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    淺析幾道競賽特色小題

    2022-11-17 07:24:47林運來
    數(shù)理天地(初中版) 2022年21期
    關鍵詞:解題能力競賽

    林運來

    【摘要】 本文對幾道有顯著特色的數(shù)學競賽小題給予解答、評析,旨在激發(fā)學生學習興趣,提高學生解題能力.

    【關鍵詞】 競賽;特色小題;解題能力

    例1 已知實數(shù)x,y滿足26x3y3x6-27y6=1,且x2≠y2,則x2+y2x2-y2的值為(? )

    (A)54.(B)45.(C)12.(D) 2.

    解 由26x3y3x6-27y6=1,得

    x6-26x3y3-27y6=0,

    所以(x3-y3)(x3-27y3)=0,

    又因為x2≠y2,

    所以x3≠y3,

    于是x3=27y3,

    所以x=3y,

    所以x2+y2x2-y2=(3y)2+y2(3y2)-y2=54.

    應選(A).

    注 此題注重對學生恒等變換能力的考查.因式分解是一種重要的恒等變換手段,對學生數(shù)學學習非常有用.當然,借助特殊與一般的思想,也可以令y=1,再根據(jù)已知條件求出x的值,再代入計算.

    例2 將形如3m和2n(m,n為正整數(shù))的正整數(shù)從小到大排列,并依次記為a1,a2,a3,…,若第k個數(shù)ak=2022,則k的值為(? )

    (A)682.??? (B)683.

    (C)684.(D)685.

    解 易知對任意的正整數(shù)m,n,都有3m≠2n.

    現(xiàn)將形如3m(m為正整數(shù))的正整數(shù)按從小到大的順序排列,

    由于2022=3×674,

    所以2022是其中的第674個數(shù).

    又因為210=1024,211=2048,

    所以從1到2022之間有10個形如2n(n為正整數(shù))的正整數(shù).

    所以k=674+10=684.

    應選(C).

    注 計數(shù)問題是數(shù)學競賽中??嫉膯栴}.本題求解的關鍵是發(fā)現(xiàn)“對任意的正整數(shù)m和n,3m和2n不可能相等”這一規(guī)律,于是先對兩組數(shù)分類計數(shù),再結合加法原理求k.

    例3 已知正整數(shù)a,b,c,d滿足a<b<c<d,a+b+c+d=2022,d2-c2+b2-a2=2022,則這樣的4元數(shù)組(a,b,c,d)共有(? )組.

    (A)251.??? (B)252.

    (C)502.(D)504.

    解 因為a,b,c,d是正整數(shù),

    且a<b<c<d,

    所以a+3≤b+2≤c+1≤d,

    所以2022=d2-c2+b2-a2

    =(d-c)(d+c)+(b-a)(b+a)

    ≥(d+c)+(b+a)

    =2022.

    因此d-c=1,b-a=1,

    即d=c+1,b=a+1.

    故a+b+c+d=a+(a+1)+c+(c+1)=2022,

    所以a+c=1010.

    因為a+2≤c,

    所以1010=a+c≥a+(a+2),

    又因為a是正整數(shù),

    所以1≤a≤504.

    因為(a,b,c,d)=(a,a+1,1010-a,1011-a),

    所以符合條件的4元數(shù)組(a,b,c,d)共有504組.

    應選(D).

    注 本題的求解利用到整數(shù)的一個常用性質:若a,b,為整數(shù),且a<b,則a+1≤b.

    例4 已知實數(shù)a,b,c滿足abc=1,a+1b=3,b+1c=17,則c+1a=.

    解 因為abc=1,

    所以b=1ac,1b=ac,

    由已知得3=a+1b=a+ac,

    即ac=3-a.

    又因為b+1c=1ac+1c=1+aac=17,

    則1+a3-a=17,

    解得a=259.

    由此可得c=225,

    所以c+1a=225+925=1125.

    注 這種解法只用到最樸素的消元思想(先消去b,再利用恒等變換消去c,于是可以求解得出a的值,達到“各個擊破”的效果),進而輕松得到答案.

    例5 若素數(shù)p使得4p2+p+81是一個完全平方數(shù),則p=.

    解 若p=2,則4p2+p+81=97不是完全平方數(shù).于是p為奇數(shù),4p2+p+81是偶數(shù).不妨設4p2+p+81=(2m)2,其中m是正整數(shù).

    因為(2m)2=4p2+p+81>(2p)2,

    所以m>p,

    所以m≥p+1.

    所以4p2+p+81=(2m)2≥[2(p+1)]2,

    解得p≤11.

    將p=3,5,7,11分別代入4p2+p+81驗算可知只有p=11符合題意,此時

    4p2+p+81=576=242.

    因此p=11.

    注 通過利用整數(shù)的性質“若a,b為整數(shù),且a<b,則a+1≤b”對所列等式的一邊進行“放縮”,通過“不等”駕馭“相等”,縮小p的取值范圍,再逐一驗算,求得最終結果.

    例6 同余數(shù)是一個三邊均為有理數(shù)的直角三角形的面積,即如果存在三個正有理數(shù)a,b,c,使得a2+b2=c2,且12ab=n,則稱n為同余數(shù).如果正整數(shù)n為同余數(shù),則稱n為整同余數(shù).例如,由于5是三邊長分為32,203,416的直角三角形的面積,6是三邊長分別為3,4,5的直角三角形的面積,7是三邊長分別為17560,28860,33760的直角三角形的面積,所以5,6,7都是同余數(shù),且是整同余數(shù).

    如何判斷一個正整數(shù)是否為同余數(shù)至今尚未完全解決.關于同余數(shù)的第一個重要結論是費馬(Fermat)在17世紀證明的1不是同余數(shù).

    在a2+b2=c2,12ab=n中,令x=n(a+c)b,y=2n2(a+c)b2,可得y2=x3-n2x.因此,若正整數(shù)n是同余數(shù),則二元三次不定方程y2=x3-n2x有有理數(shù)解;若正整數(shù)n使得二元三次不定方程y2=x3-n2x有有理數(shù)解,則n是同余數(shù).這樣,古老的同余數(shù)問題與現(xiàn)代的橢圓曲線上的有理點(橫、縱坐標均為有理數(shù)的點)之間建立了聯(lián)系.

    閱讀上述材料,請你寫出橢圓曲線y2=x3-202x(其中xy≠0)上的一個有理點坐標(x,y)=.

    解 類比y2=x3-n2x ,在y2=x3-202x中,可知n=20.

    因為5是同余數(shù),且5是三邊長分為32,203,416的直角三角形的面積,而20=5×4=5×22,所以20可以看成是三邊長分為32×2,203×2,416×2的直角三角形的面積.

    于是a=32×2=3,

    b=203×2=403,

    c=416×2=413,

    n=20.

    將上述數(shù)據(jù)代入x=n(a+c)b,y=2n2(a+c)b2,可得x=25,y=75.

    于是(25,75)是橢圓曲線y2=x3-202x(其中xy≠0)上的一個有理點.

    注 本題是一道閱讀理解型問題,要求考生讀懂所給材料并揭示“同余數(shù)”這一概念的內(nèi)涵,考查考生對新知識的學習和理解能力,重點考查學生在閱讀理解的基礎上運用新知識解決問題的能力.題設條件滲透數(shù)學文化,有助于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,激勵學生積極投入到數(shù)學探究活動中.當然,此題在立意方面具有創(chuàng)新性,解法具有探索性,結論具有多元性,如,可以填(-16,48),(180,2400)等.因此,本題是一道優(yōu)秀的考題.

    例7 已知a>0,拋物線y=ax2+bx+c與直線y=ax+c及y=cx+a中的每一條都至多有一個公共點,則ca的最大值為.

    解 聯(lián)立y=ax2+bx+c,y=ax+c,

    消去y,整理得

    ax2+(b-a)x=0,

    解得x1=0,x2=a-ba.

    由題設條件可知 a=b.

    聯(lián)立y=ax2+bx+c,y=cx+a,結合a=b,

    消去y,整理得

    ax2+(a-c)x+c-a=0.

    由已知得Δ=(a-c)2-4a(c-a)≤0,

    即5a2-6ac+c2≤0.

    又因為a>0,

    所以ca2-6·ca+5≤0,

    解得1≤ca≤5.

    經(jīng)檢驗,ca=5符合題意,所以ca的最大值為5.

    注 要求ca的最大值,考慮消去變量b,同時將已知條件“拋物線與直線至多有一個公共點”等價轉化為“一元二次方程至多有一個實數(shù)根”,進而建立關于a,c的不等式求解,體現(xiàn)了轉化與化歸的解題思想,值得認真體會.

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