滴水法測重力加速度的實驗研究

張 璐，方路線，許賢武，朱倩龍

(武漢工程大學郵電與信息工程學院，湖北 武漢 430073)

1 背景簡介

重力加速度是物理學中一個很重要的常數,在物理實驗中測量重力加速度是一個非常重要的實驗,方法有數十種之多。從理論上講,只要在某個物理過程中涉及到重力加速度,都可以通過與這個過程有關的物理實驗來測量,常用的測量方法如二力平衡法,自由落體法,單擺法,導軌法等。

圖1 傳統(tǒng)滴水法實驗裝置圖

通過傳統(tǒng)的方法，課題組測量出來的重力加速度誤差較大，其主要原因有：空氣阻力的影響；水龍頭的閥門不能精確控制流速；聽到第一滴水聲的同時必須能看到第二滴水剛剛滴出時開始計時，這不僅要動手能力強，而且要有很強的觀察能力和反應能力；除此之外，水龍頭位置固定也給實驗的開展帶來了一定的空間局限性。為此，課題組綜合多方面的原因，對實驗裝置進行了改進。

2 實驗目的

1．對滴水法測重力加速度的實驗設計方案進行創(chuàng)新；

2．利用螺旋測微器的細微調節(jié)實現了水滴流速的細微調節(jié)；

3．利用手機連拍功能和音頻處理軟件goldwave實現對距離和時間的精確測量；

4．提高重力加速度的測量精度。

3 儀器的改進與創(chuàng)新

3.1 水龍頭位置高度的局限性

傳統(tǒng)的滴水法測重力加速度用水龍頭作為水源，但是水龍頭位置固定給開展實驗帶來了一定的空間局限性。為此課題組將水龍頭改為滴瓶，使得實驗更易于操作。但在實驗期間，發(fā)現滴瓶是個封閉的容器，在水滴滴落的過程中，瓶內由于液面下降，壓強減小，導致水滴滴速不均勻的問題。于是，課題組又將其進行改進，最終將一個充滿水的滴瓶瓶口倒置于下面一個滴瓶的液面上方，形成一套自動給水裝置。使得下瓶在滴水，液面下降的同時，上瓶不斷補水，從而使得下瓶始終保持同一液面高度，不會對水滴滴速產生影響，成功的解決了水滴滴速不均勻的問題。圖2展示了在此過程的改進歷程。

圖2 儀器歷程改進(一)

3.2 調節(jié)控制水滴滴速的問題

傳統(tǒng)的水龍頭和輸液裝置的限流器都不好精確控制水滴滴速的問題，為此決定，利用雙閥控制整體水滴滴速。滴管先經過一個粗調閥門，來粗略的調節(jié)水滴流速，臨近出口的滴管再經由螺旋測微器來夾住滴管口，對水流進行細微的調節(jié)。螺旋測微器是一個精確測量細微長度的儀器，將螺旋測微器夾住管口，用螺旋測微器的細微調節(jié)實現水滴流速的細微調節(jié)。采用限流器和螺旋測微器雙重限流，能夠更好的起到調節(jié)水滴的滴速。圖3展示了在此過程的改進歷程。

圖3 儀器歷程改進(二)

3．3 對于第一滴水滴落到擋板上的同時，第二滴水剛好滴出的判定問題

為了保證水滴滴出的滴速，能正好符合上一滴的水滴滴落的同時，下一滴水滴剛好滴出的結果。調節(jié)雙閥，通過手機高速連拍記錄來實現，直到周期性的拍到幾張上一滴水即將完全脫離軟管，下一滴水剛好滴到鐵片上的照片，如圖4所示，此狀態(tài)即為調節(jié)的最佳水流狀態(tài)。

圖4 上一滴水滴落的同時下一滴水剛好滴出

3.4 秒表精確度的問題

人聽到聲音再去按秒表，有個反應時間，造成結果不準確。對此利用goldwave電腦軟件分析實驗數據，該軟件能反映音頻波形圖，波峰最高點為水滴剛好滴落的聲音，分析音頻，得出水滴時間間隔，即可求重力加速度。圖5即為用goldwave顯示的音頻信號讀取時間。

圖5 goldwave顯示音頻信號讀取時間

4 實驗裝置與步驟

4.1 實驗裝置

由以上分析，搭建了實驗裝置，如圖6所示。

圖6 實驗裝置示意圖

實驗裝置最上面是由兩個相接的滴瓶做成的一個自動給水裝置，該裝置使得下面滴瓶里的水始終在一個高度，進而保證了水滴滴落的周期性。中間是雙閥限流裝置，通過吸附在鋼直尺上的開關式磁鐵調節(jié)水滴滴落的高度。實驗的所有儀器都固定在一根長為兩米的鋼直尺上，自動給水裝置掛在鋼直尺的頂端，連接螺旋測微器的開關式磁鐵可以吸附在鋼直尺上，使用水平儀來保證鋼直尺水平垂直于地面，將鋼直尺固定在一個三腳架旁，并在整個鋼直尺的底部，放置一片薄鐵片，鐵片的作用是讓水滴滴落時發(fā)出較清脆聲音，便于收集聲音信號。

4.2 實驗步驟

(1)高度的測量：打開所有閥門，通過調節(jié)閥門，讓水滴呈逐滴滴落的狀態(tài)，利用手機的高速快門水平拍攝，在所拍攝照片里尋找一張水滴即將完全脫離軟管的照片，通過照片內的鋼直尺，讀出水滴最低點與鋼板之間的高度h。

(2)確保上一滴水滴至擋板的同時，下一滴水恰好脫離軟管的狀態(tài)。具體操作是：利用螺旋測微器進行精細調節(jié)來控制流速，通過手機高速連拍來記錄，直到周期性的拍到幾張上一滴水即將完全脫離軟管，下一滴水剛好滴到擋板上的照片，此狀態(tài)即為調節(jié)的最佳水流狀態(tài)。

(3)聲音的測量：打開手機的錄音軟件，將手機靠近水滴滴落在擋板的中心邊緣，錄制一段時長為2分鐘左右的音頻，期間須保持周圍室內完全安靜。將錄制好的的音頻導入到電腦軟件goldwave中。該軟件是一款音頻處理軟件，其能反映音頻波形圖，波峰最高點為水滴剛好滴落時的聲音，那么兩個波峰之間的時間間隔即為水滴下落的時間，為減小誤差，重復測量6次，而且每次錄制50滴水的時間。

(4)不同高度測量：改變高度，重復以上過程。

5 實驗數據與不確定度計算

5.1 實驗數據

見表1和表2。

表1 數據表格(h=1.0 m附近)

表2 數據表格(h=1.5 m附近)

5.2 不確定度計算

自由落體運動是初速度為零、加速度為g的勻加速直線運動，其運動方程為

式中t表示水滴下落時間，h表示t時間內水滴下落的高度。因此，只需要測量出下落時間t和在t時間內下落的高度h，即可計算出重力加速度g

(1)

對上式取對數，即

lng=ln(2h)-ln(t2)

(2)

可得g的不確定度傳遞公式為

(3)

(4)

當置信概率p為0.683，測量次數n為6時，t因子為1.11，則h的A類不確定度為

(5)

所用的毫米尺測量物體的長度時，其B類不確定度為

uhB=0.5 mm

h合成不確定度為

(6)

當置信概率p為0.683，測量次數n為6時，t因子為1.11，則t的A類不確定度為

(7)

由于時間t是通過電腦軟件goldwave給出的，此處暫不考慮B類不確定度。

t合成不確定度為：

uT=utA

(8)

將表1和表2中數據帶入以上不確定度公式，可得出g的測量結果為

1.0 m附近：g=(9.7798±0.001 8)m/s2

1.5 m附近：g=(9.7733±0.003 5)m/s2

6 實驗結果分析與修正

6.1 結果分析

本實驗測量結果(以1.0 m附近為例)與武漢當地重力加速度標準值9.793 601 m/s2比較結果偏小，相對偏差為0.14%，其原因有：

(1)空氣阻力的影響；

(2)水滴有一定的形狀，造成高度測量的不夠精確；

6.2 結果修正

考慮到空氣阻力的影響，是誤差的主要來源，課題組查閱相關資料，對其結果進行修正。

基于彈道理論，無風情況下單個水滴運動方程可表示為[2,3]：

(9)

(10)

式中：x為水平方向分量；z為豎直方向分量；D為水滴直徑；Cd為阻力系數；ρa，ρw空氣密度和水滴密度；v為水滴運動的速度；g為重力加速度。

由于本實驗水滴的運動為豎直方向上的自由落體運動，因此，對于水滴的運動方程只考慮z方向的運動，即為：

(11)

上式中等式右邊第一項即為由于空氣阻力引起的g的修正項。即：

(12)

上式中，

ρa=1.293 kg/m3,ρw=103kg/m3,Cd=0.01,D=4.0 mm,vz=2.211 67 m/s

根據以上數據，可得

Δg修正=0.011 858 7 m/s2

修正之后的結果(1.0 m附近)可表示為：

g=(9.791 7±0.001 8)m/s2

經修正之后得到的重力加速度與武漢當地的重力加速度相比誤差較小，相對偏差為0.019%，測量精度較高。

7 創(chuàng)新點總結

1.自制了自動給水裝置，使得實驗開展不受空間的局限性，同時解決了流速不均的問題。

2.充分利用身邊的實驗儀器，學以致用。用螺旋測微器的細微調節(jié)實現水滴流速的細微調節(jié)。達到了調節(jié)控制流速的目的。

3.智能手機、電腦軟件與物理實驗相結合，不僅在一定程度上簡化和優(yōu)化了實驗過程，提高了實驗結果的精確度，同時還能激發(fā)學生興趣。

4.實驗設計方案為原創(chuàng)。

8 應用前景

本實驗思路清晰，所需的實驗器材簡單易得、成本低，步驟簡潔，操作性強，特別是智能手機、電腦軟件與物理實驗教學相結合，不僅在一定程度是那個優(yōu)化了實驗過程，提高了實驗精度，同時對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力有一定的促進作用。該方法是一個可以在教學過程中實施測量重力加速的新方法。

此項目可適用于各個大中學物理實驗室、疫情防控常態(tài)下的居家實驗。另外，在那些偏遠地區(qū)，經濟沒有那么發(fā)達，實驗條件不允許，就可以采用這種實驗方法來進行教學演示，提高學生們的動手能力，給偏遠地區(qū)的教學帶來了一定的優(yōu)越性。