用整體法解二元一次方程組

周雪

【摘要】 二元一次方程組是初中數(shù)學(xué)中最重要的知識(shí)點(diǎn)之一，解二元一次方程組一般采用代入消元法和加減消元法等常規(guī)方法.但對(duì)于某些特殊系數(shù)結(jié)構(gòu)的二元一次方程組時(shí)，可運(yùn)用整體的方法解決問題，相比代入消元法和加減消元法解題更方便.本文將通過例題和練習(xí)說明整體法解決二元一次方程的巧妙之處.

【關(guān)鍵詞】 二元一次方程組；整體法；運(yùn)算

例1 解方程組

3x-2y=1，3x+y=7.①②

分析 方程①和②中x的系數(shù)都是3，可把3x當(dāng)作整體進(jìn)行運(yùn)算.

解 由方程①得 3x=1+2y，③

將③代入②，得1+2y+y=7，④

解得y=2.

把y=2代入①，得 x=53.

所以，方程組的解為x=53，y=2.

例2 解方程組

x-2=2（y-1），2（x-2）+y-1=5.①②

分析1 方程①和②中都含有x-2，把它看作一個(gè)整體進(jìn)行運(yùn)算.

解 把①代入②，得

4（y-1）+y-1=5，

解得y=2.

把y=2代入①，得x=4.

所以，方程組的解為x=4，y=2.

分析2 方程①和②中都含有x-2和y-1，可把它們分別看成一個(gè)整體進(jìn)行求解.

解 整理得（x-2）-2（y-1）=0，2（x-2）+（y-1）=5.③④

③×2-④，得

2（x-2）-2（x-2）-（y-1）=4（y-1）-5，

解得y=2.

把y=2代入①，得x=4.

所以，方程組的解為x=4，y=2.

例3 解方程組

2022x+2023y=2022，2023x+2022y=2023.①②

分析 方程組中未知數(shù)x和y的系數(shù)較大，觀察發(fā)現(xiàn)方程①和②未知數(shù)x和y的系數(shù)和同為4045，可運(yùn)用整體的方法求解.

解 ①+②，得 4045x+4045y=4045，

x+y=1，③

②-③×2022，得x=1.

把x=1代入①，得y=0.

所以，方程組的解為x=1，y=0.

例4 若方程組2x+y=1+3a，x+2y=1-a.①②的解互為相反數(shù)，求a的值.

解 方程①中未知數(shù)x，y的系數(shù)分別為2，1，方程②中未知數(shù)x，y的系數(shù)分別為1，2，相同未知數(shù)的和同為3，可以運(yùn)用整體的方法解決.

解 ①+②，得 3x+3y=2a+2，

3（x+y）=2a+2.③

由題知x+y=0，代入③，得a=-1.

例5 解方程組

a+2b=1，2a+7b=6.①②

分析 方程②中的7b可拆成4b+3b，把2a+4b看作一個(gè)整體，是方程①中a+2b的2倍關(guān)系，運(yùn)用整體的方法解決問題.

解 方程②可變形為 2a+4b+3b=6，

即2（a+2b）+3b=6，③

將①代入③，得b=43.

把b=43代入①，得a=-53.

所以，方程組的解為a=-53，b=43.

例6 已知關(guān)于x，y的二元一次方程組a1x+b1y=c1，a2x+b2y=c2.的解為x=4，y=6.則方程組4a1x+3b1y=5c1，4a2x+3b2y=5c2.的解為（? ）

（A）x=4，y=6.??? （B）x=5，y=10.

（C）x=6，y=4.（D）x=-2，y=-3.

分析 整理方程組可發(fā)現(xiàn)形式上的相同點(diǎn)，自然應(yīng)用整體法解決問題.

解 整理方程組得

a145x+b135y=c1，

a245x+b235y=c2.

所以45x=4，35y=6.

所以方程組的解為x=5，y=10.

練習(xí)

1.解方程組：

（1）x-2y=1，3x-7y=5.

（2）3x+y=1，x+3y=3.

（3）2（x+2）-3（y-1）=13，3（x+2）+5（y-1）=10.

2.解方程組：x+y2+x-y3=7，3（x+y）2+x-y3=17.

答案

1.（1）x=-3，y=-2.（2）x=0，y=1.（3）x=3，y=0.

2.x=8，y=2.