“數(shù)形結(jié)合思想”在小學(xué)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中的應(yīng)用探究

☉王 雷

數(shù)形結(jié)合是指在解題過程中，在數(shù)學(xué)問題和結(jié)論之間利用圖形建立起聯(lián)系，便于學(xué)生理解。在學(xué)生學(xué)習(xí)過程中，數(shù)形結(jié)合方法的使用能夠有效簡(jiǎn)化解題過程，讓題目更加形象，幫助學(xué)生尋找正確的解題思路，高效解題。然而，在現(xiàn)實(shí)教學(xué)過程中，雖然數(shù)形結(jié)合思想提出由來已久，但應(yīng)用卻并不廣泛，教師在教學(xué)過程中也經(jīng)常忽略這一思想，使得數(shù)形結(jié)合這一思想的重要作用沒有體現(xiàn)出來。尤其對(duì)于學(xué)生而言，分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)存在較多問題。分?jǐn)?shù)知識(shí)太過抽象，而數(shù)形結(jié)合思想能夠幫助學(xué)生更好地理解分?jǐn)?shù)，解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。因此，教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該重視數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，幫助學(xué)生高效解答題目［1］。

一、數(shù)形轉(zhuǎn)換，簡(jiǎn)化復(fù)雜問題

數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用最終應(yīng)該是讓學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)能夠有數(shù)形結(jié)合的意識(shí)?？吹綌?shù)學(xué)問題時(shí)，不要僅僅著眼于應(yīng)用題中的每一個(gè)文字，著眼于從文字中尋找重點(diǎn)信息，更需要讓學(xué)生能夠有意識(shí)地將重點(diǎn)的信息以圖形的形式表現(xiàn)出來，讓重點(diǎn)信息更加清晰明了，讓數(shù)量之間的關(guān)系更加顯而易見，讓學(xué)生在解決問題時(shí)不用到原本的題目中去尋找數(shù)量關(guān)系，只需要從自己繪制出的輔助圖形中進(jìn)行信息的提取即可。在學(xué)生還不具備數(shù)學(xué)結(jié)合的意識(shí)時(shí)，教師就應(yīng)該讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用可以實(shí)現(xiàn)題目的由難到易、由復(fù)雜到簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生能夠意識(shí)到數(shù)形結(jié)合思想在解題過程中的重要性，從而在以后遇到數(shù)學(xué)問題時(shí)，自覺運(yùn)用數(shù)形結(jié)合理念實(shí)現(xiàn)題目的簡(jiǎn)化。

例如，在日常生活中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)分東西的情景，數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最常見的就是分蛋糕。蛋糕作為一個(gè)整體就可以看作是單位1，在解決過程中也經(jīng)常是看到以一個(gè)單位的蛋糕為原型所設(shè)計(jì)的應(yīng)用題。比如，5個(gè)同學(xué)在一起分一個(gè)蛋糕，將蛋糕分成了8等份，每位同學(xué)分得一塊蛋糕后，蛋糕還剩下幾分之幾？雖然該應(yīng)用題的解題難度并不是太大，但是充分利用數(shù)形結(jié)合思想就可以讓題目變得更加簡(jiǎn)單。教師可以簡(jiǎn)單地畫一個(gè)圓形代替蛋糕，然后將其進(jìn)行8等分，再將已經(jīng)分出去的5份蛋糕涂色幫助學(xué)生記憶，最后讓學(xué)生觀察剩下的蛋糕占據(jù)原蛋糕的幾分之幾。這種數(shù)形結(jié)合的方式，不僅能夠讓學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)更加有興趣，更能夠幫助學(xué)生主動(dòng)去將具體的應(yīng)用題信息進(jìn)行抽象化，簡(jiǎn)化題目信息，讓復(fù)雜的問題更加簡(jiǎn)單。

分?jǐn)?shù)對(duì)于學(xué)生而言是更為抽象的概念，因?yàn)閷W(xué)生還不習(xí)慣從整體中找部分的思維，此時(shí)，教師使用數(shù)形結(jié)合方式，將抽象的分?jǐn)?shù)問題轉(zhuǎn)換成為多個(gè)整體組成一個(gè)大整體的問題，有助于學(xué)生進(jìn)行更加細(xì)致、直觀的理解。

二、線段輔助，理解數(shù)量關(guān)系

分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的解答會(huì)給學(xué)生帶來一定的難度。因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)與普通整數(shù)的類型不同，普通的整數(shù)就是一個(gè)完整的個(gè)體，然而分?jǐn)?shù)是將一個(gè)完整的個(gè)體再次進(jìn)行細(xì)化。很多學(xué)生在理解時(shí)就會(huì)存在問題，不知道應(yīng)該如何去劃分，理解整體和部分的關(guān)系。線段的使用就能夠幫助學(xué)生將一個(gè)整體分割開來進(jìn)行思考，更加形象具體便于理解，而且操作較為簡(jiǎn)單。因此，教師在幫助學(xué)生解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生利用線段進(jìn)行輔助表示，幫助學(xué)生找到不同的數(shù)量關(guān)系，尋找解題的思路。

例如，在分?jǐn)?shù)應(yīng)用題解中，經(jīng)?？梢钥吹筋}目中數(shù)量和分率之間存在不同的關(guān)系。如果能夠正確找到所求的數(shù)量或者是分率與另一數(shù)量或者是分率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就能夠快速解答這一分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。比如，有這樣一組題目：題目一，花園里有玫瑰和牡丹兩種花，玫瑰花有18朵，牡丹花有3朵，問牡丹花的數(shù)量是玫瑰花的幾分之幾？題目二，花園里有18朵玫瑰花，牡丹花的數(shù)量是玫瑰花的，問牡丹花有多少朵？題目三，花園里有3朵牡丹花，正好是玫瑰花數(shù)量的，那么花園里有多少朵玫瑰花？后兩個(gè)題目都是由題目一進(jìn)行轉(zhuǎn)換的。而這兩個(gè)主體即玫瑰花和牡丹花之間的關(guān)系，就可以利用線段圖快速找到。學(xué)生可以首先確定單位長(zhǎng)度，代表18朵玫瑰花，然后在下方繼續(xù)做出代表3朵牡丹花的線段，兩條線段進(jìn)行對(duì)比就可以看出兩種花的數(shù)量關(guān)系。以上題目的數(shù)量關(guān)系較為簡(jiǎn)單，在題目解答時(shí)線段的作用并不是非常明顯，當(dāng)題目更加復(fù)雜時(shí)，線段的作用就可以凸顯出來了。如在一個(gè)題目中有兩個(gè)以上的數(shù)量關(guān)系：小明去文具店買文具，他買了8只鉛筆，買的鋼筆的數(shù)量是鉛筆的，橡皮的數(shù)量是鉛筆數(shù)量的，那么小明買了幾只橡皮呢，這個(gè)問題就涉及鉛筆、鋼筆、橡皮三個(gè)物體。在解題時(shí)利用線段，可以將三者之間的數(shù)量關(guān)系快速得到。如可以畫一條長(zhǎng)度為單位1的線段代表8支鉛筆，將其4等分，其中1份代表鋼筆的數(shù)量，然后在代表鉛筆的那一線段中，再次將其二等分，得出購買橡皮的數(shù)量。根據(jù)線段就可以快速得出所要求出的橡皮的數(shù)量［2］。

對(duì)于抽象的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題目，線段的使用能夠讓學(xué)生更加直觀和具體地觀察分?jǐn)?shù)在一個(gè)整體中的呈現(xiàn)情況。因此，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用線段代替題目中提及的物體，使學(xué)生更加形象地辨認(rèn)題目中的分?jǐn)?shù)數(shù)量關(guān)系。

三、邏輯梳理，提高解題效率

在應(yīng)用題解題過程中，常常會(huì)設(shè)置一些具有迷惑性的條件，這些條件的存在，主要是為了混淆學(xué)生的思路，為學(xué)生解題制造困難。數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用就可以讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)形轉(zhuǎn)換，快速提取題目中的有效信息，避免一些無效信息帶來的干擾。通常學(xué)生在解題過程中總會(huì)認(rèn)為每個(gè)條件的存在都是有其意義的，認(rèn)為所有的條件都應(yīng)該應(yīng)用在解題過程中，某一條件沒有使用就會(huì)覺得自己解題出現(xiàn)了錯(cuò)誤。數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用可以讓學(xué)生在解題過程中快速了解哪些是有效信息，哪些是無效信息，增強(qiáng)學(xué)生自信，提高學(xué)生解題效率。

例如，學(xué)生在完成某一個(gè)應(yīng)用題的過程中利用線段輔助完成了題目的解答。如題：現(xiàn)在有一捆56米的絲帶用來做裝飾，小明用了，小華用了剩下的，小麗用了剩下，最后剩下幾分之幾的絲帶？這一個(gè)問題相對(duì)復(fù)雜，因?yàn)橄胍玫阶罱K的答案需要經(jīng)過好幾段計(jì)算。第一步計(jì)算小明使用后剩下的絲帶的長(zhǎng)度：56－56×＝48；第二步計(jì)算小華使用后剩下的絲帶的長(zhǎng)度：48－48×＝36；第三步計(jì)算最后小麗用過絲帶后剩下的絲帶的長(zhǎng)度：36－36×＝30。在分步計(jì)算以后學(xué)生能夠更加清晰地了解各個(gè)步驟的解題意圖，也能夠保證計(jì)算不會(huì)出錯(cuò)。有很多學(xué)生在計(jì)算時(shí)忽略了“剩下的”這一解題的關(guān)鍵信息，在解題時(shí)直接56×××。利用線段就可以避免這一問題的出現(xiàn)。第一步，畫出代表56米絲帶的一個(gè)單位長(zhǎng)度的線段，然后將其進(jìn)行7等分，其中一份標(biāo)注“小明”；第二步，將另外6份的線段再次4等分，其中一份標(biāo)注小華；第三步，將剩余的線段再次6等分，其中一份標(biāo)注小麗，剩余5份標(biāo)注“？”，即為所求。在學(xué)生剛剛接觸應(yīng)用題時(shí)，解題思路不清晰，線段就可以要求精準(zhǔn)，但是可能會(huì)花費(fèi)較多時(shí)間。在學(xué)生熟練以后，就可以利用大致的線段，表明每一部分的所占分?jǐn)?shù)，快速幫助學(xué)生了解題意，解決問題，避免忽略重點(diǎn)信息。

解題邏輯的正確與否對(duì)于題目的解答是具有關(guān)鍵性影響的，使用簡(jiǎn)便且正確的邏輯能夠提升學(xué)生解題的邏輯性。基于此，教師在引導(dǎo)學(xué)生解答時(shí)首先要教導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)甄別題目信息，從中整理出可用的有效信息，提升解答的流暢性。

四、思維發(fā)散，實(shí)現(xiàn)靈活運(yùn)用

在數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題過程中，尤其是在小學(xué)階段應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生一題多解、靈活解題的思想。在學(xué)生學(xué)習(xí)的題目難度逐步提升以后，同一問題的解題思路往往是不唯一的。不同的解題方法它各有利弊，雖說有些解題方法對(duì)于學(xué)生來說較難理解，但是，它使得解題更加簡(jiǎn)單，而對(duì)有些應(yīng)用題在解題過程中步驟雖然復(fù)雜，但更加便于理解，學(xué)生接受起來更加容易。在學(xué)生剛剛接觸應(yīng)用題時(shí)，對(duì)于應(yīng)用題的解題思維路徑的培養(yǎng)是不夠成熟的，通過數(shù)形結(jié)合思想的引入，讓學(xué)生在解題過程中可以通過多種形式體會(huì)到題目要點(diǎn)，教師在教學(xué)時(shí)會(huì)更加高效，學(xué)生在理解時(shí)也會(huì)更加輕松。而且數(shù)形結(jié)合的引入更能夠幫助學(xué)生了解不一樣的解題思路，提高解題效率，幫助學(xué)生尋找最適合他們的解題方式。

例如，在教學(xué)過程中，教師不僅僅應(yīng)該教學(xué)生從題目中尋找數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建數(shù)形結(jié)合工具，也需要教學(xué)生反過來利用數(shù)形結(jié)合的結(jié)果，思考能夠解決什么類型的問題。這種對(duì)數(shù)形結(jié)合工具翻轉(zhuǎn)式的使用能夠讓學(xué)生從更多角度思考問題，對(duì)問題的理解也更加清晰。比如，教師為學(xué)生提供一個(gè)圖形，一個(gè)被六等分的長(zhǎng)6個(gè)單位，寬2個(gè)單位的長(zhǎng)方形，其中有兩個(gè)部分被做出標(biāo)記。然后，教師讓學(xué)生以此為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)題目。學(xué)生通常都是根據(jù)題目繪制圖形，突然要求學(xué)生設(shè)計(jì)題目，學(xué)生往往會(huì)摸不到頭腦。但是，這種模式也能夠幫助學(xué)生了解數(shù)形結(jié)合時(shí)圖形繪制的要點(diǎn)，提高解題的效率。學(xué)生就可以根據(jù)圖形設(shè)置如下的題目：有一塊長(zhǎng)6米，寬2米的花園，園丁將其分成6個(gè)部分，一個(gè)部分種植玫瑰，一個(gè)部分種植郁金香，剩下的種植向日葵。問種植的向日葵的面積是幾分之幾？學(xué)生還可以為這一圖形設(shè)置不同的背景，讓學(xué)生對(duì)這一類型的問題了解得更加透徹［3］。

讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，自己設(shè)置相對(duì)應(yīng)的題目，有利于學(xué)生更加深刻地意識(shí)到相關(guān)題目設(shè)立的邏輯。因此，教師可以讓學(xué)生基于數(shù)形結(jié)合自行思考并設(shè)置相關(guān)題目，推動(dòng)學(xué)生完善自身對(duì)于數(shù)學(xué)題目的解答邏輯。

五、習(xí)題講解，把握內(nèi)在邏輯

數(shù)形結(jié)合通常是幫助學(xué)生在理解數(shù)學(xué)問題的基礎(chǔ)上找到數(shù)學(xué)的解題策略。然而，在實(shí)際教學(xué)過程中，教師也可以讓數(shù)形結(jié)合實(shí)現(xiàn)不一樣的用途，它不僅可以幫助學(xué)生解決問題，同樣可以幫助學(xué)生回顧問題。即教師在讓學(xué)生解決某一問題之后，學(xué)生會(huì)采用具體的數(shù)形結(jié)合方法達(dá)到解題的目標(biāo)。教師可以繼續(xù)利用學(xué)生所創(chuàng)作出的數(shù)形結(jié)合的工具，讓學(xué)生反過來思考，根據(jù)這一數(shù)形結(jié)合的過程，可以推出怎樣一個(gè)題目。這樣反過來的思考能夠讓學(xué)生對(duì)于這一題目有更加清晰的認(rèn)知?；蛘呓處熆梢宰寣W(xué)生根據(jù)自己所做出的數(shù)形結(jié)合的解題思路去向其他學(xué)生講述這一個(gè)問題的解題過程，以及具體的數(shù)形結(jié)合實(shí)現(xiàn)的方法，讓學(xué)生能夠再次明晰自己的思路。

例如，學(xué)生在解答應(yīng)用題以后，有些學(xué)生并沒有意識(shí)繪制圖形輔助解題，有些學(xué)生繪制圖形也僅僅是做樣子，并沒有利用圖形幫助解題。教師就可以讓學(xué)生以自己繪制的圖形為基礎(chǔ)，講解自己的解題思路，以及為什么會(huì)繪制這樣一個(gè)圖形。比如這樣的題目：一個(gè)班級(jí)有36個(gè)學(xué)生，有6個(gè)學(xué)生報(bào)名美術(shù)興趣小組，12個(gè)學(xué)生報(bào)名書法興趣小組，18個(gè)學(xué)生報(bào)名舞蹈興趣小組。有學(xué)生就繪制一個(gè)餅圖，然后教師讓學(xué)生解釋繪制理由：將餅圖6等分，1份代表美術(shù)小組學(xué)生，2份代表書法興趣小組學(xué)生，3份代表舞蹈興趣小組學(xué)生。問題是求解書法和舞蹈興趣小組的學(xué)生占班級(jí)學(xué)生的幾分之幾。學(xué)生的計(jì)算結(jié)果就是：。

教師可以讓學(xué)生將自己解答某一題目的思路展示出來，加深學(xué)生對(duì)于相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的記憶，并向?qū)W生展示正確合理地使用了數(shù)學(xué)結(jié)合后的效果，讓學(xué)生自行對(duì)比，改善學(xué)生不當(dāng)使用數(shù)形結(jié)合解答分?jǐn)?shù)問題的情況。

總之，在小學(xué)階段，學(xué)生應(yīng)用題解題能力的培養(yǎng)至關(guān)重要，教師應(yīng)該充分利用數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生將抽象問題具體化，快速抓住題目要點(diǎn)，有效提取題目中的關(guān)鍵信息，梳理各個(gè)變量之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)是一門抽象的學(xué)科，在后期的學(xué)習(xí)過程中也會(huì)給學(xué)生帶來困難和壓力。在小學(xué)階段幫助學(xué)生尋找正確的高效的數(shù)學(xué)題目解決方法，能夠有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，支持學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)過程中保持對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱愛，讓學(xué)生今后的學(xué)習(xí)更加順暢。