格拉頓-吉尼斯的HPM思想*

徐伯華

(南通大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院 226019)

朱鳳琴

(南京信息工程大學(xué)無錫學(xué)院數(shù)理學(xué)院 214105)

艾弗·格拉頓-吉尼斯(Ivor Grattan-Guinness,1941—2014)，英國米德爾塞克斯(Middlesex)大學(xué)數(shù)學(xué)史教授，一生致力于數(shù)學(xué)和數(shù)理邏輯的歷史研究，2009年因“終身學(xué)術(shù)成就和貢獻”與R.C.Gupta分享國際數(shù)學(xué)史學(xué)會凱尼斯·梅獎．在四十多年的職業(yè)生涯中，格拉頓-吉尼斯一直重視數(shù)學(xué)史的教育價值，不斷思考數(shù)學(xué)史服務(wù)數(shù)學(xué)教育的問題，形成了獨特的HPM思想．有評論說：他的思想隨著時間的推移而逐漸成熟、逐漸拓展，雖具有一般主題上的統(tǒng)一性，但并不是鐵板一塊[1]，主要是理論性的、指導(dǎo)性的[2]．由于格拉頓-吉尼斯是一位專業(yè)的數(shù)學(xué)史家，并不專門研究HPM，有關(guān)HPM的論述散見于他的論文、評論、報告中，國內(nèi)還沒有系統(tǒng)的研究．本文運用文獻研究法，以他的四篇文獻[3-6]為主要研究對象，結(jié)合其他文獻和評論，從思想基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)史的地位、解讀數(shù)學(xué)史的方式、融入數(shù)學(xué)史的方法四個方面整理、概括他的HPM思想，希望給我國HPM

[2] 徐超．拋物線概念教學(xué):重構(gòu)數(shù)學(xué)史[J]．教育研究與評論(中學(xué)教育教學(xué))，2015(8)：26-31．

[3] 張佳麗．HPM視角下高中圓錐曲線的教學(xué)研究[D]．南昌：江西師范大學(xué)，2018．

[4] 陸琳琰．拋物線的發(fā)生教學(xué)研究[D]．上海：華東師范大學(xué)，2013．

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[20] Robinson H N.Conic sections and analytical geometry[M].New York:Ivison,Blakeman & Company,1860:50.

的理論和實踐帶來啟發(fā)和幫助．

1 思想基礎(chǔ)：數(shù)學(xué)知識并非憑空產(chǎn)生

格拉頓-吉尼斯之所以從事數(shù)學(xué)史研究，緣自他對數(shù)學(xué)教育的不滿．早在20世紀(jì)60年代，他就感到數(shù)學(xué)教學(xué)多是按照整理好了的、嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論進行的，很少討論問題的核心動機，甚至不討論相關(guān)的歷史發(fā)展與人的作用．四十多年后，他仍然說：“我的研究動機完全來自于對數(shù)學(xué)教育的消極反應(yīng)……展現(xiàn)在我面前的是一系列令人贊嘆的數(shù)學(xué)理論，但是為什么首先要研究這些理論？為什么教授方式差強人意？它們從哪里來的？沒有人能在某個周四的下午坐下來，像教給我們的那樣發(fā)明群論．”[7]

這種不滿促使他思考數(shù)學(xué)的來源，思考數(shù)學(xué)史對數(shù)學(xué)教育的價值．他意識到，這些問題本身不是數(shù)學(xué)問題，而是數(shù)學(xué)哲學(xué)問題．于是，他向大名鼎鼎的波普爾(Karl Popper)求教，選修了碩士課程，攻讀了博士學(xué)位，分別于1969年、1978年獲得倫敦大學(xué)數(shù)學(xué)史哲學(xué)博士學(xué)位和科學(xué)史與科學(xué)哲學(xué)理學(xué)博士學(xué)位，從此走上數(shù)學(xué)史與邏輯史的研究道路．波普爾的科學(xué)觀對格拉頓-吉尼斯影響很大，在梅獎發(fā)言中他還特別提到了以下幾點：生命是一個問題解決的過程；科學(xué)總是處于猜想、驗證、理論化的過程中；知識的生長比知識本身更重要；知識的基礎(chǔ)是挖掘出來的，而不是建立其上的；認(rèn)識不僅包括知的根源，還包括不知的根源；未來是開放的，既是主觀的又是客觀的．[7]

格拉頓-吉尼斯認(rèn)為，數(shù)學(xué)知識不是憑空產(chǎn)生的，一個知識生長出另一個知識，有復(fù)雜而深刻的路徑．對一個現(xiàn)代形式的數(shù)學(xué)知識，如果不了解它的發(fā)生動機、不了解它的發(fā)展過程，就不可能深刻地理解它．例如，作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的“集合”，看似簡單，但要很好地理解它，絕非易事．康托既不是唯一、也不是首先研究集合的數(shù)學(xué)家，他的研究起源于黎曼的三角幾何級數(shù)．在考察非收斂的“點集”與特殊級數(shù)間的關(guān)系時，他得出了兩類非收斂點，由此定義了集合的類型，證明了連續(xù)統(tǒng)無限大于可數(shù)集，給出了超限算術(shù)的序數(shù)列，這是康托研究無限集的序、定義集合的勢的真正起點．為了把有限算術(shù)和超限算術(shù)建立在一般的集合概念上，康托提出了樸素的集合定義，從而擺脫了序，建立了基數(shù)算術(shù)，并逐步使集合論成為測度論、分析學(xué)以及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的有力工具．現(xiàn)在的教材只呈現(xiàn)加工好的、簡化的集合理論，雖然讓人容易接受，卻不能讓人領(lǐng)悟到它的優(yōu)越性．

同樣地，對一個現(xiàn)代形式的數(shù)學(xué)知識，如果沒有相應(yīng)的方法論支持，我們也不可能深刻地理解它．例如，很多人認(rèn)為數(shù)學(xué)知識總是正確的，數(shù)學(xué)有可靠的基礎(chǔ)，人們信任數(shù)學(xué)，就像信任歐幾里得幾何一樣，這被稱為歐幾里得主義．隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)不在于定義是不是正確，而在于基本要素的一般性和簡單性，數(shù)學(xué)重視的不再是不變的事實，而是不變的結(jié)構(gòu)，人們對數(shù)學(xué)的可靠性、嚴(yán)謹(jǐn)性的認(rèn)識發(fā)生了改變，這被稱為新歐幾里得主義．歐幾里得主義、新歐幾里得主義都不是數(shù)學(xué)知識本身，而是數(shù)學(xué)的方法論．方法論在數(shù)學(xué)體系中很重要，它決定著我們?nèi)绾卫斫鈹?shù)學(xué)．例如，可誤主義主張數(shù)學(xué)知識是在嘗試中被接受的，其標(biāo)準(zhǔn)是能否成功地解決問題，除非一個技術(shù)性知識需要一個基礎(chǔ)，否則就不存在基礎(chǔ)知識．在這種觀念下，數(shù)學(xué)知識就沿著技術(shù)和基礎(chǔ)兩個方向生長起來，表現(xiàn)出不同的層次和深度．要想很好地理解一個數(shù)學(xué)知識，就要熟悉它的基礎(chǔ)性知識、技術(shù)性知識、方法論知識、認(rèn)識論知識，這絕不是知識本身所顯現(xiàn)的那么簡單．

生長的觀點、歷史的觀點能讓我們看到數(shù)學(xué)知識的豐富性，從而更加深刻、更加準(zhǔn)確地理解它．如果刻意簡化數(shù)學(xué)，不僅會使知識膚淺化，還會讓人難以理解，給人留下一個壞印象：數(shù)學(xué)就是用不平常的方式觀察平常的事情．格拉頓-吉尼斯喜歡用“演進”(Convolution)解釋數(shù)學(xué)的發(fā)展，而不是“革命”(Revolution)．他認(rèn)為，數(shù)學(xué)的發(fā)展從沒有完全顛覆前期的成果，演進包括創(chuàng)新和替代，是一個認(rèn)可、接受、拒絕、修正的動態(tài)過程，當(dāng)談到某個數(shù)學(xué)知識時，就不僅包含這個知識本身，還涉及與之相關(guān)的其他知識．例如：

(1)定義包含更多知識

數(shù)學(xué)定義并不是簡單的命名方式，它所使用的判斷和概念，要么是不明確的，要么是有定義的，要想很好地理解它，就要弄清楚這些判斷和概念，以及凸顯這些判斷和概念之所以重要的那些語句．一些原創(chuàng)的定義為定理提供了證明，或者是公理的一種形式，其確切的意義只有通過重新解釋定理或公理才能獲得．

(2)數(shù)學(xué)理論有多個層次

對一般的數(shù)學(xué)知識來說，理性主義、經(jīng)驗主義是認(rèn)識論知識，實證主義、可誤主義是方法論知識．通常情況下，一般的數(shù)學(xué)知識包含于認(rèn)識論知識之中，認(rèn)識論知識又包含于方法論知識之中．?dāng)?shù)學(xué)理論就是由一般的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)的認(rèn)識論知識、數(shù)學(xué)的方法論知識構(gòu)成的多層次的復(fù)雜體系．

(3)數(shù)學(xué)有三種表述

一是認(rèn)識論表述，是由基本原理演繹出的形式系統(tǒng)，典型的是公理化系統(tǒng)．二是歷史的表述，通過描述不同階段的發(fā)展進程，如創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)過程、學(xué)術(shù)的影響過程等，歷史地反映數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)理論．三是啟發(fā)式表述，即從熟悉的情境中激發(fā)動機，獲取實例，然后經(jīng)過猜想、驗證等一系列活動，最終在啟發(fā)和思考中生成理論．認(rèn)識論表述往往基于最新的觀點去解釋、梳理已有的知識．歷史的表述則相反，往往挖掘更深的基礎(chǔ)和背景，解釋知識的由來．而啟發(fā)式表述介于兩者之間，既有認(rèn)識論成分也有歷史成分，在生成理論的同時，也帶來更多的啟發(fā)和思考．

2 數(shù)學(xué)史的地位：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的積極角色

數(shù)學(xué)知識不是憑空產(chǎn)生的，數(shù)學(xué)史在背后支撐著學(xué)生的學(xué)習(xí)和理解．你可以不關(guān)心數(shù)學(xué)史，不喜歡數(shù)學(xué)史，但不可能不受數(shù)學(xué)史的影響．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)史是一個積極角色．與其討論是否用數(shù)學(xué)史，還不如討論如何自覺地運用數(shù)學(xué)史．?dāng)?shù)學(xué)史的積極角色具體表現(xiàn)為：

(1)模仿的對象

從某種意義上說，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)研究的模仿．學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識的早期發(fā)展，模仿數(shù)學(xué)的研究過程，不僅能獲得知識，還能獲得學(xué)習(xí)的途徑和方法．模仿的對象有很多，如目標(biāo)選擇的背景、思路發(fā)現(xiàn)的途徑，甚至曾經(jīng)發(fā)生過的各種錯誤和策略．當(dāng)然，模仿應(yīng)該是啟發(fā)式模仿，不能只是認(rèn)識論模仿，因為認(rèn)識論模仿更多地關(guān)心數(shù)學(xué)的結(jié)果，其價值是有限的．

(2)體驗的素材

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要獲得知識，但更重要的是經(jīng)歷、體驗一些創(chuàng)造性活動．如果學(xué)生面對數(shù)學(xué)史上的一個獨創(chuàng)性問題，從不熟悉的情景開始，重構(gòu)發(fā)明創(chuàng)造的過程，感受觀念的萌生、發(fā)展和衰落，就會切實體會到數(shù)學(xué)的精神、思想和方法，看到數(shù)學(xué)活動中的“人”的真實世界．借鑒數(shù)學(xué)史，給學(xué)生一個真實的問題，雖然有可能增加學(xué)生的困難，但對學(xué)生的學(xué)習(xí)和發(fā)展是有深遠(yuǎn)意義的．

(3)研究的內(nèi)容

數(shù)學(xué)大家對數(shù)學(xué)史往往情有獨鐘，他們認(rèn)為如果一個觀點很重要，那么其歷史也就很重要，與之相關(guān)的因素就要仔細(xì)考察，然后才可能推進它．?dāng)?shù)學(xué)大家喜歡數(shù)學(xué)史不是被動的，他們知道要想做好數(shù)學(xué)，只能從歷史中學(xué)習(xí)，沒有別的辦法．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)史不是可有可無的陳詞濫調(diào)，它應(yīng)該成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)在成分，通過研究前人的成就，了解更多的知識，激發(fā)創(chuàng)造的靈感，逐漸作出自己的貢獻．

(4)學(xué)科理解的途徑

形式化的數(shù)學(xué)有解無問、有答無疑，看不到“人”；編年體的數(shù)學(xué)能指出數(shù)學(xué)家的成就和局限，但常常以此評價后人；而實證主義能說明一個概念為什么重要，但彰顯的是后來的觀點，缺乏靈活性和廣泛性．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，上述方式都是需要的，把它們合在一起，才能體現(xiàn)出“人”的活動和價值．實際上，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容不是那么重要，與之相聯(lián)系的方法論更有價值．方法論可以解決不同的問題，越是自覺地使用它，越會得到更好的發(fā)展．?dāng)?shù)學(xué)史既包含數(shù)學(xué)的知識，又包含數(shù)學(xué)的方法論，既有科學(xué)性，又有人文性，對學(xué)生理解數(shù)學(xué)學(xué)科、感受數(shù)學(xué)文化、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，都是至關(guān)重要的．

(5)啟發(fā)動機的資源庫

在知識和理解之間，數(shù)學(xué)史傾向于理解，通過提供動機、檢驗知識背后的發(fā)展和相互關(guān)系，幫助學(xué)生樹立問題意識、調(diào)動研究興趣、提高認(rèn)識水平．成功的數(shù)學(xué)教育離不開深刻的、深入的思考動機，數(shù)學(xué)史上的問題、背景、應(yīng)用、影響、不同層次的嚴(yán)謹(jǐn)、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的互動，都是啟發(fā)動機的資源．甚至曾經(jīng)發(fā)生的各種錯誤也是很好的動機資源．要知道，數(shù)學(xué)本來就是人類的一項活動，致力于解決有趣的問題，犯錯在所難免，數(shù)學(xué)大家的一個錯誤往往比普通人做出的一百個無懈可擊的小定理，更具有影響力和啟發(fā)性．

3 解讀數(shù)學(xué)史的方式：歷史與遺產(chǎn)

對同一個數(shù)學(xué)史料，不同的人可能有不同的解讀．例如，同樣是讀《原本》，史學(xué)家會發(fā)現(xiàn)，歐幾里得處理的對象是線而不是長度，是平面區(qū)域而不是面積，而數(shù)學(xué)家則會融入方程的思想，從中讀出幾何代數(shù)來．格拉頓-吉尼斯認(rèn)為，圖形的解讀和方程的解讀都是合理的，沒有對錯之分，但卻彼此不同，前者稱為歷史的解讀方式，后者稱為遺產(chǎn)的解讀方式．

一般地，如果兩個數(shù)學(xué)對象A,B有聯(lián)系，并且A的出現(xiàn)早于B，就稱A是B的歷史；反之，稱A是B的遺產(chǎn)．例如，方程對于歐幾里得來說是遺產(chǎn)，對于笛卡爾來說是歷史．

歷史的解讀方式，關(guān)注數(shù)學(xué)對象在特定時期的發(fā)展，包括它的前史、提出、早期形態(tài)、年表、內(nèi)外影響與應(yīng)用等，主要通過對過去的描述和解釋來回答這樣的問題：過去發(fā)生了什么？過去沒發(fā)生什么？為什么會發(fā)生？為什么沒有發(fā)生？數(shù)學(xué)史家常用歷史的解讀方式，希望在更廣泛的意義上尋找數(shù)學(xué)活動的動機、根源、成果．

遺產(chǎn)的解讀方式，關(guān)注數(shù)學(xué)對象對后期或者現(xiàn)在的影響，主要回答的問題是：我們是怎樣來到這里的?給出的答案往往像一條康莊大道，似乎后期的成果早就蘊藏在前期的形態(tài)和觀念之中了．實際上，這是對史料注入后期觀念的結(jié)果．?dāng)?shù)學(xué)家常用遺產(chǎn)的解讀方式，希望從過去的數(shù)學(xué)中獲得現(xiàn)在需要的思想靈感．

通常情況下，一個數(shù)學(xué)對象既有自己的歷史，也有自己的遺產(chǎn)．?dāng)?shù)學(xué)教育在歷史資源和遺產(chǎn)資源的選擇上，應(yīng)該選擇最能發(fā)揮教育效益的資源，而不是偏執(zhí)一端．例如，在代數(shù)教學(xué)中，《原本》中的幾何代數(shù)最能發(fā)揮效益，那就用它的遺產(chǎn)資源，或者說遺產(chǎn)地應(yīng)用它；在幾何教學(xué)中，線和面的幾何最能發(fā)揮效益，那就用它的歷史資源，或者說歷史地應(yīng)用它；而比例理論，既有助于幾何教學(xué)，也有助于算術(shù)教學(xué)，那就根據(jù)教學(xué)的需要，既可以歷史地應(yīng)用它，也可以遺產(chǎn)地應(yīng)用它．

格拉頓-吉尼斯對兩種解讀方式作了細(xì)致的區(qū)分．表1列出其中的一部分，這部分區(qū)分對教師解讀具體的數(shù)學(xué)史料和資源選擇可能有直接的幫助．

表1 歷史方式與遺產(chǎn)方式的區(qū)別

4 融入數(shù)學(xué)史的方法：“歷史-諷刺”教學(xué)法

格拉頓-吉尼斯認(rèn)同歷史發(fā)生原理，他說“教育模仿歷史”，這樣的例子比比皆是．例如零、分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)、未知數(shù)、常數(shù)、變量、方程、函數(shù)、極限、向量空間、線性代數(shù)、算術(shù)運算、超限算術(shù)等等．甚至對數(shù)學(xué)符號，也不能只講授普遍使用的那一個，不同的符號有不同的歷史，所有的符號都應(yīng)該適當(dāng)關(guān)注．

歷史的或者發(fā)生學(xué)的方法，不僅能幫助學(xué)生深入地理解數(shù)學(xué)的動機、問題、概念及其聯(lián)系，還能幫助教師清楚地表達、應(yīng)對學(xué)生學(xué)習(xí)的困難，設(shè)計合理的教學(xué)活動．為了更好地發(fā)揮數(shù)學(xué)史的教學(xué)效益，格拉頓-吉尼斯提出以下教學(xué)策略：

(1)精選數(shù)學(xué)問題，圍繞問題展開教學(xué)

問題的歷史不一定顯性呈現(xiàn)，但必須有足夠的思考寬度，能廣泛聯(lián)系有關(guān)學(xué)科，讓學(xué)生體會到問題的重要性．

(2)解釋問題及其解答的重要階段

說明每個階段的發(fā)展貢獻和外部因素，如果有可能，還可以指出該問題發(fā)展到現(xiàn)在的路徑，或者指出現(xiàn)在還沒有解決的有關(guān)問題．

(3)讓學(xué)生在改造的歷史情境中做出一些新結(jié)論

教學(xué)不必模仿繁瑣的歷史細(xì)節(jié)，可以給學(xué)生提供一定的知識基礎(chǔ)或方法基礎(chǔ)，讓學(xué)生自己 尋找更多的細(xì)節(jié)和興趣，或者從歷史發(fā)展的某個中間環(huán)節(jié)開始，讓學(xué)生自己探索解題的途徑和目標(biāo)．

(4)適當(dāng)點撥方法論

通過方法論的提示和說明，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)創(chuàng)造的不確定性、知識生長的雙向性、數(shù)學(xué)理論的層次性，感悟數(shù)學(xué)的精神、思想和方法，體驗“人”的活動和價值．

“歷史-諷刺”法(history-satire)，是格拉頓-吉尼斯根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗提出的一種獨特的數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的方法．在這里，“歷史”指的是數(shù)學(xué)史資源，包括歷史資源和遺產(chǎn)資源；“諷刺”指的是借助數(shù)學(xué)史資源激發(fā)學(xué)生的動機和思考，突出數(shù)學(xué)的意義，增強學(xué)生的數(shù)學(xué)理解．

該方法包括兩個基本步驟：一是把歷史文獻翻譯成當(dāng)前的等價形式，便于學(xué)生理解原文、把握數(shù)學(xué)內(nèi)容；二是把當(dāng)前的教學(xué)內(nèi)容嵌入到歷史情境中，讓學(xué)生在重構(gòu)的歷史情境中開展數(shù)學(xué)活動、實現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)．可以看出，該方法有明顯的遺產(chǎn)傾向，第二步不可能完全符合歷史的情景和進程，也不可能把當(dāng)前教學(xué)的知識完全嵌入到歷史情境中去，這是“歷史-諷刺”法的特殊之處．

案例柯西閉線積分定理的教學(xué)．

柯西閉線積分定理：具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單值可微函數(shù)在閉線C上的積分為0．很多學(xué)生對這個定理感覺奇怪，教材上利用柯西-黎曼方程和格林公式給出的快速證明更讓學(xué)生一頭霧水．

融入數(shù)學(xué)史的教學(xué)思路：實函數(shù)的積分定義早已講過，學(xué)生比較熟悉．本定理的教學(xué)引入上述中間版本，能使學(xué)生在實分析的基礎(chǔ)上更容易地理解該定理，這是一次“歷史-諷刺”；而從中間版本到最后版本，能使學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上超越幾何方式，更深刻地感受到分析的本質(zhì)，這又是一次“歷史-諷刺”．在兩次諷刺中，教師還可以放大某些歷史要素的意義，以便增強諷刺的效果．例如，把“幾何的角色”作為一個問題提出來，讓學(xué)生討論，可以使學(xué)生更好地體會圖形在分析中的地位和作用；把“柯西是否假設(shè)了f的導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的”作為一個問題提出來，讓學(xué)生思考，可以使學(xué)生更好地辨析殘數(shù)定理的柯西版本與后來版本的不同．

“歷史-諷刺”法的優(yōu)點很突出，能夠廣泛地關(guān)注數(shù)學(xué)知識的歷史資源和遺產(chǎn)資源，特別有益于當(dāng)前教學(xué)的歷史要素，既讓歷史服務(wù)于教學(xué)，又不讓教學(xué)止步于歷史、局限于歷史．但是，缺點也很明顯，一是諷刺的作用指向數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)，對基礎(chǔ)概念的學(xué)習(xí)或者低年級的學(xué)習(xí)似乎不太合適；二是遺產(chǎn)的傾向容易導(dǎo)致歷史失真，甚至歷史曲解，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)尤其對數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生偏見，從而不利于學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展．不過，這些缺點并非沒法克服，只要教師善加應(yīng)用，還是能很好地發(fā)揮數(shù)學(xué)史的積極作用的．