變桿長(zhǎng)X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性研究

朱冬梅，劉偉，劉海平，魯光陽(yáng)

（北京科技大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，北京 100083）

在振動(dòng)工程領(lǐng)域，傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器不僅可以有效抑制諧振峰值，并且在高頻范圍的衰減率可達(dá)-40 dB/dec，因此，得到廣泛應(yīng)用[1].

為了改善三參數(shù)隔振器的減隔振性能，研究人員開(kāi)展了大量研究. 劉海平等[2]建立了雙層高阻尼隔振器，可實(shí)現(xiàn)無(wú)諧振峰值的振動(dòng)控制效果；SILVA[3]和WANG[4]分別嘗試采用立方剛度替換主彈簧剛度Ka和輔助彈簧剛度Kb，計(jì)算結(jié)果表明，諧振頻率及高頻范圍的傳遞特性得到改善. 但是，立方剛度在實(shí)際中很難實(shí)現(xiàn). 近年，基于仿生原理，X 形結(jié)構(gòu)被引入減隔振領(lǐng)域并提出多種新穎的理論模型,如針對(duì)含X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)開(kāi)展研究并發(fā)現(xiàn)其優(yōu)良的減隔振性能[5-10]. 在此基礎(chǔ)上，LIU 等[11]嘗試將傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器和X 形結(jié)構(gòu)相結(jié)合提出改進(jìn)三參數(shù)隔振器，指出新型隔振器不僅可以有效抑制諧振峰值且對(duì)高頻傳遞特性沒(méi)有影響. 劉國(guó)勇等[12]提出了一種4 桿鉸接的放大機(jī)構(gòu)，其隔振系統(tǒng)的絕對(duì)位移傳遞率得到明顯衰減. 上述模型針對(duì)X 形結(jié)構(gòu)的討論較少，尤其，當(dāng)剛性連接桿桿長(zhǎng)變化時(shí)產(chǎn)生的影響尚未研究.顯然，變桿長(zhǎng)X 形結(jié)構(gòu)模型更具普適性.

綜上，文中提出含變桿長(zhǎng)X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)模型. 研究表明，含變桿長(zhǎng)X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)不僅可以顯著降低諧振頻率的峰值，而且在高頻范圍的傳遞特性不受影響. 相關(guān)的研究成果可為新型隔振器的設(shè)計(jì)提供理論參考.

1 變桿長(zhǎng)X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)建模

含變桿長(zhǎng)X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)模型如圖1 所示. 其中，Ka為主彈簧，水平輔助彈簧Kc和阻尼元件Ca并聯(lián)安裝在X 形結(jié)構(gòu)中，該X 形結(jié)構(gòu)上端連接豎直輔助彈簧Kb、下端連接基礎(chǔ). 未受載荷時(shí)，隔振系統(tǒng)的初始狀態(tài)用虛線部分表示；實(shí)線部分則為隔振系統(tǒng)在受到載荷時(shí)的靜平衡狀態(tài)；X 形結(jié)構(gòu)是由長(zhǎng)度為L(zhǎng)1、L2、2L1、2L2的剛性桿鉸接而成；n為X 形結(jié)構(gòu)的層數(shù)；在外部載荷Fe的作用下，θ1、θ2分別為剛性桿L1、L2對(duì)應(yīng)于水平軸y的初始夾角，φ1、φ2則分別為剛性桿L1、L2對(duì)應(yīng)于水平軸y的變化量；定義慣性質(zhì)量安裝面的中點(diǎn)位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，x、y軸正方向分別為垂直向上和水平向右. 由于文中的重點(diǎn)為運(yùn)動(dòng)機(jī)理研究，即考慮X形結(jié)構(gòu)、層數(shù)變化對(duì)隔振器動(dòng)態(tài)特性的影響，故暫未考慮桿的質(zhì)量、慣性和鉸接處的摩擦作用.

圖1 含n 層變桿長(zhǎng)X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)模型Fig. 1 Vibration isolation system model of X-shaped structure with n-layer variable rod length

由圖1 所示的力學(xué)模型，假設(shè)慣性質(zhì)量所受的力激勵(lì)為Fe=F0cosωt，可得隔振系統(tǒng)沿x軸方向的運(yùn)動(dòng)方程：

為了便于計(jì)算，通過(guò)定義函數(shù)f1（x）、f2（x）、f3（x）和f4（x）來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn).

考慮函數(shù)f1（x）、f2（x）、f3（x）和f4（x）在x2=0 處連續(xù)并進(jìn)行二階泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，可得：

式中，泰勒展開(kāi)式系數(shù)為

為了便于計(jì)算，在式（6）中引入量綱一的參數(shù)，且定義為

式中：ωn為隔振系統(tǒng)固有頻率；τ為量綱一的時(shí)間；γ1為隔振系統(tǒng)的水平剛度比；γ2為隔振系統(tǒng)的豎直剛度比；ξ為阻尼比；f0為量綱一的激勵(lì)力幅值；λ為桿長(zhǎng)比.

利用諧波平衡法可求解系統(tǒng)的位移幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng).

假設(shè)x1、x2的穩(wěn)態(tài)解為

采用諧波平衡法計(jì)算得到位移幅頻響應(yīng)為

2 驗(yàn)證與對(duì)比分析

2.1 數(shù)值驗(yàn)證和Adams 仿真驗(yàn)證

利用四階龍格庫(kù)塔法求出該模型的數(shù)值解與含變桿長(zhǎng)X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)模型解析解進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證其正確性.

暫定隔振系統(tǒng)的初始設(shè)計(jì)參數(shù)為Ca=5 Ns/m，L2=0.1 m，λ=0.5，θ1=60°，m=1 kg，F(xiàn)e=1 N，Ka=2 000 N/m，γ1=0.05，γ2=3，n=1.文中選取30 s 計(jì)算時(shí)間，利用四階龍格庫(kù)塔法在定頻激勵(lì)下得到隔振系統(tǒng)x10、x20的數(shù)值解；然后，選取穩(wěn)態(tài)解最大值作為響應(yīng)幅值并通過(guò)歸一化處理得到如圖2 所示的數(shù)值解曲線. 圖中，數(shù)值解用“NS”來(lái)表示，解析解用“AS”來(lái)表示. 對(duì)比可見(jiàn)，數(shù)值解與解析解曲線保持一致，表明文中給出的解析解正確有效.

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所建模型及解析解的正確性，在多體動(dòng)力學(xué)軟件Adams 中建立含變桿長(zhǎng)X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)模型. 由如圖3 可知，兩種方法所得計(jì)算結(jié)果曲線吻合良好.

圖3 Adams 仿真解與解析解對(duì)比Fig. 3 Comparison between simulation solution and ADAMS simulation solution

3 等效剛度系數(shù)和等效阻尼系數(shù)

3.1 等效剛度系數(shù)分析

常規(guī)剛度系數(shù)為系統(tǒng)主剛度系數(shù)Ka. 定義剛度比為含變桿長(zhǎng)X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)等效剛度系數(shù)與常規(guī)剛度系數(shù)的比值：

如圖4 所示，實(shí)線為含X 形結(jié)構(gòu)隔振器的等效剛度系數(shù)與常規(guī)剛度系數(shù)的比值，即剛度比. 隨著位移x2由0 增大到2×10-3m 的過(guò)程中，其剛度比逐漸增大，表明在分析位移范圍內(nèi)，含X 形結(jié)構(gòu)隔振器的等效剛度系數(shù)要大于常規(guī)剛度系數(shù).

圖4 剛度比-位移曲線Fig. 4 Comparison of stiffness ratio and displacement curve

3.2 等效阻尼系數(shù)分析

如圖5 所示，實(shí)線為的含X 形結(jié)構(gòu)隔振器的等效阻尼系數(shù)隨著位移x2由0 增大到2×10-3m 的過(guò)程中呈現(xiàn)不斷增大的規(guī)律. 虛線為線性隔振器的常規(guī)阻尼系數(shù)在隨著位移x2由0 增大到2×10-3m 的過(guò)程中始終為一定值. 在分析位移x2范圍內(nèi)，含X 形結(jié)構(gòu)隔振器的等效阻尼系數(shù)要大于常規(guī)阻尼系數(shù).

圖5 等效阻尼系數(shù)-位移曲線Fig. 5 Comparison of equivalent damping coefficients and displacement curve

4 隔振性能評(píng)估

4.1 力傳遞率

文中采用力傳遞率作為評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)驗(yàn)證含變桿長(zhǎng)X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)的隔振性能. 定義傳遞到基礎(chǔ)的力幅值與外部力激勵(lì)幅值比為力傳遞率：

式中:ftr為通過(guò)含變桿長(zhǎng)X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)傳遞到基礎(chǔ)的力;f0為外部激勵(lì)力;T為力傳遞率.

傳遞到基礎(chǔ)的力ftr可表示為由圖6 可知，與傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器、傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器對(duì)比，含變桿長(zhǎng)X 形結(jié)構(gòu)隔振器的諧振峰值會(huì)從9.0 減小為6.2，而且，其諧振頻率比會(huì)從1 增加到1.03.這表明，含X 形結(jié)構(gòu)隔振器能夠在保持系統(tǒng)剛度不減小的情況下顯著增大系統(tǒng)的阻尼，實(shí)現(xiàn)理想阻尼特征，即：諧振頻率阻尼增大，其他頻率范圍阻尼不變化.

圖6 與其他隔振器模型對(duì)比Fig. 6 Comparison with other isolator models

4.2 時(shí)域響應(yīng)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證含變桿長(zhǎng)X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)的隔振效果，并與傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器和傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器模型進(jìn)行比較，在時(shí)域展開(kāi)討論.

在實(shí)際工作環(huán)境中，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)往往受到多頻寬帶激勵(lì)，為了近似模擬實(shí)際工作環(huán)境，在低頻、中頻和高頻段分別取點(diǎn)，在這里假設(shè)隔振系統(tǒng)受到的力激勵(lì)為

由圖7 可知，在多頻寬帶激勵(lì)下，含變桿長(zhǎng)X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)的振動(dòng)控制效果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器和傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器.

圖7 時(shí)域多頻激勵(lì)傳遞到基礎(chǔ)的力Fig. 7 force transferred to the base under multi-frequency excitations in time domain

5 設(shè)計(jì)參數(shù)

根據(jù)前面的公式可知，含變桿長(zhǎng)X 形結(jié)構(gòu)隔振器的主要設(shè)計(jì)參數(shù)為λ、θ1、Ca、n、γ1和γ2，以下重點(diǎn)針對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行分析. 為了便于討論，第二節(jié)中設(shè)置的初始設(shè)計(jì)參數(shù)為初始參數(shù).

5.1 桿長(zhǎng)比λ

因?yàn)楫?dāng)L1≥L2時(shí)的幾何關(guān)系對(duì)模型的影響與L1≤L2時(shí)一樣. 因此，假設(shè)桿長(zhǎng)L1≤L2，保持其它參數(shù)不變，將桿長(zhǎng)比λ分別取0.2、0.5、0.8、1，得到力傳遞率曲線，如圖8 所示.

圖8 不同桿長(zhǎng)比λ 對(duì)應(yīng)的力傳遞率Fig. 8 Force transmissibility with different rod length ratio λ

由圖8 可知，當(dāng)λ=0.2 時(shí)，其諧振頻率比和諧振峰值分別為1.03 和6.56；當(dāng)桿長(zhǎng)比λ增大到1 時(shí)，其諧振頻率比和諧振峰值分別為1.06 和3.78，這表明桿長(zhǎng)比增大會(huì)逐漸降低諧振峰值且諧振頻率比幾乎不變. 當(dāng)λ=1 時(shí)，即L1=L2時(shí)，系統(tǒng)諧振處的峰值最小，即隔振效果最好. 其中，變桿長(zhǎng)X 形結(jié)構(gòu)更加完善了X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)的分析.

5.2 初始傾角θ1

將其他設(shè)計(jì)參數(shù)固定，選擇初始傾角θ1分別為30°、45°、60°、70°，分析初始傾角變化對(duì)隔振性能的影響. 由圖9 可知，當(dāng)初始傾角θ1=30°時(shí)，其諧振頻率比和諧振峰值分別為1.01 和45.3，隨著初始傾角θ1逐漸增大到70°時(shí)，其諧振頻率比和諧振峰值分別為1.08 和3.16.這表明隨著初始傾角θ1增大，諧振頻率的峰值得到明顯抑制.

圖9 不同初始夾角θ1 對(duì)應(yīng)力傳遞率Fig. 9 Force transmissibility with different initial angle θ1

5.3 水平剛度比γ1

將其他設(shè)計(jì)參數(shù)固定，選擇水平剛度比γ1分別為-0.05、0、0.05、1 對(duì)應(yīng)力傳遞率曲線，如圖10 所示. 由圖可知，當(dāng)水平剛度比為-0.05 時(shí)，其諧振頻率比和諧振峰值分別為1.44 和18.78，當(dāng)水平剛度比逐漸增大到1 時(shí)，其諧振頻率比和諧振峰值分別為0.99 和5.4.這表明隨著水平剛度比γ1減小，其諧振頻率顯著減小且對(duì)應(yīng)諧振峰值被有效抑制. 因此，可以選擇合適的水平剛度比γ1來(lái)實(shí)現(xiàn)“低剛度、高阻尼”的隔振效果.

圖10 不同剛度比γ1 對(duì)應(yīng)力傳遞率Fig. 10 Force transmissibility with different stiffness ratio γ1

5.4 豎直剛度比γ2

將其他設(shè)計(jì)參數(shù)固定，選擇豎直剛度比γ2分別為-0.05、1、3 的力傳遞率曲線如圖11 所示. 由圖可知，當(dāng)豎直剛度比為-0.05 時(shí)，其諧振頻率比和諧振峰值分別為0.97 和58.93，當(dāng)豎直剛度比逐漸增大到3 時(shí)，其諧振頻率比和諧振峰值分別為1.04 和6.22.這表明隨著豎直剛度比γ2逐漸增大，其諧振峰值會(huì)顯著降低. 這表明，通過(guò)選擇合適的豎直剛度比γ2，可以實(shí)現(xiàn)良好的減隔振效果.

圖11 不同剛度比γ2 對(duì)應(yīng)力傳遞率Fig. 11 Force transmissibility with different stiffness ratio γ2

5.5 阻尼系數(shù)Ca

將其他設(shè)計(jì)參數(shù)固定，選擇阻尼系數(shù)Ca分別為1、3 和5 的力傳遞率曲線，如圖12 所示. 由圖可知，當(dāng)阻尼系數(shù)為1 時(shí)，其諧振頻率比和諧振峰值分別為1.04 和30.34，當(dāng)阻尼系數(shù)逐漸增大到5 時(shí)，其諧振頻率比和諧振峰值分別為1.03 和6.21. 這表明隨著阻尼系數(shù)Ca的增大，其諧振峰值會(huì)顯著降低. 這表明，通過(guò)選擇合適的阻尼系數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)良好的隔振效果.

圖12 不同阻尼系數(shù)Ca 對(duì)應(yīng)力傳遞率Fig. 12 Force transmissibility with different damping coefficient Ca

5.6 n 層X(jué) 形結(jié)構(gòu)

將其他設(shè)計(jì)參數(shù)固定，選擇X 形結(jié)構(gòu)層數(shù)n分別為1、3 和5 的力傳遞率曲線，如圖13 所示. 由圖可知，當(dāng)X 形結(jié)構(gòu)層數(shù)為1 時(shí)，其諧振頻率比和諧振峰值分別為1.04 和6.22；當(dāng)X 形結(jié)構(gòu)層數(shù)逐漸增大到5 時(shí)，其諧振頻率比和諧振峰值分別為1.06 和5.8.這表明隨著X 形結(jié)構(gòu)層數(shù)的增大，其諧振峰值會(huì)顯著降低. 這表明，通過(guò)選擇合適的X 形結(jié)構(gòu)層數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)良好的隔振效果.

圖13 不同X 形結(jié)構(gòu)層數(shù)n 對(duì)應(yīng)力傳遞率Fig. 13 Force transmissibility with different n-layered X-shaped structure

6 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證模型解析解的正確性，加工了如圖14所示等效于解析模型的試驗(yàn)件. 其中，慣性質(zhì)量m=0.65 kg；初始傾角θi=55°；桿長(zhǎng)L1= 0.05 m；桿長(zhǎng)比λ=0.5；Ka=5 000 N；Kb=8 000 N；Kc=1600N；X 形結(jié)構(gòu)層數(shù)n=1.在這里需要說(shuō)明的一點(diǎn)是隔振系統(tǒng)中的阻尼部分包括空氣阻尼，結(jié)構(gòu)材料阻尼以及各部件相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的摩擦阻尼.

圖14 變桿長(zhǎng)X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)Fig. 14 Vibration isolation system of X-shaped structure with n-layer variable rod length

測(cè)試系統(tǒng)主要包括：信號(hào)發(fā)生器、功率放大器、激振器、加速度傳感器、信號(hào)采集儀和計(jì)算機(jī).

試驗(yàn)狀態(tài)圖如圖15 所示，在試驗(yàn)件下端施加激勵(lì)，表征理論模型中的加速度激勵(lì)，在上下板分別連接一個(gè)加速度傳感器，用于測(cè)量輸入以及輸出的加速度. 設(shè)置采樣頻率256 Hz，信號(hào)發(fā)生器的掃頻頻率為1 Hz 至100 Hz，采用線性掃頻以及掃頻時(shí)間為100 s.

圖15 試驗(yàn)測(cè)試狀態(tài)Fig. 15 Test status

如圖16 所示，試驗(yàn)所得的結(jié)果與解析結(jié)果總體上趨于一致，但在共振區(qū)域附近以及高頻段，曲線的擬合有誤差. 可能產(chǎn)生誤差的原因是為了讓試驗(yàn)件模型中的上下板能夠保證沿垂向運(yùn)動(dòng)，在上板安裝了四個(gè)直線軸承，但由于上下兩個(gè)板存在加工誤差以及軸承的安裝誤差較大，不能?chē)?yán)格按照垂向的直線運(yùn)動(dòng)，所以導(dǎo)致摩擦力較大. 這種情況導(dǎo)致實(shí)測(cè)出來(lái)隔振器的位移不穩(wěn)定，導(dǎo)致了試驗(yàn)曲線與解析曲線存在誤差. 由于試驗(yàn)所得的結(jié)果曲線與解析結(jié)果曲線總體上趨于一致，表明所建模型的正確性. 在高頻段，高頻局部模態(tài)導(dǎo)致了試驗(yàn)傳遞率曲線出現(xiàn)波動(dòng)，由于隔振系統(tǒng)主要是用于中低頻段的減隔振效果，不包含高頻段的模態(tài)影響，所以對(duì)高頻段不作分析. 綜上所得，解析結(jié)果是正確的.

圖16 試驗(yàn)與解析傳遞率曲線對(duì)比Fig. 16 Comparison of test and analytical transfer rate curves

7 結(jié) 論

文中重點(diǎn)考慮X 形結(jié)構(gòu)變桿長(zhǎng)特征對(duì)隔振系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響. 首先，根據(jù)所建模型利用諧波平衡法得出解析解，并將其與四階龍格庫(kù)塔法給出的數(shù)值解和多流體動(dòng)力學(xué)Adams 仿真得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比. 其次，分別求出系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)和等效阻尼系數(shù)；并采用力傳遞率作為評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)隔振系統(tǒng)的隔振效果進(jìn)行分析. 最后，對(duì)系統(tǒng)中的一些重要設(shè)計(jì)參數(shù)帶來(lái)的影響進(jìn)行研究. 根據(jù)計(jì)算結(jié)果可知：

通過(guò)選取合適的設(shè)計(jì)參數(shù)桿長(zhǎng)比λ、初始傾角θ1、水平剛度比γ1、豎直剛度比γ2、阻尼Ca和X 形結(jié)構(gòu)層數(shù)n，可以改善諧振頻率以及減隔振性能. 與傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器和傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器相比，在保證隔振系統(tǒng)等效剛度的前提下，可顯著提高其等效阻尼；在時(shí)域多頻寬頻力激勵(lì)下，相比于傳統(tǒng)兩參數(shù)隔振器和傳統(tǒng)三參數(shù)隔振器，含X 形結(jié)構(gòu)隔振系統(tǒng)從慣性質(zhì)量傳遞到基礎(chǔ)的力得到大幅衰減；通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證，表明求解理論模型的正確性.