文化視角下的最短路徑問題教學(xué)研究

胡發(fā)強(qiáng)

(貴州省遵義市桐梓縣小水鄉(xiāng)小水中學(xué) 貴州 桐梓 563200)

前言

我校為了響應(yīng)新課程標(biāo)準(zhǔn)中運(yùn)用數(shù)學(xué)文化教學(xué)積極作用，我們開始研究數(shù)學(xué)文化融入到數(shù)學(xué)課堂的策略。當(dāng)下數(shù)學(xué)研究中關(guān)于數(shù)學(xué)文化融入幾何知識(shí)方面的理論還很少，需要經(jīng)過不斷的實(shí)踐研究。基于此本文討論文化視角下初中數(shù)學(xué)最短路徑問題的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐，旨在優(yōu)化數(shù)學(xué)課堂。

1.初中數(shù)學(xué)最短路徑問題研究的必要性

隨著國家新課程改革和教育事業(yè)發(fā)展新要求的出臺(tái)，初中數(shù)學(xué)越來越受到人們的關(guān)注。新課程改革要求的初中數(shù)學(xué)教授學(xué)生具備一定的數(shù)學(xué)應(yīng)用技能，以及足夠的數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論和數(shù)學(xué)知識(shí)是學(xué)生提高數(shù)學(xué)能力的重要組成部分，以確保他們能夠在實(shí)際生活中應(yīng)用所學(xué)知識(shí)。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師要牢記學(xué)生實(shí)踐技能的培養(yǎng)，但現(xiàn)階段我國數(shù)學(xué)教育中對(duì)初中數(shù)學(xué)的教學(xué)認(rèn)識(shí)存在很多問題。大多數(shù)初中數(shù)學(xué)教師只注重教授數(shù)學(xué)理論知識(shí)，而忽視將數(shù)學(xué)知識(shí)融入現(xiàn)實(shí)生活中，這會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)產(chǎn)生負(fù)面影響。因此，教師必須更新和適應(yīng)新的數(shù)學(xué)教育方法和理念，結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，提高學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中的思考能力，增加學(xué)生所需的數(shù)學(xué)知識(shí)。因此，本文從實(shí)際出發(fā)，對(duì)于初中數(shù)學(xué)中“最短路徑”的問題的教學(xué)，可以在討論該問題的解題方法和學(xué)習(xí)方法的同時(shí)，將教科書和實(shí)際生活相結(jié)合，這樣可以增加數(shù)學(xué)教育的實(shí)用性和現(xiàn)實(shí)性，并提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和教師的教學(xué)效率。

2.基于文化視角的最短路徑問題新授課設(shè)計(jì)

2.1 教學(xué)內(nèi)容分析?！白疃搪窂絾栴}”為人教版八上第十三章中最后一節(jié)的內(nèi)容，從涉及知識(shí)點(diǎn)來說，本節(jié)課包括對(duì)稱軸的概念與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等；涉及的數(shù)學(xué)思想有：轉(zhuǎn)化、抽象、分類[1]。即將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)間的問題或者是轉(zhuǎn)化為三角形邊的問題。例題與習(xí)題方面，本課時(shí)一同設(shè)置兩個(gè)問題，一個(gè)是古代的實(shí)際問題，一個(gè)是一題多解問題，在此過程中，此過程中融入了數(shù)學(xué)文化，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題，再通過轉(zhuǎn)化思想，抓住路徑問題，以對(duì)稱軸或者平移轉(zhuǎn)化的問題，將直線同側(cè)轉(zhuǎn)變?yōu)橹本€兩側(cè)的問題，并逐步歸納。

基于此的教學(xué)先決條件為七年級(jí)學(xué)習(xí)過的兩點(diǎn)之間，線段最短知識(shí)，以此為繼續(xù)教學(xué)的支撐點(diǎn)。然后教師根據(jù)知識(shí)遺忘曲線規(guī)律，課中做知識(shí)復(fù)習(xí)。并能列舉生活中關(guān)于最短路徑問題的實(shí)例，觸發(fā)學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)，并能集中注意力更積極主動(dòng)掌握最短路徑問題本質(zhì)。

2.2 學(xué)生分析?；A(chǔ)知識(shí)上，學(xué)生要先掌握兩點(diǎn)間線段最短的知識(shí)，并知道如何化對(duì)稱點(diǎn)。本節(jié)課知識(shí)的學(xué)習(xí)則借助八年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具有的簡單轉(zhuǎn)化思想，雖然還未熟悉幾何中的最值問題，學(xué)生在本次課程中使用轉(zhuǎn)化問題還有一定難度；此階段學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與特點(diǎn)角度分析，其已經(jīng)經(jīng)歷了數(shù)學(xué)語言符號(hào)的轉(zhuǎn)化，具有一定抽象能力，可以自己將簡單的實(shí)際問題變?yōu)槌橄髥栴}、構(gòu)建簡單模型、簡單交流、猜想、分析等解決問題的能力。情感態(tài)度與價(jià)值觀角度分析，本階段的學(xué)生因?yàn)閷?duì)數(shù)學(xué)歷史有一定興趣，所以可以更好分析問題，享受解決問題的樂趣，在此求知欲更強(qiáng)。

2.3 教學(xué)目標(biāo)與重難點(diǎn)。

2.3.1 教學(xué)目標(biāo)。

知識(shí)與技能目標(biāo)：學(xué)生會(huì)運(yùn)用對(duì)稱軸解題，并借助兩點(diǎn)間線段最短解決簡單路徑最短的問題。

過程與方法：學(xué)生可結(jié)合問題實(shí)際情況，抽象出數(shù)學(xué)問題，構(gòu)建模型后，體驗(yàn)解決問題的過程，借助轉(zhuǎn)化思想解決問題。

情感態(tài)度與價(jià)值觀目：借助古代趣味性數(shù)學(xué)問題激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，并在解題的過程中感知數(shù)學(xué)，通過解題獲得基本經(jīng)驗(yàn)，感受其運(yùn)用價(jià)值。

2.3.2 教學(xué)重難點(diǎn)。學(xué)生可以使用對(duì)稱軸解決兩點(diǎn)之間線段最短的問題，并掌握最短路徑的原理。

2.4 教學(xué)方法與手段。

2.4.1 教學(xué)方法。本此教學(xué)運(yùn)用的是討論法、問題法與講授法三種形式。討論法包括生生與師生討論，以語言促使學(xué)生集思廣益，如最短路徑中嘗試不同類型，確定位置，找到對(duì)稱軸等相關(guān)方法，但是此討論是以學(xué)生為主體進(jìn)行的，通過實(shí)際交流與完成最短路徑本質(zhì)的探索；問題法則是通過層次性問題引導(dǎo)學(xué)生找到知識(shí)的本質(zhì)，以此更好解決問題。本次最短路徑問題就是通過提問法引導(dǎo)學(xué)生將同側(cè)點(diǎn)、線段逐漸轉(zhuǎn)換成異側(cè)點(diǎn)、線段，以此引導(dǎo)學(xué)生知道只有將點(diǎn)、線段轉(zhuǎn)換成異側(cè)形式，重新構(gòu)建線段，才能體會(huì)到兩點(diǎn)間線段最短的運(yùn)用方法，進(jìn)而體會(huì)最短路徑問題本質(zhì)；講授法則是在學(xué)生探究后教師的總結(jié)與解釋，規(guī)范學(xué)生解題過程。

2.4.2 教學(xué)手段。在此往往運(yùn)用傳統(tǒng)與信息技術(shù)結(jié)合的手段進(jìn)行教學(xué)。一方面，借助黑板與粉筆等傳統(tǒng)教具隨時(shí)做教學(xué)記錄，幫助學(xué)生回憶知識(shí)，生成新的知識(shí)點(diǎn)，如最短路徑問題的證明，促使學(xué)生在運(yùn)用新知識(shí)的時(shí)候，可以及時(shí)回憶與對(duì)稱軸有關(guān)性質(zhì)的規(guī)范[2]。

2.5 教學(xué)過程的設(shè)計(jì)?；谖幕暯窍碌脑O(shè)計(jì)思路。本次課程基于數(shù)學(xué)文化的有關(guān)理論，在課中融入數(shù)學(xué)文化。數(shù)學(xué)文化社會(huì)層次，數(shù)學(xué)文化經(jīng)歷千年發(fā)展，包含很多數(shù)學(xué)文化史，如將軍飲馬。本次課堂就是以數(shù)學(xué)史的融入，讓學(xué)生在探究數(shù)學(xué)史問題的時(shí)候，感悟最短路徑的文化底蘊(yùn)，培養(yǎng)學(xué)生探索精神。另外，通過數(shù)學(xué)文化與生活的聯(lián)系，如最短路徑選擇與選址造橋的問題，讓學(xué)生感受身邊的數(shù)學(xué)問題，提升應(yīng)用價(jià)值，因此在教學(xué)中可再引入選址造橋歷史案例，培養(yǎng)學(xué)生最短路徑問題運(yùn)用的重要性，進(jìn)而加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知[3]。數(shù)學(xué)文化技術(shù)方面，則從數(shù)學(xué)思想方法入手，如抽象法、建模法、轉(zhuǎn)化法生。即從最短路徑問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生先將其轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)問題，然后建立對(duì)應(yīng)圖形，以小組討論的形式求解，最終運(yùn)用模型。

教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)。結(jié)合數(shù)學(xué)文化設(shè)計(jì)的最短路徑問題教學(xué)環(huán)節(jié)為：引入舊知-引出課題-創(chuàng)建模型-求解模型-運(yùn)用模型。第一，以復(fù)習(xí)引入舊知。以制作圖形對(duì)稱軸為導(dǎo)入，引導(dǎo)學(xué)生再次回憶知識(shí)并討論，得出兩點(diǎn)之間線段最短的定義。第二，創(chuàng)建情境，引入課題。以讓學(xué)生到講臺(tái)上為例，促使學(xué)生運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短知識(shí)。并通過理論實(shí)踐，讓學(xué)生感受路徑問題，增強(qiáng)探究興趣。第三，以問題構(gòu)建模型。通過抽象問題的提出，讓學(xué)生在建立模型的時(shí)候感受數(shù)學(xué)文化。第四，求解模型。通過兩點(diǎn)間線段最短的形式解決問題，讓學(xué)生以小組合作的形式解決問題。在此過程中融入數(shù)學(xué)文化中的技術(shù)與情感層次。第四，變式擴(kuò)展，應(yīng)用模型。在求解模型之后，教師展示求解路徑的幾道變式問題，讓學(xué)生嘗試知識(shí)點(diǎn)遷移，自覺以歸化解決問題，提升解決問題能力。

3.文化視角下最短路徑問題教學(xué)分析

3.1 舊知引入。以問題“做對(duì)稱軸的步驟？”為引入，先讓學(xué)生總結(jié)方法，如：(1)在圖形的頂點(diǎn)向直線做垂線；(2)以直線與垂線的交點(diǎn)為圓心，頂點(diǎn)到直線的距離為半徑做弧線，與垂線相交的點(diǎn)為對(duì)稱點(diǎn)；(3)將多組對(duì)稱點(diǎn)連接，獲得的圖形就是此關(guān)于一直線垂直的對(duì)稱軸圖形[4]。接著教師在交互式白板中作圖示范，接著提問“在此你找到最短路徑了嗎？為什么？”此環(huán)節(jié)以復(fù)習(xí)與最短路徑有關(guān)知識(shí)為基礎(chǔ)，通過畫出對(duì)稱軸的問題引出兩點(diǎn)間線段最短的知識(shí)，激發(fā)學(xué)生思維，在此基礎(chǔ)上發(fā)展新的知識(shí)。

3.2 引出課題。教師分別叫教室中前排和后排的同學(xué)走到講臺(tái)上，學(xué)生們上來后提問“為什么你們選擇徑直走上來而不是從課桌的另一面繞過來？”引導(dǎo)其想到“兩點(diǎn)間線段最短”的定義。教師“不止現(xiàn)實(shí)生活中，歷史中也也常常發(fā)生最短路徑這種情況，下面我們來一起學(xué)習(xí)一下。”接著在PPT中展示“將軍飲馬”的問題：古代有位羅馬將軍要去拜訪一名精通數(shù)學(xué)與物理的學(xué)者，并向他請(qǐng)教一個(gè)實(shí)際問題，每天將軍從軍營A點(diǎn)出發(fā)，先帶馬到河邊飲水，然后再去河流同一側(cè)的B地，怎么走路程才能最短？引導(dǎo)學(xué)生的注意力集中到故事情節(jié)中，并以“為什么選擇此路線”為引導(dǎo)，令課堂氣氛更加活躍。

3.3 互動(dòng)探究。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師還應(yīng)注意在教學(xué)中使用互動(dòng)探究的方法，互動(dòng)探究在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮著重要作用。這種教學(xué)方法可以改善課堂環(huán)境，是一種很好的教學(xué)方法。在最短路徑的教學(xué)中，也可以通過互動(dòng)探究法進(jìn)行教學(xué)，教師可以引入上述問題，讓同學(xué)們探討問題，根據(jù)要求進(jìn)行互動(dòng)探究，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。例如，老師可以從著名的將軍飲馬的入手，這個(gè)故事講的是古希臘的時(shí)候，亞歷山大城的著名學(xué)者、羅馬將軍從羅馬專門到亞歷山大去會(huì)見學(xué)者海倫，問了一個(gè)令人困惑的問題，每天從A軍營，到B軍營區(qū)參加軍事會(huì)議，中間在河邊飲馬，飲馬后去B軍營參加會(huì)議，這樣的情況下，怎樣走是最短的途徑？這個(gè)問題被提出后，一方面，通過故事直觀的解釋了最短路徑問題，另一方面，這個(gè)問題可以鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步討論和反思。教師可以利用這個(gè)機(jī)會(huì)教學(xué)生獨(dú)立思考和探索，在討論過程中，教師可以提出其他的問題，讓學(xué)生從不同的方向思考。例如，教師可以改變B軍營的位置，與學(xué)生討論最短路徑法。提問后，讓學(xué)生思考答案，總結(jié)數(shù)學(xué)問題，畫出相關(guān)的圖像。老師根據(jù)學(xué)生的表現(xiàn)不斷提問，或者讓學(xué)生自由表達(dá)他們的想法，促進(jìn)理論知識(shí)與實(shí)際生活的結(jié)合來，讓學(xué)生考慮如何解決這些問題，提高學(xué)生的思維水平和數(shù)學(xué)技能，通過師生互動(dòng)，解決將軍飲馬這類常見問題，可以促進(jìn)學(xué)生的應(yīng)用能力。此外，學(xué)習(xí)過程中教師可以不限于問題類型，可以提出有關(guān)學(xué)生上學(xué)的問題以及其他現(xiàn)實(shí)生活中的問題，這使學(xué)習(xí)難度得到降低。

3.4 創(chuàng)建模型。教師提問，引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)建模型。先讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述古代問題，即從A點(diǎn)出發(fā)先到直線L處。之后再到B點(diǎn)，求如何走才能令A(yù)到L與B到L的路線最短。有的學(xué)生還根據(jù)問題做出圖示。此環(huán)節(jié)就是讓學(xué)生感悟抽象的過程，即在教師的引導(dǎo)下將實(shí)際生活問題變成數(shù)學(xué)問題，抽象成模型，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力。以數(shù)學(xué)文化中的建模思想與抽象思想提升學(xué)生數(shù)學(xué)技術(shù)層次。

3.5 求解模型。以合作交流的形式完成上述模型的解答，常見的方法為使用對(duì)稱軸法求最短路徑。教師先提問“我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過的求最短距離的方法有哪些呢？”先確定兩點(diǎn)之間，線段最短。此時(shí)有的學(xué)生說“我們現(xiàn)在求的不是兩點(diǎn)之間，而是還要到一條直線上?！苯處煴頁P(yáng)其想的全面，并提問“本次的問題更加復(fù)雜，我們?cè)撛趺醋瞿?？?qǐng)你們開展小組討論?！睂W(xué)生分組后，教師觀察其討論情況，適當(dāng)引導(dǎo)。一段時(shí)間后學(xué)生們的討論聲慢慢減小，教師就可讓小組派代表講述自己組討論的結(jié)果。有的小組想到嘗試將A、B兩點(diǎn)連接后也經(jīng)過直線L、有的小組想到將B、A兩點(diǎn)放在直線的異側(cè)，但是具體的方法沒有想出來。教師此時(shí)引導(dǎo)“我們課前復(fù)習(xí)的對(duì)稱軸的內(nèi)容是否可以運(yùn)用到此呢？”此時(shí)各組同學(xué)恍然大悟，開始畫圖作圖，并總結(jié)“作B點(diǎn)到直線L的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，與直線L相交的點(diǎn)就是到A和B最短的點(diǎn)?！苯處熇^續(xù)“同學(xué)們做的很好，下面請(qǐng)你們思考能不能用三角形的兩邊之和大于第三邊的方法證明呢？”同樣以小組合作形式展開討論[5]。讓學(xué)生從不同的角度思考問題。本環(huán)節(jié)使用的是小組合作法、發(fā)現(xiàn)問題法。通過小組交流再次發(fā)現(xiàn)問題，由學(xué)生自己找到問題關(guān)鍵，即兩個(gè)點(diǎn)與直線。突出中心問題后，嘗試將問題轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線，這樣只需將同側(cè)點(diǎn)變?yōu)楫悅?cè)點(diǎn)即可，就是在直線L上確定一點(diǎn)令三點(diǎn)共線。最后再增加三角形判定方法，啟發(fā)學(xué)生自主求出最短路徑，理論聯(lián)系實(shí)際，將課堂交給學(xué)生，讓其自主探究，且就教學(xué)效果分析，學(xué)生們的學(xué)習(xí)激情的確比之前教師單方面講解要高得多。

3.6 應(yīng)用模型。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生們掌握了解求最短路徑問題的方法，然后就可進(jìn)行變式擴(kuò)展，讓學(xué)生在應(yīng)用模型中鞏固知識(shí)。出示問題，以鞏固與發(fā)展為目的帶領(lǐng)學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課重點(diǎn)知識(shí)，然后進(jìn)行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生在通過一個(gè)問題的解答可以舉一反三。在本環(huán)節(jié)中激發(fā)學(xué)生的化歸意識(shí)，并自覺在新的情境中運(yùn)用，增強(qiáng)知識(shí)技能目標(biāo)，發(fā)揮數(shù)學(xué)文化技術(shù)層次的作用；提升學(xué)生情感態(tài)度與價(jià)值觀，優(yōu)化數(shù)學(xué)文化情感層次。

結(jié)論

綜上，基于數(shù)學(xué)文化視角的初中幾何知識(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐，體現(xiàn)了實(shí)際生活與數(shù)學(xué)文化之間的內(nèi)部的聯(lián)系。并能增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使其對(duì)知識(shí)的完全掌握。幫助教師更好踐行教學(xué)。