紙片類數學實驗教學的實踐與思考*

李明樹

(江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)東沙湖實驗中學 215021)

紙片類數學實驗是學生通過動手動腦，以“做”為支架的數學教與學的活動方式，是在教師的引導下，借助“紙片”，通過平移、翻折、旋轉、剪(拼)等操作，在認知與非認知因素參與下進行的一種理解數學知識、發(fā)現數學問題、探索與驗證數學結論的思維活動.教學活動中，利用KT泡沫板、打印紙、透明膠片、半透明紙片、“電子紙片”等作為實驗操作的素材，既貼近學生現實，又符合學生的認知水平；紙片類數學實驗的介入既詮釋了知識的發(fā)生、形成、發(fā)展的過程，又激發(fā)了學生主動探究問題的興趣.紙片類數學實驗可以優(yōu)化學生的數學學習方式；發(fā)展學生的幾何直觀想象能力；促進學生數學活動經驗的積累；達成提升學生數學素養(yǎng)的目標．

1 紙片類數學實驗是優(yōu)化學習方式的常用策略

借助紙片類數學實驗，可以讓學生獲得如何探究、如何發(fā)現的方法感悟，實現接受式、思辨式學習向探究式、體驗式學習的轉變；學生經歷動手操作、用眼觀察、提出猜想、驗證結論等環(huán)節(jié)，充分體驗“知識從何而來”“知識是什么”“知識向何而去”的完整數學學習過程．

案例1蘇科版義務教育教科書《數學》八年級上冊“2.5等腰三角形的軸對稱性”一課中，教材大致是這樣安排的：學生經歷折疊等腰三角形紙片，猜想、歸納等腰三角形的性質，探究證明猜想，尺規(guī)作圖作等腰三角形，例題解析．整個過程流暢自然，但細細品味，又覺得似乎缺點什么，所折疊的等腰三角形從何而來？為何要折疊等腰三角形紙片？如何制作等腰三角形？故筆者進行了如下設計：

數學實驗：

操作1

材料：一張長方形紙片、剪刀、直尺(直尺僅用于畫線)、鉛筆.

規(guī)則：只剪一刀得到一個等腰三角形.

操作2材料：一張非等腰三角形紙片、剪刀、直尺(直尺僅用于畫線)、鉛筆.

規(guī)則：只剪一刀得到一個等腰三角形.

操作3材料：一張不規(guī)則紙片(紙片邊緣均是“曲線”)、剪刀、直尺(直尺僅用于畫線)、鉛筆.

規(guī)則：只剪一刀得到一個等腰三角形.

學生順利地完成操作1和操作2，因為這兩項操作的實驗素材均為規(guī)則紙片，即紙片的邊界為線段.故學生在線段的軸對稱的基礎上只需要折疊其中紙片的一邊，從而折出了線段的垂直平分線，再利用線段垂直平分線的性質即可剪出一個等腰三角形．長方形紙片操作如圖1:

圖1

操作過程中顯然得到了“雙層”直角三角形，其一條直角邊在第一次折痕上，折痕即為等腰三角形的對稱軸.學生的學習過程把教材中靜態(tài)的知識結果變?yōu)閯討B(tài)的知識的發(fā)生、發(fā)展過程，既回顧了線段的軸對稱性的探究方法，又初步感受了等腰三角形的軸對稱性，激發(fā)了進一步深度探究等腰三角形性質的欲望.非等腰三角形紙片剪裁與圖1操作類似，而學生在嘗試操作3時卻屢次失敗，折疊不規(guī)則紙片一次雖得到一條“對稱軸”，但無法得到線段的垂直平分線(理由是紙片邊緣均是“曲線”)，自然無法得到“雙層”直角三角形，原實驗規(guī)則不可行，從而激發(fā)學生改變實驗規(guī)則來達成實驗目標.具體操作如圖2.

圖2

學生在操作1和2的過程中獲得了一定的數學活動經驗，會慣性地用所獲得的經驗探索操作3，嘗試未果后，會主動思考為何失敗，于是其在“嘗試、失敗、再嘗試”的反復循環(huán)中經歷操作、猜想、再操作的學習過程，逐步在解決問題的喜悅中明白問題的原理和本質.

案例2折紙——探索角平分線性質

蘇科版義務教育教科書《數學》八年級上冊“2.4角的軸對稱性”大致安排如下：(1)沿∠AOB的角平分線OC翻折,得到角的軸對稱性的結論；(2)在∠AOB的角平分線OC上任取一點P，分別畫點P到OA，OB的垂線段PC，PD，PC和PD相等嗎？學生經歷操作、猜想，再運用圖形運動的方法，利用角的軸對稱性，證明PC=PD.

促進學生的思維發(fā)展，是數學教育的重要任務之一.傳統的數學教學中，教師注重知識的系統性和邏輯的嚴謹性，學生主要是記住數學結論，然后進行題海式的訓練.這樣的教學，并不利于學生的思維發(fā)展.[1]教材內容的設置雖體現了學生操作、猜想、驗證的學習過程，但對角平分線性質的本質理解似乎還不夠“立體”，于是筆者在教學中進行了如下嘗試：

數學實驗 任取一張三角形紙片，按照圖3所示的方法折疊.

圖3

數學建模 還原紙片，畫出幾何圖形(圖4).

圖4

數學歸納 歸納猜想，你能獲得什么結論？

結論：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

數學推理 (略)

數學表達 因為BD是∠ABC的角平分線,PE⊥BC，PF⊥AB,所以PE=PF.

紙片類數學實驗是“做數學”的具體實施形態(tài)之一，是教師引導學生經歷探索過程，發(fā)現數學結論和尋找證明方法的一種學習方式.案例1、2將動手操作、用眼觀察、動腦思考有機地結合在一起，通過外部實踐和操作的數學實驗活動促進學生思維的發(fā)展.實驗前、實驗中、實驗后均對學生學習方式的優(yōu)化和思維的發(fā)展提供了優(yōu)良的學習環(huán)境,同時為學生創(chuàng)造性思維的培育提供了空間.

2 紙片類數學實驗是發(fā)展幾何直觀的重要載體

《義務教育數學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《標準》)提出，在數學課程中應當注重發(fā)展學生的幾何直觀.幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題.借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果.幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發(fā)揮著重要作用．[2]《普通高中數學課程標準(2017年版)》也明確提出，直觀想象是數學學科六大核心素養(yǎng)之一．直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知實物的形態(tài)和變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養(yǎng).主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路．[3]透明打印膠片作為實驗素材參與圖形的探究，可以直觀地顯現圖形的組成，動態(tài)或靜態(tài)地呈現圖形的結構、數量關系，有助于發(fā)展學生的幾何直觀．

案例3(蘇州工業(yè)園區(qū)2020—2021學年初三數學模擬試卷第18題)如圖5，是小明家客廳地面鋪設的瓷磚圖案，其中四邊形ABCD是正方形，陰影部分是四個全等的菱形，且點A，E，F在同一條直線上．已知菱形較短的對角線長為20 cm，則正方形ABCD的面積為cm2．

圖5

此題是基于生活(圖6)而被“設計”出來的，圖形結構豐富、元素關系復雜、解法多元、思維強度大.解決此題時，選取透明打印膠片作為實驗的工具.事先將原圖打印在透明打印膠片上，通過透明打印膠片的折疊、與原圖的疊放、旋轉等發(fā)現對稱性、特殊點，再從定性分析到定量計算；設計更為復雜、美麗的圖案,使學生感受圖案的設計與數學知識是密不可分的，體驗的過程提高了學生綜合運用數學知識、思想、方法解決真實情境問題的能力.羅丹說過：“生活中不缺少美，缺少的是發(fā)現美的眼睛.”而生活中不能缺少數學，因為數學可以讓我們知道美在何處.

圖6

案例4折正多邊形結

數學實驗 用長方形紙片按照圖7的方式打結、拉緊、壓平，折出的“五邊形”是正五邊形嗎?

圖7

數學思考 各邊相等、各角相等的五邊形是正五邊形.你能證明你的發(fā)現嗎？

上述操作中學生很難畫出相應的幾何圖形，基本是畫出圖形的輪廓(圖8)．不透明的長方形紙片在打結、拉緊、壓平之后，重疊部分看不到了，這就給作圖帶來了障礙；用透明長方形紙片重復操作發(fā)現“圖形的風骨清晰可見”(圖9)，看得見的線條用實線，看不見的線條用虛線，可以畫出相應的幾何圖形(圖10).

圖8 圖9

圖10

幾何直觀所指有兩點：一是幾何，即圖形；二是直觀，不僅僅局限于“看得到的東西”(實物)，更重要的是要依托現在“看得到的東西”(實驗操作)和以前“看得到的東西”(已有經驗)進行思考、想象．綜合起來,這在本質上是一種通過圖形所展開的想象能力.幾何直觀的培養(yǎng)需要以透明紙片為素材經歷數學實驗中的體驗、抽象，使數學的研究對象變得“看得見、摸得著”.

3 紙片類數學實驗是促進經驗積累的關鍵手段

《標準》在教學建議中指出：“數學活動經驗的積累是提高學生數學素養(yǎng)的重要標志.幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標，是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果.數學活動經驗需要在‘做’的過程和‘思考’的過程中積淀，是在數學學習過程中逐步積累的……”[2]筆者認為紙片類數學實驗是積累數學活動經驗的有效途徑，可以促進學生不斷經歷知識的來龍去脈，是對知識的真探究，形成了真能力，積累并豐富了數學活動經驗.

案例5含30°角的直角三角形的性質

數學實驗1 折一個含30°角的直角三角形

用一張正方形紙片，按如圖11所示的方式折疊，找出含30°的直角三角形，并說明理由.

圖11

數學實驗2 探索30°角的直角三角形的性質

剪下圖11中含30°角的直角三角形紙片,按 圖12所示的方式折疊，完成對其性質的探究.

圖12

教師引導學生完成數學猜想、數學建模(畫出 圖13)、數學證明、數學歸納、數學表達.“第一次數學活動中獲得原初經驗；第二次遇到相同情景時，經驗再現，稱為再生經驗；再次遇到類似情景時，遷移運用先前經驗，產生再認識經驗；在形式不同本質一樣的新情況下，按照‘模式’重復運用這種經驗時，這種經驗就成為概括性經驗”.[4]

圖13

4 紙片類數學實驗是達成提升學生素養(yǎng)目標的有效途徑

2014年教育部在發(fā)布的《關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》中提出了發(fā)展核心素養(yǎng).2018年教育部頒布的《普通高中數學課程標準(2017年版)》中，把數學核心素養(yǎng)定義為“學生應具備的、能夠適應終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的、與數學有關的思維品格和關鍵能力”，并明確了數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析等數學核心素養(yǎng)要素.新課程改革對數學教育提出的目標要求經歷了“雙基目標”“三維目標”“四基四能”“數學核心素養(yǎng)”的過程，這些目標的達成主要是要學生親自參與其中，需要學生的獨立思考和深刻感悟，在發(fā)展能力的同時，品格和觀念也得到相應的發(fā)展．“紙片類數學實驗”極大地激發(fā)了學生的學習興趣，調動了學生的學習熱情，引起了學生的好奇心，使學生以積極的態(tài)度投入實驗探究的活動中.