解2022年新高考I卷第12題的本手、俗手、妙手*

安愷凱

(江蘇省天一中學(xué) 214101)

沈丹丹

(江蘇省無錫市東北塘中學(xué) 214101)

“本手、俗手、妙手”是2022年語文新高考I卷的作文題，本意是圍棋的三個術(shù)語，本手是指合乎棋理的正規(guī)下法；妙手是指出人意料的精妙下法；俗手是指貌似合理，而從全局看通常會受損的下法．筆者不禁想到，在數(shù)學(xué)解題過程中不也會經(jīng)常遇到正規(guī)解法、精妙解法以及貌似合理卻錯誤的解法嗎？筆者便結(jié)合2022年數(shù)學(xué)新高考I卷第12題來做一篇“數(shù)學(xué)作文”．

1 問題呈現(xiàn)

C．f(-1)=f(4) D．g(-1)=g(2)

新高考的實施對函數(shù)對稱性的考查不減反增，例如，在2022年全國新高考I卷中，第6題考查了三角函數(shù)的對稱性，第10題考查了三次函數(shù)的對稱性，而作為多選題壓軸的第12題考查了抽象函數(shù)的對稱性．抽象函數(shù)由于沒有給出具體的表達式，因此對學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)提出了更高的要求，同時結(jié)合多選題層次更為豐富、角度更為多元的題型特征，更能考查學(xué)生辯證思維和深度思考的能力．

在上面的問題中，選項BCD的突破需要學(xué)生掌握好三招“本手”：一為“如何由f(kx+b)的奇偶性求f(x)的對稱性”；二為“如何由f(x)的對稱性求f′(x)的對稱性”；三為“如何由f(x)的兩個對稱性求f(x)的周期性”．筆者將上述三個問題一般化處理后進行探究，生成如下一般性結(jié)論．

2 本手

結(jié)論1若f(kx+b)(k≠0)為偶函數(shù)，則f(x)關(guān)于x=b對稱；若f(kx+b)(k≠0)為奇函數(shù)，則f(x)關(guān)于(b,0)對稱．

證明若f(kx+b)為偶函數(shù)，則f(-kx+b)=f(kx+b)，故f(x)關(guān)于x=b對稱．若f(kx+b)為奇函數(shù)，同理可證．

結(jié)論2若f(x)關(guān)于x=m對稱，則f′(x)關(guān)于(m,0)對稱；若f(x)關(guān)于(m,0)對稱，則f′(x)關(guān)于x=m對稱．

證明若f(x)關(guān)于x=m對稱，則f(x+m)=f(m-x)，兩邊求導(dǎo)可得f′(x+m)=-f′(m-x)，所以f′(x)關(guān)于(m,0)對稱．若f(x)關(guān)于(m,0)對稱，同理可證．

結(jié)論3若f(x)關(guān)于x=m和x=n對稱，則T=2|m-n|為f(x)的一個正周期；若f(x)關(guān)于(m,0)和(n,0)對稱，則T=2|m-n|為f(x)的一個正周期；若f(x)關(guān)于x=m和(n,0)對稱，則T=4|m-n|為f(x)的一個正周期．

在高考中學(xué)生能否將“本手”運用自如，取決于教師平時的教學(xué)活動中是否立足于四基，即引導(dǎo)學(xué)生理解基礎(chǔ)知識、習(xí)得基本技能、感悟基本思想、積累基本活動經(jīng)驗．但僅憑此，只能判斷選項BCD的正確性，作為多選題，只能得到2分，而無法得到滿分．選項A需要由f′(x)的對稱性得到f(x)的對稱性，難免會讓人根據(jù)結(jié)論2逆向猜測：若f′(x)關(guān)于x=m對稱，則f(x)關(guān)于(m,0)對稱．這樣的猜想看似合情合理，卻不免落入“俗手”．

3 俗手

結(jié)論4若f′(x)關(guān)于x=m對稱，則f(x)關(guān)于(m,f(m))對稱；若f′(x)關(guān)于(m,0)對稱，則f(x)關(guān)于x=m對稱．

由結(jié)論4及g(x)關(guān)于x=2對稱，可得f(x)關(guān)于(2,f(2))對稱，然而f(2)的具體值無法得到，因此f(0)的值也無從得知．既然選項A的本質(zhì)涉及不定積分，那么高考卷是否有超綱之嫌？筆者不以為然，不定積分可以認為是求導(dǎo)的逆過程，只要對原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)之間的聯(lián)系有深入的理解，也能基于高中階段的知識體系作出正確的逆向推導(dǎo)．

選項A是多選題中干擾項常見的設(shè)置方式，文獻[2]稱此種干擾項的類型為思維定式(熟悉的內(nèi)容、相似的形式，常會令人產(chǎn)生類比聯(lián)想，可能產(chǎn)生負遷移，由此導(dǎo)致錯誤)，筆者認為此類型的干擾項能對學(xué)生的辯證思維和深度思考能力進行有效甄別，作為多選題的最后一題，能起到較好的選拔區(qū)分功能．

可見僅僅浮于問題表面，缺乏對知識本源的深度理解和辯證思考而作出的類比遷移往往是無本之末，在多選題的得分機制中，是會導(dǎo)致學(xué)生錯失2分而得0分的一招“俗手”．

4 妙手

通過構(gòu)造上面兩例函數(shù)，能夠立即識破選項A，不失為一招“妙手”．但筆者認為“妙手非偶得，本立而道生”，妙手的出現(xiàn)是基于對本手的深刻理解，取決于學(xué)生對不同類型的函數(shù)所對應(yīng)的性質(zhì)的認識程度．筆者發(fā)現(xiàn)，新高考實施以來，在其他題型中也頻現(xiàn)需要答卷人根據(jù)函數(shù)性質(zhì)來構(gòu)造具體函數(shù)的開放型問題，以下是兩個具體實例．

例1(2021年“八省聯(lián)考”第15題)寫出一個最小正周期為2的奇函數(shù)f(x)=．

例2(2021年全國新高考Ⅱ卷第14題)寫出一個具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)f(x)=．①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②當x∈(0,+∞)時，f′(x)>0；③f′(x)是奇函數(shù)．

可見新高考下，出卷人越來越注重考查學(xué)生依據(jù)函數(shù)性質(zhì)來構(gòu)造函數(shù)的能力，其背后考查的是學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新性能力．

5 結(jié)束語

2022年高考學(xué)生普遍反映新高考數(shù)學(xué)I卷難度較高，凸顯出學(xué)生對新高考考試方位和命題思路的不適應(yīng)，反映出教考銜接環(huán)節(jié)的不匹配性．新高考下，高考試題更注重對思維品質(zhì)的考查，強調(diào)獨立思考和創(chuàng)新意識；更加注重對關(guān)鍵能力的考查，強調(diào)發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的選拔功能．以往一味的題海戰(zhàn)術(shù)已然失效，在知識生成過程中，教師應(yīng)留給學(xué)生足夠的自由思考空間，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性與創(chuàng)新性．在解題教學(xué)過程中，教師應(yīng)注重數(shù)學(xué)學(xué)科的本性原法，促使學(xué)生將知識和方法內(nèi)化為自身的知識結(jié)構(gòu)，以此才能促使學(xué)生在高考考場上，規(guī)避“俗手”，下穩(wěn)“本手”，巧施“妙手”．