半群的極大正則子半群

張心茹，羅永貴

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽 550025)

0 引言與準(zhǔn)備

設(shè)S是半群,A是S的非空子集，?a,e∈S,若e2=e,則稱e是半群S的冪等元,A中所有冪等元之集記為E(A)。若存在b∈S使得aba=a，則稱a是S的正則元，A中所有正則元之集記為Reg(A)。如果半群S中的每一個(gè)元素都是正則的，那么稱S是正則半群。若存在b∈S使得a=aba,b=bab，則稱b為a的逆元，a的所有逆元之集記為V(a)。易見，冪等元是正則元, 但正則元不一定是冪等元。設(shè)B?S是(正則)半群S的(正則)子半群，若B滿足:對(duì)任意的α∈SB，有〈B∪{α}〉=S,則稱B是半群S的極大(正則)子半群。

設(shè)Xn={1,2,…,n}，Tn和Sn分別是Xn上的全變換半群和對(duì)稱群，記Singn=TnSn，則Singn是Tn的子半群，稱Singn為奇異變換半群。對(duì)任意的1≤r≤n，設(shè)

Aiα=ai,1≤i≤r。

(α,β)∈L?im(α)=im(β)；(α,β)∈R?ker(α)=ker(β)；

(α,β)∈J?|im(α)|=|im(β)|

易見L?J,R?J,D=J,H=L∩R。記

我們用符號(hào)

表示Dn-1中滿足下列條件的冪等元：

設(shè)n≥3，3≤k≤n，記

令E(Dn-1)為Dn-1中所有冪等元之集，于是有E(Dn-1)=E*∪E▽∪E△*且E*，E▽,EΔ*兩兩相交為空集。

對(duì)任意i,j,q∈Xn,做如下定義：

R(i,j)={α∈Dn-1:iα=jα}

Lq={α∈Dn-1:im(α)=Xnq}}

S1=G∪Singn

文中未定義的符號(hào)及術(shù)語參見文獻(xiàn)[13-14]。

1 主要結(jié)果及證明

為完成定理1的證明給出以下若干引理。

引理1[5]設(shè)x,y是完全0-單半群中2個(gè)非冪等元，則xy≠0當(dāng)且僅當(dāng)Lx∩Ry含有冪等元，此時(shí)xy∈Lx∩Ry。

引理2[10]設(shè)1≤r≤n-1，則K(n,r)=〈E(Dr)〉且K(n,r)是正則子半群。

引理3[14]設(shè)S是半群，對(duì)任意的a∈S，則Ha中至多含有1個(gè)冪等元，若Ha中含有冪等元，則Ha是群。

引理4[14]設(shè)D是半群S的正則D-類a,b∈D，則H-類Hb包含a的逆元當(dāng)且僅當(dāng)H-類Ra∩Lb或Rb∩La包含冪等元。

情形1 若α∈K(n,n-2)，顯然存在β∈K(n,n-2)使得αβα=α，則由正則性的定義知K(n,n-2)是正則的。

定理1的證明：

其次，證E(Dn-1)?E(S)。假設(shè)E(Dn-1)E(S)≠?，任取e∈E(Dn-1)E(S)?Dn-1，則S∩Le≠?且S∩Re≠?，于是由S是正則半群可知，Le∩E(S)≠?且Re∩E(S)≠?，從而存在a,b∈E(S)使得a∈Le∩E(S)，b∈Re∩E(S)且a≠b。由引理1知，ab∈S∩Ra∩Lb(因?yàn)閑∈E(Dn-1)且ab∈Re∩Le=Ra∩Lb)。注意到a,b∈E(S)，a,b∈S，aRabLe。再由引理4可得，存在ab的逆元c使得c∈S∩La∩Rb=S∩Le∩Re，于是c是群He中的元，從而存在自然數(shù)n使得e=cn∈S與e∈E(Dn-1)E(S)矛盾。因此E(Dn-1)?E(S)?S。

1)S1=G∪Singn