矩陣最小奇異值的下界

廖 平

(四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 遂寧 629000)

0 引言

(1)

(2)

文[4]利用G-函數(shù)與矩陣非奇異的關(guān)系推廣了文獻(xiàn)[3]的結(jié)果，得到如下估計：

設(shè)A為n階復(fù)矩陣，f=為G-函數(shù)，則

(3)

但顯然不論(2)或(3)，對Reaii≤0,i=1,2,…,n所得下界都是平凡的。與此同時，其它的一些特征值包含定理也被應(yīng)用于最小奇異值估計中，得到一些其他結(jié)果[5-9]，在文獻(xiàn)[10]中還利用矩陣的行列式得到最小奇異值的一些新下界，然而對一般高階矩陣而言，行列式的計算也極為不易。

本文在現(xiàn)有結(jié)果的基礎(chǔ)上，結(jié)合奇異值的自身特點，首先得到矩陣最小奇異值下界的一個新估計，然后利用該估計進(jìn)一步改進(jìn)了文獻(xiàn)[4]和[7]的結(jié)果。

1 主要結(jié)果

首先，我們給出文中用到的一些定義和引理。

定義[4]f=稱為一個G-函數(shù)，如果0≤fi(A)<∞,i=1,2,…,n，fi(A)僅依賴于A的非對角元的模，且對于任意滿足|aii|>fi(A),i=1,2,…,n的矩陣A，A都非奇異。

根據(jù)G-函數(shù)的定義，我們可以得到關(guān)于矩陣半正定或半負(fù)定的一個判定準(zhǔn)則。

引理1 設(shè)A為n階Hermite矩陣，為G-函數(shù)，

(a)若aii-fi(A)≥0，i=1,…,n，則A半正定；

(b)若aii+fi(A)≤0，i=1,…,n，則A半負(fù)定。

證明由G-函數(shù)的定義，A的任意特征值包含在以下集合的并集中：

Ωi={λ∈C:|λ-aii|≤fi(A)}，i=1,2,…,n。

設(shè)矩陣A的特征值按大小順序依次為λ1(A)≥λ2(A)≥…≥λn(A)。當(dāng)所有對角元aii滿足aii-fi(A)≥0時，λn(A)≥aii-fi(A)≥0，從而半正定。當(dāng)所有對角元aii滿足aii+fi(A)≤0時，λ1(A)≤aii+fi(A)≤0，從而半負(fù)定。

下面我們給出關(guān)于矩陣最小奇異值下界的一些估計結(jié)果。

證明對任意實數(shù)t，令M=A-tI，則MM*=AA*-t(A+A*)+t2I，從而AA*=MM*+t(A+A*)-t2I，又因x為σn(A)對應(yīng)右單位特征向量且MM*半正定，從而有

由引理2我們立即得到如下定理

推論1 設(shè)A為n階矩陣，若H(A)半正定或半負(fù)定，設(shè)H(A)的特征值按絕對值大小依次為|λ1(H)|≥|λ2(H)|≥…≥|λn(H)|≥0，則σn(A)≥|λn(H(A))|。

同時，也可以利用對角矩陣D=diag(eiθ1,eiθ2,…,eiθn)將矩陣A的對角元素全變?yōu)榉秦?fù)，且不改變其奇異值，故又可得如下結(jié)果。

證明由DA與A有相同奇異值，對DA用定理1即得。

若H(DA)半正定或半負(fù)定，同樣可得如下推論。

推論2 設(shè)A為n階矩陣，D=diag(eiθ1,eiθ2,…,eiθn)使DA的對角元為|aii|，i=1,2,…,n。若H(DA)半正定或半負(fù)定，且H(DA)的特征值按絕對值大小依次為|λ1(H(DA))|≥|λ2(H(DA))|≥…≥|λn(H(DA))|≥0，則σn(A)≥|λn(H(DA))|。

下面結(jié)合G-函數(shù)的定義和上文的結(jié)論，我們得到只依賴矩陣元素的最小奇異值下界估計。

定理3 設(shè)A為n階矩陣，為一個G-函數(shù)，

注1 當(dāng)Reaii≥0時(i=1,2,…,n)，由推論3之(a)即得文獻(xiàn)[4]的結(jié)論，但對Reaii≤0的情況，文[4]得到的下界是平凡的，但本文定理3則可能得到非負(fù)的下界。

類似地，由推論2又可得如下結(jié)果

注2 利用矩陣D=diag(eiθ1,eiθ2,…,eiθn)使DA的對角元為|aii|后再進(jìn)行估計不一定比直接對矩陣A進(jìn)行估計效果好。比如考慮如下矩陣

下面我們給出矩陣半正定或半負(fù)定的另一判定，從而給出奇異值下界的另一改進(jìn)估計。

引理3 設(shè)A為n階Hermite矩陣，

證明由文[5]知，矩陣A的任意特征值λ包含在以下區(qū)域內(nèi)

設(shè)其特征值按大小順序依次為λ1(A)≥λ2(A)≥…≥λn(A)。

由此，我們又可得以下關(guān)于最小奇異值的下界估計

定理4 設(shè)A為n階矩陣，則

注3 顯然定理4改進(jìn)了文獻(xiàn)[7]的相關(guān)結(jié)論。

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