課本題：開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的切入點(diǎn)
——以蘇教版教材《數(shù)列》一道習(xí)題為例*

徐愛勇 (江蘇省江浦高級(jí)中學(xué) 211800)

數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾曾說：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)唯一正確的方法是讓學(xué)生進(jìn)行“再創(chuàng)造”.即數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造，教師的任務(wù)是幫助和引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行“再創(chuàng)造”工作，而不是把現(xiàn)成的知識(shí)灌輸給學(xué)生，這與新課程所倡導(dǎo)的探究活動(dòng)的理念是一致的.課本是學(xué)生學(xué)習(xí)的最重要的課程資源，其中的閱讀、思考、探究、例習(xí)題等都是編者從學(xué)科整體的角度出發(fā)，經(jīng)過精心挑選編寫出來的，符合學(xué)生的認(rèn)知特征，是開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的極好素材.

如《普通高中教科書·數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)》(蘇教版)第四章《數(shù)列》第3節(jié)習(xí)題4.3第13題，筆者以此作為開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的切入點(diǎn)，嘗試從“由已知到已知”“由已知到未知”“由未知到已知”“由未知到未知”等四個(gè)方面開展探究，從而達(dá)到對(duì)“數(shù)列求和”的深度學(xué)習(xí)，努力構(gòu)建“課堂上如何開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)”的操作范式，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.現(xiàn)將筆者的教學(xué)實(shí)踐過程整理出來，以期拋磚引玉.

問題(蘇教版選擇性必修第一冊(cè)第156頁(yè)習(xí)題4.3第13題)[1]求和：Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1.

1 由已知到已知

數(shù)學(xué)探究活動(dòng)最原始的形式是“由已知到已知”.所謂“由已知到已知”，是指探究的結(jié)果或方法可以直接從已有的結(jié)果或方法中得到，最常見的手段就是模仿或類比.

師：我們?cè)匮芯窟^等比數(shù)列相關(guān)問題，同學(xué)們還記得等比數(shù)列的求和公式是如何推導(dǎo)出來的嗎？

生1(學(xué)生回答，教師板演)：利用“錯(cuò)位相減法”求和！

師：很好！再想一想，如何解這道題呢？

師：能談?wù)勀闶窃趺聪氲降膯幔?/p>

生2(在教師的引導(dǎo)下)：當(dāng)一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積時(shí)，可以用“錯(cuò)位相減法”求和.

師：很好！這是一種“由已知到已知”的數(shù)學(xué)探究活動(dòng),它是在我們能夠識(shí)別數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上的解題模仿活動(dòng).

2 由已知到未知

通常情況下，在利用“錯(cuò)位相減法”求解完這道題以后，解題探究活動(dòng)也隨之結(jié)束了.雖然學(xué)生知道數(shù)列求和還有“分組求和”“裂項(xiàng)相消”等方法，但覺得這些方法在這里壓根就用不上，因此也就不會(huì)去思考這一問題.此時(shí)就進(jìn)入了數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的第二層級(jí)，即“由已知到未知”.所謂“由已知到未知”是指學(xué)生以往掌握的知識(shí)或方法在新的條件下不再有效，或者說探究從原有條件下的“已知”變成了新條件下的“未知”問題.這種情況是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中經(jīng)常遇到的現(xiàn)象，面對(duì)這種現(xiàn)象往往需要對(duì)原有的條件或結(jié)論進(jìn)行變形、推廣、引申，從而產(chǎn)生新結(jié)論或新方法.從心理學(xué)角度來看，就是通過順應(yīng)將舊知識(shí)適當(dāng)改變以后再納入新知識(shí)的體系當(dāng)中[2].

生3：用“裂項(xiàng)相消法”求和！

師：“裂項(xiàng)相消法”本質(zhì)是把數(shù)列的通項(xiàng)分解為另一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)的差，即表示成an=bn-bn-1(n≥2，n∈N*).那么，能否用這種方法來解決這道題呢？

師：不妨先研究這里的特殊情況(課本第156頁(yè)第12題)[1]：

師：這是一種典型的從“已知”到“未知”的探究性學(xué)習(xí)活動(dòng).我們從運(yùn)算規(guī)則的層面考察“錯(cuò)位相減法”與“裂項(xiàng)相消法”之間的關(guān)聯(lián)，其實(shí)質(zhì)都是將不規(guī)則的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為規(guī)則的運(yùn)算.

3 由未知到已知

相比“由已知到已知”和“由已知到未知”，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中更難的是“由未知到已知”.所謂“由未知到已知”，就是在探究的結(jié)論或方法是學(xué)生先前未知的情況下探究新的知識(shí).由于學(xué)生先前沒有任何這方面的經(jīng)驗(yàn)或知識(shí)積累，這種探究就更困難，同時(shí)也更具有挑戰(zhàn)性.遇到這種情況，往往需要通過對(duì)知識(shí)內(nèi)核進(jìn)行挖掘探究.本節(jié)課中，學(xué)生通過“錯(cuò)位相減法”和“裂項(xiàng)相消法”解決本題以后，一般都認(rèn)為已經(jīng)很完美了，沒有什么內(nèi)容再需要探究了.但如果從數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在本質(zhì)再去挖掘，我們或許還會(huì)有新的發(fā)現(xiàn).這種發(fā)現(xiàn)對(duì)于學(xué)生來說是先前未知的，因此是一種“由未知到已知”的探究活動(dòng).

師：我們對(duì)數(shù)列求和的一些方法進(jìn)行化歸，將不規(guī)則的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為規(guī)則的運(yùn)算.如果我們能跳出數(shù)列的框架束縛，在所學(xué)的其他知識(shí)板塊中，能否聯(lián)想到一些“結(jié)構(gòu)相似點(diǎn)”？

師：這是一次“由未知到已知”的精彩演繹，通過構(gòu)造函數(shù)f(x)=xn，利用導(dǎo)數(shù)來解決數(shù)列求和問題.這樣的解法太富有創(chuàng)造性了![3]

4 由未知到未知

“由未知到未知”是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的最高境界.所謂“由未知到未知”，是指學(xué)生在掌握了類比這一探究方法以后，能自覺地尋找探究課題，或?qū)㈩惐确椒☉?yīng)用到自己碰到的新問題、新情境當(dāng)中.比如，本節(jié)課學(xué)習(xí)后，若學(xué)生主動(dòng)探究以下問題，就達(dá)到了“由未知到未知”這一最高境界.

問題2(蘇教版選擇性必修第一冊(cè)第188頁(yè)求導(dǎo)公式8)[1]求函數(shù)f(x)=xn的導(dǎo)數(shù).

問題3(2007年江蘇高考卷第20題)已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列，a1=b1，a2=b2≠a1，記Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.

(1)若bk=am(m,k是大于2的正整數(shù)，求證：Sk-1=(m-1)a1.

(2)b3=ai(i是某一正整數(shù))，求證：q是整數(shù)，且數(shù)列{bn}中每一項(xiàng)都是數(shù)列{an}中的項(xiàng).

(3)是否存在這樣的正數(shù)q，使等比數(shù)列{bn}中有三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫出一個(gè)q的值，并加以說明；若不存在，請(qǐng)說明理由.

在開展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)時(shí)，設(shè)置的問題應(yīng)來源于課本且高于課本，應(yīng)整體設(shè)計(jì)、分步實(shí)施探究活動(dòng)，以實(shí)現(xiàn)“已知與未知”之間的轉(zhuǎn)換，引導(dǎo)學(xué)生從類比模仿到自主創(chuàng)新、從局部實(shí)施到整體構(gòu)想，積累發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的經(jīng)驗(yàn)，養(yǎng)成獨(dú)立思考與合作交流的習(xí)慣[4].