完美渦旋光的自由空間傳播特性

戴夢婷，耿 滔

（1.上海理工大學(xué) 上海市現(xiàn)代光學(xué)系統(tǒng)重點(diǎn)實驗室，上海 200093；2.上海理工大學(xué) 光電信息與計算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093）

引言

渦旋光束具有螺旋波前相位，其重要特征是會出現(xiàn)相位奇點(diǎn)，這是由于光子攜帶的軌道角動量（orbital angular momentum,OAM）會使光束相位結(jié)構(gòu)發(fā)生改變[1-2]。拓?fù)浜蓴?shù)是渦旋光束的重要參量，光束的OAM 與拓?fù)浜蓴?shù)的大小成正比關(guān)系。攜帶OAM 的渦旋光束在量子信息編碼[3]、微粒的旋轉(zhuǎn)與操控[4]、光學(xué)超分辨成像[5]等領(lǐng)域有著很大的潛在應(yīng)用價值，是當(dāng)前光學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一。

將攜帶OAM 的光束應(yīng)用于光鑷系統(tǒng)中，可以使懸浮微粒發(fā)生旋轉(zhuǎn)，最近研究者實現(xiàn)了真空捕獲微粒的超高速旋轉(zhuǎn)[6]。除了光波以外，自由空間傳播的聲波也可以攜帶相應(yīng)的OAM，當(dāng)聲波攜帶有足夠大的OAM 時，會使懸掛的宏觀物體發(fā)生旋轉(zhuǎn)[7]。通過OAM 與納米結(jié)構(gòu)材料發(fā)生相互作用，可以誘導(dǎo)長度超過10 μm 的銀納米線在電介質(zhì)表面產(chǎn)生正弦光學(xué)力矩[8]，從而使其在運(yùn)動過程中獲得角加速度?；贠AM 的通信系統(tǒng)可以實現(xiàn)高密度數(shù)據(jù)通信，在自由空間中的數(shù)據(jù)速率已達(dá)到200 Tbit/s[9]，已有的研究表明其可以用于自由空間和光纖，其工作波長從光波段延伸至毫米波。將攜帶OAM 的光束與光束復(fù)制、相位矯正技術(shù)相結(jié)合，提高其衍射后的條紋清晰度，從而降低了基于OAM 通信系統(tǒng)的成本[10]。將OAM 與顯微技術(shù)相結(jié)合，使用螺旋譜分析識別梯度和位錯，同時利用傅里葉方法進(jìn)行圖像重建[11]。

而一般可攜帶渦旋相位的拉蓋爾-高斯光或貝塞爾-高斯光，其拓?fù)浜蓴?shù)的改變會引起光束亮環(huán)半徑以及環(huán)寬度的變化[12]，因此削弱了其在圖像處理以及光纖傳輸?shù)确矫娴膽?yīng)用效率[13-15]。為了改善這一狀況，2013 年，Ostrovsky 等[16]首先提出了一種亮環(huán)半徑與環(huán)寬度不依賴于拓?fù)浜蓴?shù)的完美渦旋光（perfect vortex beam，PVB）概念，并利用空間光調(diào)制器產(chǎn)生了PVB，但最初生成的這種PVB 由于受到周圍次級亮環(huán)的影響，導(dǎo)致其光束質(zhì)量較低。PVB 的提出引起了研究者的興趣，大量的研究工作集中于理想PVB 的產(chǎn)生方法。Chen 等[17]借助錐透鏡生成了PVB，這種方法大幅降低了外圈次級亮環(huán)影響，并實現(xiàn)了對微粒子的操作。Vaity 等[18]基于貝塞爾-高斯函數(shù)的傅里葉變換，使用相位掩膜板代替了文獻(xiàn)[17]的錐透鏡，提升了實驗生成光束的質(zhì)量，并且實現(xiàn)了PVB 參數(shù)的實時可控。Chen 等[19]用數(shù)字微鏡設(shè)備生成了具有大拓?fù)潆姾傻腜VB，該方法擴(kuò)大了PVB 在高維量子糾纏、光傳輸與跨越以及材料處理等的應(yīng)用范圍。趙建林等[20]巧妙采用Sagnac 干涉光路，產(chǎn)生了矢量PVB，其橫向光強(qiáng)分布不依賴于偏振度和拓?fù)浜芍?，并且該光束在縱向傳播空間具有良好的穩(wěn)定性。2021 年，Zhou 等[21]利用電介質(zhì)TiO2納米柱超表面，在可見光范圍內(nèi)，在不同波段產(chǎn)生了參數(shù)不同的PVB，并可以靈活操控光束的光強(qiáng)分布形狀，打破了光強(qiáng)分布一般為圓對稱的限制。2019 年，F(xiàn)orbes 等[22]通過理論分析證明了理想PVB 是不存在的，拓?fù)浜蓴?shù)對光強(qiáng)分布的影響不可消除，并指出光環(huán)的半徑與光環(huán)寬度之比越大，其越接近理想PVB。

如上所述，目前針對PVB 的研究主要集中于產(chǎn)生方法的優(yōu)化和改進(jìn)，對其空間傳播特性的研究鮮有報道，而對渦旋光束而言，自由空間的傳播特性也是影響其應(yīng)用價值的重要判斷標(biāo)準(zhǔn)[23-25]。基于此，本文首先研究了實際PVB 與理想PVB 的吻合程度的影響因素；然后研究了實際PVB 的自由空間傳播特性，利用衍射理論仿真計算并詳細(xì)分析了光束初始面的拓?fù)浜蓴?shù)、光環(huán)半徑以及光環(huán)寬度對其衍射特性的影響，以期研究成果能對PVB 的進(jìn)一步應(yīng)用提供有益的理論參考。

1 理 論

Ostrovsky 等[17]提出了一種光強(qiáng)分布不依賴于拓?fù)浜蓴?shù)的理想PVB，其可以表示為

式中：(r,θ) 為初始面極坐標(biāo)；R為光環(huán)半徑；l為拓?fù)浜蓴?shù)。通過傅里葉變換，可以獲得其空間頻譜為

式中：(ρ,?) 為頻譜面極坐標(biāo)；Jl(·) 為第一類l階貝塞爾函數(shù)；kr為徑向波數(shù)。從式（2）可以看到，理想PVB 的振幅為理想貝塞爾函數(shù)，其函數(shù)形式向徑向方向無限延展，因此需要無窮大的能量，實際無法實現(xiàn)。為了獲得近似PVB，需要在式（2）的基礎(chǔ)上增加額外的能量衰減項，通常使用貝塞爾-高斯函數(shù)來近似，其可表示為

式中，wg表示高斯光束的束腰半徑，該高斯光束主要是用于制約貝塞爾光束。這樣，只要在傅里葉透鏡的前焦面利用錐透鏡相位分布構(gòu)造出如式（3）的貝塞爾-高斯光束[18]，在透鏡的后焦面就能獲得近似理想的PVB，實驗光路圖如圖1所示。

圖1 產(chǎn)生PVB 的實驗光路圖Fig.1 Experimental light path for generating PVB

對式（3）做傅里葉變換，可以獲得實際PVB的復(fù)振幅分布[19]

式中：Il(·)為第一類l階修正貝塞爾函數(shù)；T=2f/(kwg)，f為傅里葉透鏡的焦距，k為波數(shù)。圖2給出了R=3 mm，T=0.04 mm 相同，但拓?fù)浜蓴?shù)l不同的PVB 的光強(qiáng)和相位分布，從圖中可以看到，與拉蓋爾高斯渦旋光束相比，雖然l從1 增大到15，但光環(huán)的形狀基本保持不變，受l的影響很小。圖2（c）、（d）給出了相應(yīng)的實驗光強(qiáng)分布，從圖可以看到，與理論計算值相吻合。比較理論計算和實驗測量的光強(qiáng)分布可以發(fā)現(xiàn)，理論P(yáng)VB 的光強(qiáng)分布完全不受拓?fù)浜蓴?shù)的影響，但實際光強(qiáng)分布會受到拓?fù)浜蓴?shù)的影響，拓?fù)浜蓴?shù)較大時會出現(xiàn)輕微的明暗結(jié)構(gòu)，如圖2（d）所示。

圖2 參數(shù) R=3 mm，T=0.04 mm 保持不變，拓?fù)浜蓴?shù)l 不同的PVB 的光強(qiáng)和相位分布Fig.2 The normalized light intensity and phase distribution of PVBs with different topological charges l with the parameter R=3 mm and T=0.04 mm unchanged

一般情況，傍軸光束的自由空間衍射可以使用菲涅爾衍射計算，但由于式（3）、（4）可分離變量，因此本文將利用l階的漢克變換來計算，以達(dá)到簡化計算的目的，其可表示為

2 模擬分析

PVB 的復(fù)振幅分布可由式（4）表示，但其中含有第一類l階修正貝塞爾函數(shù)Il(·)，因此不易于計算和理論分析。文獻(xiàn)[18]通過理論分析指出，當(dāng)式（4）中R/T?1 時，式（4）可以近似簡化為

此時PVB 的光場振幅分布呈現(xiàn)為高斯函數(shù)的形式，T可以視作光環(huán)寬度。由于R/T越大，近似PVB 越接近于理想PVB[19]，且相比于式（4），式（6）去除了修正貝塞爾函數(shù)Il(·)，更易于計算和理論分析，因此被研究者廣泛使用。但R/T?1這一判斷依據(jù)較為模糊，因此本文首先對這一問題進(jìn)行了研究。

圖3 分別給出了利用式（4）和式（6）計算的PVB 光強(qiáng)分布，為了便于比較，這里對最大光強(qiáng)做了歸一化處理。從圖中可以看到，當(dāng)R/T=5 時，相比于式（4）的計算結(jié)果，式（6）計算結(jié)果的光環(huán)中心位置向中心移動，光環(huán)寬度較寬。當(dāng)R/T=15時，兩者的計算結(jié)果幾乎完全重合。

圖3 R=3 mm，l=31 時，式（4）和式（6）計算的歸一化徑向光強(qiáng)分布Fig.3 The normalized radial intensity distribution calculated by equation（4）and equation（6）with R=3 mm and l=31

為了討論這一問題，本文計算了PVB 初始面的實際環(huán)寬度W0，并認(rèn)為W0/T→1 時式（6）有效，可替代式（4）使用。圖4給出了R=3 mm不變時，不同PVB 的實際環(huán)寬度W0與T的比值。從圖中可以看到，當(dāng)R/T較小時，環(huán)的實際寬度W0小于T，使用式（6）會高估光環(huán)寬度，拓?fù)浜蓴?shù)l越大，兩者之間的差距越明顯。隨著R/T增大，W0/T逐漸趨近于1，趨近速度與l成反比。這說明，式（6）的近似條件與拓?fù)浜蓴?shù)l相關(guān)，l值越大，近似條件越苛刻，需要R/T的值越大。例如l=7時，R/T≥8 即可滿足近似條件，但當(dāng)l增大到l=31時，需要滿足R/T≥17 。

圖4 R=3 mm時，不同拓?fù)浜蓴?shù)PVB 的 W0/T 與R/T的變化關(guān)系Fig.4 The relationship between W0/Tand R/T of PVB with different topological loads when R=3 mm

利用式（5）計算參數(shù)R=2 mm，T=0.056 mm，l=15時，PVB 在不同傳播距離截面上的徑向光強(qiáng)分布，實驗結(jié)果如圖（5）所示。圖5（d）由于光斑尺寸太大，超出CCD 測量范圍，因此只有圖5（a）～（c）為實驗測量結(jié)果，圖5（d）為理論計算結(jié)果。從圖中可以看到，實驗結(jié)果與理論計算結(jié)果基本吻合，當(dāng)傳播距離在菲涅爾衍射區(qū)內(nèi)，隨著傳播距離的增大，環(huán)寬度在逐漸變寬，表現(xiàn)出明顯的衍射特征，環(huán)中心位置基本保持不變，如圖5（a）～（c）所示，因此PVB 不具備如貝塞爾光束類似的無衍射特性。隨著傳播距離進(jìn)一步增加，光束傳播到夫瑯禾費(fèi)衍射區(qū)時，光環(huán)寬度進(jìn)一步展寬的同時，峰值位置開始向光軸方向移動，其分布失去高斯函數(shù)的形狀，逐漸向其頻譜的形狀，即貝塞爾函數(shù)轉(zhuǎn)變，如圖5（d）所示。

圖5 參數(shù) R=2 mm，T=0.056 mm，l=15 的PVB 在不同截面上的徑向光強(qiáng)分布Fig.5 Radial light intensity distribution of PVB with parameters R=2 mm,T=0.056 mm and l=15 on different sections

為了探討不同參數(shù)對PVB 光環(huán)寬度展寬的影響，圖6 給出了不同參數(shù)的PVB 在自由空間傳播z=200 mm后環(huán)寬度Wz與初始面環(huán)寬度W0的比值Wz/W0。圖6（a）給出了R=3 mm 保持不變的結(jié)果，從圖中可以看到，隨著T的減小，衍射效應(yīng)逐漸增強(qiáng)，Wz/W0的比值增大且變化速度越來越快，此時環(huán)寬度的增寬幾乎不受拓?fù)浜蓴?shù)l的影響。圖6（b）給出了T=0.15 mm 保持不變的結(jié)果，從圖中可以看到，隨著R的增大，衍射效應(yīng)逐漸增強(qiáng)，Wz/W0的比值增大，但變化速度變慢，最后趨于恒定，當(dāng)R大于一定數(shù)值后，Wz/W0幾乎不再變化，即環(huán)寬度不再隨著R的增大而增大。此時光環(huán)的展寬速度受到拓?fù)浜蓴?shù)l的影響，隨著R的增大，不同l的光束其環(huán)寬度的增寬會逐漸趨同，但變化趨勢不同，l越小，其越快趨向于穩(wěn)定。

圖6 不同參數(shù)的PVB 在 z=200 mm處的環(huán)后環(huán)寬度 Wz與初始面環(huán)寬度 W0的比值Wz/W0Fig.6 The ratio of the back ring width Wz to the initial face ring width W0 at z=200 mm for PVB with different parameters Wz/W0

圖7 給出了R=2 mm，T=0.056 mm 時，不同拓?fù)浜蓴?shù)l的PVB 在自由空間傳播不同距離后，相應(yīng)的Wz/W0比值，由于傳播距離太遠(yuǎn)光環(huán)變形無法很好地定義Wz，因此z的取值限制在300 mm。從圖中可以看到，光環(huán)的增寬速度與傳播距離幾乎呈線性關(guān)系，不同拓?fù)浜蓴?shù)l的曲線幾乎重合，說明l對光環(huán)寬度隨距離的增寬影響很小，只有當(dāng)l較大時，增寬速度才略微減緩。

圖7 R=2 mm，T=0.056 mm 時，不同拓?fù)浜蓴?shù)l 的PVB 的傳播距離z 與 Wz/W0 的關(guān)系Fig.7 The relationship between the propagation distance z and Wz/W0 of PVB with different topological charges l when R=2 mm andT=0.056 mm

3 結(jié)論

本文主要研究了實際PVB 的自由空間傳播特性，發(fā)現(xiàn)近似PVB 與理想PVB 的接近程度不僅取決于R/T值，還受到拓?fù)浜蓴?shù)的影響，拓?fù)浜蓴?shù)越大，近似條件越苛刻。通過衍射積分的數(shù)值計算發(fā)現(xiàn)，PVB 不具備如貝塞爾光束類似的無衍射特性，光環(huán)寬度會隨著衍射距離展寬，并隨著衍射距離進(jìn)一步增大，光環(huán)分布形狀會逐漸向其空間頻譜形式，即貝塞爾函數(shù)轉(zhuǎn)變。在菲涅爾衍射區(qū)內(nèi)，當(dāng)初始面光環(huán)半徑增大或環(huán)寬度減小時，衍射效應(yīng)都會增強(qiáng)，但其中光環(huán)寬度的影響要顯著強(qiáng)于光環(huán)半徑。當(dāng)初始面光環(huán)半徑和光環(huán)寬度不變時，光環(huán)的增寬速度與傳播距離幾乎呈線性關(guān)系，此時拓?fù)浜蓴?shù)增大會略微減小光環(huán)寬度隨距離的增寬速度，但影響非常小。