPB2-GLMB的遞推公式和高斯混合實(shí)現(xiàn),并將這3種濾波器與JMS-GLMB濾波器進(jìn)行對比。仿真結(jié)果表明:在計(jì)算時(shí)間消耗方面,所提3種濾波器都比JMS-GLMB有明顯降低,其中GPB1-GLMB計(jì)算時(shí)間消耗最低。而在航跡跟蹤精度方面,所提3種濾波器的跟蹤精度也都優(yōu)于JMS-GLMB,其中GPB2-GLMB跟蹤精度最高。IMM-GLMB雖然計(jì)算時(shí)間和跟蹤精度都不是最好的,但是在計(jì)算時(shí)間和跟蹤精度上與第一名的差距都非常小,綜合性能最優(yōu)。因此,在航跡跟蹤精度要求較高且計(jì)算資源充足的系統(tǒng)中可以采用GPB2-GLMB,以獲得更高的航跡跟蹤精度,而在計(jì)算資源緊張或目標(biāo)規(guī)模較大的場景中可以采用IMM-GLMB,以非常小的跟蹤精度代價(jià)換取更高的目標(biāo)處理容量。