基于MATLAB的珠子動(dòng)力學(xué)分析

張漢松,左佳玉,呂 東,高兆輝

(大連海洋大學(xué) 1.食品科學(xué)與工程學(xué)院；2.信息工程學(xué)院；3.海洋科技與環(huán)境學(xué)院,遼寧 大連 116023)

牛頓第二定律是在慣性參考系下研究物體運(yùn)動(dòng)的變化情況，所謂慣性參考系是指相對(duì)于慣性系靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)的參考系。而非慣性參考系是指相對(duì)于慣性系做變速直線運(yùn)動(dòng)或曲線運(yùn)動(dòng)的參考系[1]。在非慣性系中引入慣性力后，牛頓運(yùn)動(dòng)定律的分析方式便可適用于非慣性系動(dòng)力學(xué)分析，就可用來探討非慣性系中物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律[2,3]。當(dāng)珠子處于旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)內(nèi)，相對(duì)地面慣性系做加速運(yùn)動(dòng)，珠子的運(yùn)動(dòng)情況屬于非慣性系動(dòng)力學(xué)分析。由于旋轉(zhuǎn)體系中珠子運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性，牛頓第二定律已不再適用，目前還不存在能夠廣泛適用的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析模型，因而很難討論影響珠子運(yùn)動(dòng)的參數(shù)。MATLAB 軟件具有強(qiáng)大的計(jì)算和可視化功能，可以較為精確地模擬實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，可避開復(fù)雜的理論推導(dǎo)以及條件苛刻的實(shí)驗(yàn)測量，使復(fù)雜、抽象的現(xiàn)象變得具體、直觀。目前，利用MATLAB 軟件對(duì)大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)進(jìn)行模擬仿真主要集中在光學(xué)實(shí)驗(yàn)[4-8]、聲學(xué)實(shí)驗(yàn)[9]以及電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)[10]等，對(duì)力學(xué)以及物體運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)的模擬還比較少[11]。本文通過MATLAB仿真軟件，首先模擬了理想狀態(tài)與有摩擦力狀態(tài)下，珠子角速度變化，得到了珠子臨界角速度的條件，然后討論了圓環(huán)半徑、圓環(huán)轉(zhuǎn)速、摩擦系數(shù)對(duì)珠子運(yùn)動(dòng)情況的影響。

1 基本原理及理論分析

1.1 科氏力

科里奧利力有些地方也稱作哥里奧利力，簡稱為科氏力[12]，是對(duì)旋轉(zhuǎn)體系中進(jìn)行直線運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)由于慣性相對(duì)于旋轉(zhuǎn)體系產(chǎn)生的直線運(yùn)動(dòng)的偏移的一種描述?？评飱W利力來自于物體運(yùn)動(dòng)所具有的慣性?？评飱W利力的計(jì)算公式如下：

(1)

1.2 歐拉法

歐拉法是常微分方程的數(shù)值解法的一種，其基本思想是迭代[13]。其中分為前進(jìn)的EULER法、后退的EULER法、改進(jìn)的EULER法。所謂迭代，就是逐次替代，最后求出所要求的解，并達(dá)到一定的精度，誤差可以很容易地計(jì)算出來。

(2)

式(2)中的未知量yn+1可用歐拉公式預(yù)測計(jì)算，公式如下：

(3)

這就是改進(jìn)的歐拉法。關(guān)于改進(jìn)歐拉法的精度計(jì)算，利用半步長的泰勒級(jí)數(shù)展開式，由y″(xn+1)=y″(xn+h)=y″(xn)+hy?(η)

(4)

比較上述式(3)和式(4)后，利用yn=y(xn)得到改進(jìn)歐拉法的精度計(jì)算公式：

(5)

1.3 拉格朗日方程

對(duì)于完整系統(tǒng)用廣義坐標(biāo)表示的動(dòng)力方程，通常是指第二類拉格朗日方程，是法國數(shù)學(xué)家J.-L.拉格朗日首先導(dǎo)出的。通常可寫成：

(6)

式(6)中T為系統(tǒng)用各廣義坐標(biāo)qj和各廣義速度q′j所表示的動(dòng)能；qj為對(duì)應(yīng)于qj的廣義力；N(N=3n-k)為這完整系統(tǒng)的自由度；n為系統(tǒng)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)；k為完整約束方程個(gè)數(shù)。

1.4 動(dòng)力學(xué)分析

圖1為珠子的運(yùn)動(dòng)示意圖。圓環(huán)繞著垂直于直徑的軸旋轉(zhuǎn)，珠子處于旋轉(zhuǎn)的圓環(huán)內(nèi)，讓小珠子在環(huán)內(nèi)凹槽中滾動(dòng)。對(duì)珠子的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，分珠子和圓環(huán)之間無摩擦力和有摩擦力兩種情況考慮，討論珠子(用角度來描述)在環(huán)上凹槽中的運(yùn)動(dòng)情況。

圖1 珠子的運(yùn)動(dòng)示意圖

以圓環(huán)為參考系，珠子受到支持力、重力、摩擦力和離心力。在旋轉(zhuǎn)環(huán)的內(nèi)側(cè)，為了便于比較，首先得到點(diǎn)狀珠子的運(yùn)動(dòng)。這種處理包括非垂直旋轉(zhuǎn)軸的情況，這會(huì)引起一些以前沒有發(fā)現(xiàn)的共振現(xiàn)象。由拉格朗日方程得到以下方程組[14]：

(7)

式(7)中，T是動(dòng)能，m是珠子的質(zhì)量，R是圓環(huán)半徑，r是珠子半徑，ω是圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，g是重力加速度，θ是珠子的位置，F(xiàn)N是珠子受到的支持力，K是珠子受到的科式力，f是珠子受到的摩擦力。

2 仿真研究與分析

2.1 無摩擦力珠子的運(yùn)動(dòng)情況

首先考慮理想情況，珠子和圓環(huán)之間無摩擦力，即摩擦系數(shù)μ為0。此時(shí)有如下方程：

(8)

式(8)中，ω是圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，R是圓環(huán)半徑，g是重力加速度，θ是珠子的位置。

用MATLAB進(jìn)行虛擬仿真，用歐拉法進(jìn)行迭代計(jì)算珠子的軌跡，給定角速度(ω=80，μ=0)得到珠子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，如圖2所示。

時(shí)間/s

2.2 有摩擦力珠子的運(yùn)動(dòng)情況

探索火星有限公司的首席執(zhí)行官克里斯·卡伯里（Chris Carberry）正在努力琢磨，如何能讓“瘋子”和“火星人”一起通力合作，因?yàn)閱螁文囊慌啥疾粫?huì)有任何前途。也許我們能成功地選擇去往月球——再去往火星?！拔覀冋趯ふ疫_(dá)成那一目標(biāo)的方式，它不會(huì)將人類登陸火星一事耽擱上數(shù)十年之久。”他說道。除了研發(fā)協(xié)作，或許商業(yè)公司可以奔著登月目標(biāo)而去，政府則聚焦于登陸火星的任務(wù)。

(9)

式(9)中，μ是摩擦系數(shù)，F(xiàn)N是珠子受到的支持力，K是珠子受到的科式力，f是珠子受到的摩擦力。

同樣采用MATLAB模擬仿真，得到珠子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖3所示。

時(shí)間/s

由圖3可知，珠子的運(yùn)動(dòng)為阻尼振動(dòng)，最后在平衡位置附近停止。由于摩擦力的關(guān)系，珠子最終不會(huì)恰好停在平衡位置。如果忽略摩擦力，平衡位置比實(shí)際位置要高，當(dāng)存在摩擦力時(shí)，雖然也會(huì)在某一位置停止運(yùn)動(dòng)，但是會(huì)低于無摩擦力情況下的位置高度。

2.3 無摩擦力時(shí)，角速度ω對(duì)珠子位置的影響

因?yàn)橹樽釉趫A環(huán)中為滾動(dòng)摩擦，所以摩擦系數(shù)可以設(shè)置的很小μ=0.1或者暫時(shí)忽略不計(jì)。當(dāng)摩擦系數(shù)μ為0時(shí)，通過改變圓環(huán)不同轉(zhuǎn)速，起初設(shè)定角速度ω很小，達(dá)不到珠子的轉(zhuǎn)動(dòng)臨界速度，珠子一直在圓環(huán)底部。當(dāng)圓環(huán)轉(zhuǎn)速大于等于臨界角速度時(shí)珠子會(huì)沿圓環(huán)滾動(dòng)，不同的角速度珠子達(dá)到的最大高度不同，上升到最大高度的時(shí)間也不同。研究不同角速度ω下珠子運(yùn)行一個(gè)周期(小球從圓環(huán)最低點(diǎn)到最大高度再到圓環(huán)最低點(diǎn))所需要的時(shí)間，即珠子的角度隨時(shí)間的變化曲線。用MATLAB進(jìn)行模擬仿真，結(jié)果如圖4所示。

時(shí)間/s

由圖4可知，隨著角速度的增大珠子停滯的最大角度在隨之變大，而且珠子完成一個(gè)周期所需要的時(shí)間在隨之變短。當(dāng)角速度達(dá)到一定值時(shí)，珠子的最大停滯位置就不會(huì)再發(fā)生變化或者說是變化極小。

由圖5可知，摩擦系數(shù)μ和圓環(huán)半徑R一定時(shí)，圓環(huán)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω越大，珠子運(yùn)動(dòng)的最大角度位置越大。當(dāng)角速度達(dá)到一定值時(shí)，珠子的最大停滯位置不再發(fā)生變化或者變化極小。

角速度/rpm

2.4 摩擦因數(shù)μ對(duì)珠子運(yùn)動(dòng)的影響

運(yùn)用控制變量法，假設(shè)摩擦因數(shù)μ對(duì)珠子的轉(zhuǎn)動(dòng)有影響，而圓環(huán)材質(zhì)的改變對(duì)摩擦因數(shù)的影響微乎其微，通過MATLAB進(jìn)行模擬仿真，主要通過改變摩擦因數(shù)的大小來分析摩擦因數(shù)對(duì)珠子在圓環(huán)上運(yùn)動(dòng)的影響，仿真結(jié)果如圖6所示。

摩擦系數(shù)μ

由圖6可知，隨著摩擦因數(shù)的改變，珠子轉(zhuǎn)動(dòng)所需的臨界角速度ω0也會(huì)增大。這是由于摩擦系數(shù)的增大，珠子轉(zhuǎn)動(dòng)所需要的向心力更大，那么就需要更大的角速度。所以，隨著摩擦系數(shù)的增大，臨界角速度也在增大。

2.5 圓環(huán)半徑R對(duì)珠子運(yùn)動(dòng)的影響

3 結(jié) 語

基于上述分析，采用MATLAB軟件仿真對(duì)珠子的動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了分析。結(jié)果表明，圓環(huán)旋轉(zhuǎn)角速度決定珠子最終的平衡位置，珠子初始位置θ和摩擦系數(shù)μ決定珠子開始運(yùn)動(dòng)的臨界角速度ω0，當(dāng)圓環(huán)角速度ω大于臨界角速度ω0時(shí)，珠子開始運(yùn)動(dòng)，最終停在平衡位置。珠子的運(yùn)動(dòng)過程類似阻尼振動(dòng)，珠子到達(dá)的最大角度位置和圓環(huán)角速度ω、摩擦系數(shù)μ和圓環(huán)半徑R有關(guān)，μ、R一定時(shí)，ω越大，珠子運(yùn)動(dòng)的最大角度位置越大；ω、R一定時(shí)，μ越大，珠子運(yùn)動(dòng)的最大角度位置越小；ω、μ一定時(shí)，R越大，珠子運(yùn)動(dòng)的最大角度位置越小。特征時(shí)間與角速度ω及摩擦系數(shù)μ有關(guān)，摩擦系數(shù)μ一定時(shí)，角速度ω越大，特征時(shí)間越?。唤撬俣圈匾欢〞r(shí)，摩擦系數(shù)μ越大，特征時(shí)間越大。