解2022年新高考I卷第12題的本手、俗手、妙手*

安愷凱

(江蘇省天一中學(xué) 214101)

沈丹丹

(江蘇省無錫市東北塘中學(xué) 214101)

“本手、俗手、妙手”是2022年語文新高考I卷的作文題，本意是圍棋的三個(gè)術(shù)語，本手是指合乎棋理的正規(guī)下法；妙手是指出人意料的精妙下法；俗手是指貌似合理，而從全局看通常會(huì)受損的下法．筆者不禁想到，在數(shù)學(xué)解題過程中不也會(huì)經(jīng)常遇到正規(guī)解法、精妙解法以及貌似合理卻錯(cuò)誤的解法嗎？筆者便結(jié)合2022年數(shù)學(xué)新高考I卷第12題來做一篇“數(shù)學(xué)作文”．

1 問題呈現(xiàn)

C．f(-1)=f(4) D．g(-1)=g(2)

新高考的實(shí)施對(duì)函數(shù)對(duì)稱性的考查不減反增，例如，在2022年全國新高考I卷中，第6題考查了三角函數(shù)的對(duì)稱性，第10題考查了三次函數(shù)的對(duì)稱性，而作為多選題壓軸的第12題考查了抽象函數(shù)的對(duì)稱性．抽象函數(shù)由于沒有給出具體的表達(dá)式，因此對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)提出了更高的要求，同時(shí)結(jié)合多選題層次更為豐富、角度更為多元的題型特征，更能考查學(xué)生辯證思維和深度思考的能力．

在上面的問題中，選項(xiàng)BCD的突破需要學(xué)生掌握好三招“本手”：一為“如何由f(kx+b)的奇偶性求f(x)的對(duì)稱性”；二為“如何由f(x)的對(duì)稱性求f′(x)的對(duì)稱性”；三為“如何由f(x)的兩個(gè)對(duì)稱性求f(x)的周期性”．筆者將上述三個(gè)問題一般化處理后進(jìn)行探究，生成如下一般性結(jié)論．

2 本手

結(jié)論1若f(kx+b)(k≠0)為偶函數(shù)，則f(x)關(guān)于x=b對(duì)稱；若f(kx+b)(k≠0)為奇函數(shù)，則f(x)關(guān)于(b,0)對(duì)稱．

證明若f(kx+b)為偶函數(shù)，則f(-kx+b)=f(kx+b)，故f(x)關(guān)于x=b對(duì)稱．若f(kx+b)為奇函數(shù)，同理可證．

結(jié)論2若f(x)關(guān)于x=m對(duì)稱，則f′(x)關(guān)于(m,0)對(duì)稱；若f(x)關(guān)于(m,0)對(duì)稱，則f′(x)關(guān)于x=m對(duì)稱．

證明若f(x)關(guān)于x=m對(duì)稱，則f(x+m)=f(m-x)，兩邊求導(dǎo)可得f′(x+m)=-f′(m-x)，所以f′(x)關(guān)于(m,0)對(duì)稱．若f(x)關(guān)于(m,0)對(duì)稱，同理可證．

結(jié)論3若f(x)關(guān)于x=m和x=n對(duì)稱，則T=2|m-n|為f(x)的一個(gè)正周期；若f(x)關(guān)于(m,0)和(n,0)對(duì)稱，則T=2|m-n|為f(x)的一個(gè)正周期；若f(x)關(guān)于x=m和(n,0)對(duì)稱，則T=4|m-n|為f(x)的一個(gè)正周期．

在高考中學(xué)生能否將“本手”運(yùn)用自如，取決于教師平時(shí)的教學(xué)活動(dòng)中是否立足于四基，即引導(dǎo)學(xué)生理解基礎(chǔ)知識(shí)、習(xí)得基本技能、感悟基本思想、積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．但僅憑此，只能判斷選項(xiàng)BCD的正確性，作為多選題，只能得到2分，而無法得到滿分．選項(xiàng)A需要由f′(x)的對(duì)稱性得到f(x)的對(duì)稱性，難免會(huì)讓人根據(jù)結(jié)論2逆向猜測(cè)：若f′(x)關(guān)于x=m對(duì)稱，則f(x)關(guān)于(m,0)對(duì)稱．這樣的猜想看似合情合理，卻不免落入“俗手”．

3 俗手

結(jié)論4若f′(x)關(guān)于x=m對(duì)稱，則f(x)關(guān)于(m,f(m))對(duì)稱；若f′(x)關(guān)于(m,0)對(duì)稱，則f(x)關(guān)于x=m對(duì)稱．

由結(jié)論4及g(x)關(guān)于x=2對(duì)稱，可得f(x)關(guān)于(2,f(2))對(duì)稱，然而f(2)的具體值無法得到，因此f(0)的值也無從得知．既然選項(xiàng)A的本質(zhì)涉及不定積分，那么高考卷是否有超綱之嫌？筆者不以為然，不定積分可以認(rèn)為是求導(dǎo)的逆過程，只要對(duì)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的聯(lián)系有深入的理解，也能基于高中階段的知識(shí)體系作出正確的逆向推導(dǎo)．

選項(xiàng)A是多選題中干擾項(xiàng)常見的設(shè)置方式，文獻(xiàn)[2]稱此種干擾項(xiàng)的類型為思維定式(熟悉的內(nèi)容、相似的形式，常會(huì)令人產(chǎn)生類比聯(lián)想，可能產(chǎn)生負(fù)遷移，由此導(dǎo)致錯(cuò)誤)，筆者認(rèn)為此類型的干擾項(xiàng)能對(duì)學(xué)生的辯證思維和深度思考能力進(jìn)行有效甄別，作為多選題的最后一題，能起到較好的選拔區(qū)分功能．

可見僅僅浮于問題表面，缺乏對(duì)知識(shí)本源的深度理解和辯證思考而作出的類比遷移往往是無本之末，在多選題的得分機(jī)制中，是會(huì)導(dǎo)致學(xué)生錯(cuò)失2分而得0分的一招“俗手”．

4 妙手

通過構(gòu)造上面兩例函數(shù)，能夠立即識(shí)破選項(xiàng)A，不失為一招“妙手”．但筆者認(rèn)為“妙手非偶得，本立而道生”，妙手的出現(xiàn)是基于對(duì)本手的深刻理解，取決于學(xué)生對(duì)不同類型的函數(shù)所對(duì)應(yīng)的性質(zhì)的認(rèn)識(shí)程度．筆者發(fā)現(xiàn)，新高考實(shí)施以來，在其他題型中也頻現(xiàn)需要答卷人根據(jù)函數(shù)性質(zhì)來構(gòu)造具體函數(shù)的開放型問題，以下是兩個(gè)具體實(shí)例．

例1(2021年“八省聯(lián)考”第15題)寫出一個(gè)最小正周期為2的奇函數(shù)f(x)=．

例2(2021年全國新高考Ⅱ卷第14題)寫出一個(gè)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)=．①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，f′(x)>0；③f′(x)是奇函數(shù)．

可見新高考下，出卷人越來越注重考查學(xué)生依據(jù)函數(shù)性質(zhì)來構(gòu)造函數(shù)的能力，其背后考查的是學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新性能力．

5 結(jié)束語

2022年高考學(xué)生普遍反映新高考數(shù)學(xué)I卷難度較高，凸顯出學(xué)生對(duì)新高考考試方位和命題思路的不適應(yīng)，反映出教考銜接環(huán)節(jié)的不匹配性．新高考下，高考試題更注重對(duì)思維品質(zhì)的考查，強(qiáng)調(diào)獨(dú)立思考和創(chuàng)新意識(shí)；更加注重對(duì)關(guān)鍵能力的考查，強(qiáng)調(diào)發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的選拔功能．以往一味的題海戰(zhàn)術(shù)已然失效，在知識(shí)生成過程中，教師應(yīng)留給學(xué)生足夠的自由思考空間，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與創(chuàng)新性．在解題教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)學(xué)科的本性原法，促使學(xué)生將知識(shí)和方法內(nèi)化為自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)，以此才能促使學(xué)生在高考考場(chǎng)上，規(guī)避“俗手”，下穩(wěn)“本手”，巧施“妙手”．