擬共形映射下不同指數(shù)Hardy空間的復(fù)合算子

許姍姍，唐樹安

(貴州師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 貴陽(yáng) 550025)

0 引言

用Δ={z∈:|z|<1}表示全平面上的單位圓盤，S1={z∈:|z|=1}表示單位圓周，H(Δ)表示單位圓盤Δ上所有解析函數(shù)構(gòu)成的空間。 設(shè)φ∈H(Δ)且φ(Δ)?Δ， 復(fù)合算子定義為

Cφf(shuō)=f°φ，f∈H(Δ)

解析函數(shù)空間中的復(fù)合算子得到了廣泛的研究，其基本性質(zhì)和重要結(jié)果請(qǐng)參考文獻(xiàn)[1-2]。 一個(gè)有趣的問(wèn)題是如果誘導(dǎo)函數(shù)φ是一個(gè)擬正則映射，也即是一個(gè)解析函數(shù)復(fù)合一個(gè)擬共形映射，那么復(fù)合算子Cφ有什么性質(zhì)？ 此時(shí)，復(fù)合算子Cφ將解析函數(shù)空間或者擬正則函數(shù)空間映成一個(gè)擬正則函數(shù)空間。 實(shí)際上，我們對(duì)這類算子性質(zhì)了解得很少，它的研究涉及函數(shù)空間理論與擬共形映射理論。 王子鵬等[3]研究了由擬共形映射誘導(dǎo)的復(fù)合算子在Bergman空間中的有界性，得到很多有趣的結(jié)果。 最近，在文獻(xiàn)[4]中，作者給出了由擬共形映射誘導(dǎo)的復(fù)合算子在相同指數(shù)的Hardy空間與Bergman空間中有界的充要條件。 本文將研究這類復(fù)合算子在不同指數(shù)的Hardy空間與Bergman空間的有界性。 我們首先從一些定義和記號(hào)開始。

我們稱單位圓Δ內(nèi)一個(gè)解析函數(shù)f∈Hp，0

Hp空間上的函數(shù)f幾乎處處有非切向極限值

T(ζ)={z∈Δ:|z-ζ|

更多關(guān)于解析函數(shù)的Hardy空間理論，可見參考文獻(xiàn)[5-8]。

我們稱單位圓Δ內(nèi)一個(gè)解析函數(shù)f∈p，0

關(guān)于Bergman空間理論的相關(guān)內(nèi)容可以參考[9]。

則稱f:Δ→R2是一個(gè)K-擬正則映射, 其中

在文獻(xiàn)[4]中，Adamowicz和González考慮由擬共形映射φ:Δ→Δ誘導(dǎo)的復(fù)合算子。 他們給出了Cφ在Hardy空間與Bergman空間中有界性的充要條件，這些結(jié)果既是經(jīng)典的解析Hardy空間中復(fù)合算子的相應(yīng)結(jié)果的推廣，又具有獨(dú)立的研究意義。 為了敘述他們的結(jié)果，我們先給出一些定義和記號(hào)。

一個(gè)復(fù)值函數(shù)f的導(dǎo)數(shù)表示為

如果f是解析的，f′(z)=fz。 我們用dm(z)表示1、2維空間的Lebesgue測(cè)度。 記號(hào)XY表示X≤MY，XY表示X≥MY，X≈Y表示XYX，其中M為大于零的任意常數(shù)。

設(shè)0<α≤1, 單位圓周S1上一個(gè)函數(shù)h稱為α-H?lder連續(xù)的，如果存在常數(shù)M>0， 使得

如果α=1，我們稱h是Lipschitz連續(xù)的。

Adamowicz和González在文獻(xiàn)[4]中給出了在擬共形映射下相同指數(shù)的Hardy空間復(fù)合算子的有界性。

下面定理是本文的主要結(jié)果，我們討論了由擬共形映射誘導(dǎo)的復(fù)合算子在不同指數(shù)的Hardy空間的有界性條件。

定理2推廣了由解析函數(shù)誘導(dǎo)的復(fù)合算子在經(jīng)典解析Hardy空間的情形(見[13-14])。 我們不知道條件“φ-1的導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)”是否可以去掉，一般來(lái)講，一個(gè)擬對(duì)稱映射可以是不絕對(duì)連續(xù)的，α-H?lder連續(xù)性也不能保證φ-1|S1是可微的。

1 定理2的證明

設(shè)z∈Δ， 定義單位圓周S1上的一個(gè)與點(diǎn)z相關(guān)的區(qū)間Iz為

單位圓以z為心的雙曲球定義為

Bz=B(z,M(1-|z|))，0

設(shè)I是S1上的區(qū)間，|I|表示區(qū)間I的長(zhǎng)度。 集合

稱為一個(gè)Carleson盒子。

為了證明定理2，我們需要如下引理，它是[4]中引理2的推廣。

證設(shè)φ(z)=w表示雙曲球B的中心。 由K-擬共形映射的偏差引理([11-12,15])，存在常數(shù)M， 使得對(duì)所有z∈Δ，

diamφ-1(B)≈1-|z|

且

設(shè)w0∈Δ，φ-1(w0)=z0，J是S1上的一個(gè)區(qū)間使得J=Iw0， 由偏差引理可知存在常數(shù)M1>0， 使得

又注意到|Iz0|≈1-|z0|，|Iw0|≈1-|w0|， 我們有

引理證畢。

我們也需要下述引理。

引理2[4]設(shè)K≥1，φ:Δ→Δ是一個(gè)K-擬共形映射，T(ζ)是以ζ∈S1為頂點(diǎn)的錐，那么

φ(T(ζ))?Tφ(ζ)。

下面開始定理2的證明。

(1)

根據(jù)法圖引理和(1.1)，有

(2)

定義S1上的測(cè)度為μ(A)=m(φ-1(A))， 這里A?S1。 通過(guò)變量替換，(1)可以表示為

(3)

若z∈Ia， 則

(4)

由(3)和(4)，我們推出

根據(jù)μ的定義，可知

由引理2以及(φ-1)′存在且連續(xù)，我們推出存在常數(shù)M1>0，使得