光滑度量測度空間上熵沿幾何熱流的演化公式

毛晶晶

(江蘇省南通衛(wèi)生高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校 基礎(chǔ)部，江蘇 南通 226000)

0 引言

設(shè)(M,g,dμ)為光滑度量測度空間, 其中M為n維閉的黎曼流形, dμ=e-f(x)dx是關(guān)于某個給定勢函數(shù)f的加權(quán)測度。 當(dāng)考慮光滑度量測度空間上的問題時我們常用Bakry-Emery曲率

來替代Ricci曲率, 其中m>n。 加權(quán)Laplacian定義為Δf=Δ-▽f·▽。容易看出Δf關(guān)于加權(quán)測度dμ是對稱的。

本文在度量沿著一類幾何熱流演化的閉光滑度量測度空間上引入新的加權(quán)Shannon和Fisher熵, 并推導(dǎo)出這兩種熵的演化方程以及單調(diào)性。 作為應(yīng)用, 建立了相應(yīng)的漸進(jìn)估計(jì)。

1 相關(guān)定義

我們假設(shè)度量(gt)t≥0滿足如下的演化方程

?tg=h

(1)

在文獻(xiàn)[1]中加權(quán)Shannon熵定義為

(2)

加權(quán)Fisher 熵定義為

則加權(quán)Perelman熵可以定義

(3)

容易看出

Wf(g,u,t)

如下的加權(quán)Bochner公式很有用[1-4]

(4)

2 演化公式

文獻(xiàn)[5]中證明了熵W0(v,t)沿著Ricci流

?tg=-2Ric

和共軛熱方程耦合系統(tǒng)的單調(diào)不增性。這一節(jié)我們來建立加權(quán)Shannon熵和Fisher 熵沿著更為一般的幾何熱流 (1) 的演化公式。 為此，設(shè)f為方程

(5)

的解。由[6]知Rimann-Lebesgue度量dx滿足

則有

?t(dμ)=0

設(shè)u是方程

(Δf-?t)u=0

(6)

的正解。則有

因此我們設(shè)

(7)

由(2)知

(8)

注意到

因此

利用加權(quán)Bochner公式 (4),類似于 [7] 中的計(jì)算, 易得

因此

(9)

由 (8) 可得

結(jié)合(3)可得

(10)

(11)

證明由 (8), (9) 和 (10)，可得

因此 (11) 成立。

3 單調(diào)性和漸進(jìn)性

定理2 在定理1中特別地取f為方程

(12)

的解。度量(gt)t≥0滿足加權(quán)Ricci流

?tg=-2Ricf,m

(13)

那么Wf(g,u,t)沿著方程(6)單調(diào)不增。

證明此時 (11) 可以變形為

因此Wf(g,u,t)單調(diào)不增。證畢。

當(dāng)t→∞，我們得到了Sf(g,u,t)和Wf(g,u,t)的漸近估計(jì)。

定理3 設(shè)M為n維閉的黎曼流形，度量(gt)t≥0滿足加權(quán)Ricci流 (13)，f為方程 (12) 的解，則沿著加權(quán)熱方程 (6)，

(14)

且

(15)

證明由 (9) 可得

注意到

為了敘述方便，記

由H?lder不等式可得

=(-c+A)2

另一方面，

計(jì)算可以得到

因此，得(14)和(15)。