考慮側(cè)窗約束的模型預(yù)測靜態(tài)規(guī)劃末制導(dǎo)方法

權(quán)申明，晁 濤，張登輝,3，楊 明

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院控制與仿真中心，哈爾濱 150080；2. 上海機電工程研究所，上海 201109；3. 沈陽飛機設(shè)計研究所，沈陽 110031)

0 引 言

助推滑翔飛行器末段一般通過尋的導(dǎo)引方式實現(xiàn)精確制導(dǎo)。受實際物理系統(tǒng)約束，末制導(dǎo)階段存在多種約束，如落角[1-2]、落速[3]等[4]。在助推滑翔飛行器的整個俯沖段，通過導(dǎo)引頭探測目標(biāo)信息，因此目標(biāo)應(yīng)始終位于導(dǎo)引頭視場范圍內(nèi)。對于紅外導(dǎo)引頭，嚴(yán)重的氣動加熱導(dǎo)致其探測性能降低，因此將其安裝在頭部的側(cè)面或下方。為滿足視場約束，彈目相對位置與姿態(tài)需要滿足特定的約束條件。

為了保證飛行器結(jié)構(gòu)安全、姿態(tài)穩(wěn)定，最終完成飛行任務(wù)，制導(dǎo)系統(tǒng)需要綜合考慮飛行過程中的各種實際約束[5]。對于側(cè)滑轉(zhuǎn)彎(Skid-to-turn, STT)飛行器，過載約束可以轉(zhuǎn)化為攻角和側(cè)滑角約束。針對帶側(cè)窗探測導(dǎo)引頭的飛行器，為避免氣動加熱對飛行器性能的影響，其攻角和側(cè)滑角需要考慮實際約束條件。同時，執(zhí)行機構(gòu)由于幅值和速率等物理限制，如果在制導(dǎo)控制系統(tǒng)設(shè)計中沒有考慮這些因素，則飛行器在實際飛行過程中可能會出現(xiàn)彈體失穩(wěn)等嚴(yán)重后果，最終導(dǎo)致任務(wù)失敗?；谏鲜龇治觯_展綜合考慮攻角、側(cè)滑角幅值及速率約束的帶側(cè)窗約束末制導(dǎo)研究，具有較強的工程意義。

文獻[6-7]針對捷聯(lián)導(dǎo)引頭受限問題，基于對稱障礙李雅普諾夫函數(shù)進行了制導(dǎo)控制一體化末制導(dǎo)律設(shè)計，捷聯(lián)探測中視場約束是對稱的，結(jié)合對稱障礙李雅普諾夫函數(shù)方法可以取得較好的控制效果。紅外導(dǎo)引頭采用側(cè)窗探測，文獻[8-10]嘗試通過優(yōu)化方法與制導(dǎo)律解決非對稱側(cè)窗約束問題。

目前，考慮導(dǎo)引頭側(cè)窗約束的工作主要在縱向平面內(nèi)進行制導(dǎo)律設(shè)計：通過假設(shè)攻角近似為零，將速度方向和彈目視線之間的夾角近似替代視場角，在模型建立與制導(dǎo)律設(shè)計中進行簡化。對于末段依靠氣動力實現(xiàn)精確制導(dǎo)的飛行器而言，以上假設(shè)難以成立，現(xiàn)有制導(dǎo)算法無法保證飛行器快速俯沖過程中始終滿足側(cè)窗視場約束。

自模型預(yù)測靜態(tài)規(guī)劃(Model predictive static programming, MPSP)由Padhi等[11]提出以來，在航天器制導(dǎo)控制[12-14]、軟著陸[15]、軌跡跟蹤[16]、再入制導(dǎo)[17-20]、末制導(dǎo)等方面有較多研究，在計算效率和制導(dǎo)精度上具有一定優(yōu)勢。后續(xù)研究中，過程中輸入與狀態(tài)約束逐漸引起關(guān)注[21-23]。文獻[24]基于優(yōu)化模型預(yù)測靜態(tài)規(guī)劃算法，針對吸氣式高超聲速飛行器設(shè)計了滿足終端碰撞角約束的制導(dǎo)律。在此方法基礎(chǔ)上，文獻[25]考慮了飛行器避障問題。在MPSP的基礎(chǔ)上，廣義偽譜MPSP算法被提出[26]，該方法進一步提高了算法求解速度與精度。

MPSP算法同模型預(yù)測控制有相似之處，MPSP算法需要不斷基于原有軌跡進行小偏差線性化近似，初始軌跡的選取對優(yōu)化結(jié)果有較大影響。

基于上述問題，本文提出一種考慮側(cè)窗約束的模型預(yù)測靜態(tài)規(guī)劃末制導(dǎo)方法。首先，引入體視線坐標(biāo)系，精確描述側(cè)窗約束。然后,基于體視線坐標(biāo)系下運動模型，在處理無過程約束MPSP算法的基礎(chǔ)上，考慮側(cè)窗視場約束，通過松弛變量與虛擬控制量，將有約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題。最后,通過不同仿真場景、不同優(yōu)化方法的仿真與分析，驗證本文所提算法的計算效率與精度。

1 問題描述

1.1 坐標(biāo)系及轉(zhuǎn)換關(guān)系

在考慮側(cè)窗約束的末制導(dǎo)研究中，通常需要在體視線坐標(biāo)系(Body line-of-sight, Body-LOS)和彈體坐標(biāo)系以及視線坐標(biāo)系進行模型建立與分析，三個坐標(biāo)系的定義可參考文獻[27]。

圖1 體視線坐標(biāo)系和彈體坐標(biāo)系間的關(guān)系Fig.1 Body-LOS coordinate system with respect to body-fixed coordinate system

(1)

圖2 體視線坐標(biāo)系和視線坐標(biāo)系間的關(guān)系Fig.2 Body-LOS coordinate system with respect to LOS coordinate system

采用視線滾轉(zhuǎn)角γb描述視線坐標(biāo)系到體視線坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

(2)

采用攻角α、側(cè)滑角β描述速度坐標(biāo)系到彈體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

(3)

1.2 側(cè)窗約束

在傳統(tǒng)的視線坐標(biāo)系下考慮末制導(dǎo)問題時，側(cè)窗探測約束為動態(tài)約束，與飛行器姿態(tài)相關(guān)，因此給制導(dǎo)控制設(shè)計帶來困難。然而，在體視線坐標(biāo)系中的問題，側(cè)窗約束為時不變約束。因此本文將研究飛行器在體視線坐標(biāo)系下的制導(dǎo)問題，這將導(dǎo)致制導(dǎo)控制與姿態(tài)控制之間的耦合。

圖3 側(cè)窗示意圖Fig.3 Side-window diagram

1.3 飛行器運動模型

建立發(fā)射系下飛行器運動模型為

(4)

式中：x,y和z分別為飛行器在發(fā)射坐標(biāo)系下位置分量；V,θ和σ分別為速度大小、彈道傾角、彈道偏角；g為重力加速度；D,L和Z分別為氣動阻力、升力和側(cè)向力。速度系下氣動力分量為

(5)

式中：q為動壓；Sref為參考面積。氣動系數(shù)由數(shù)據(jù)表分段線性插值得到

(6)

式中：H為飛行高度。

1.4 相對運動模型

為了更加清晰的描述飛行器側(cè)窗約束，描述體視線角的變化規(guī)律，在彈體坐標(biāo)系中，飛行器M-目標(biāo)T的相對速度v可表示為

(7)

(8)

結(jié)合體視線坐標(biāo)系定義，ωb可表示為

(9)

則

(10)

同理，飛行器-目標(biāo)的相對加速度a為

(11)

忽略沿飛行器-目標(biāo)視線方向的相對加速度，兩側(cè)求導(dǎo)后，體視線坐標(biāo)系下相對運動方程可整理為

(12)

式中：aTx,aTy,aTz為目標(biāo)加速度在體視線坐標(biāo)系下分量；aMx,aMy,aMz為飛行器加速度在體視線坐標(biāo)系下分量。

假設(shè)目標(biāo)靜止，可進一步整理式(12)得到矢量形式的彈目相對運動模型

(13)

飛行器合外力在速度坐標(biāo)系下分量為

(14)

得到體視線系下的加速度分量為

(15)

2 算法設(shè)計

本節(jié)首先進行無過程約束MPSP算法介紹，在此基礎(chǔ)上，提出考慮側(cè)窗約束的MPSP末制導(dǎo)算法。

2.1 MPSP算法介紹

一般的非線性系統(tǒng)的狀態(tài)動力學(xué)和輸出方程可以寫成

(16)

式中：X∈Rn,U∈Rm,Y∈Rp分別代表狀態(tài)向量、控制向量和輸出向量，其非線性動態(tài)模型的離散形式如下

(17)

式中：k表示第k個離散節(jié)點，k=1,2,…,N-1。

在一次MPSP計算中，主要分為以下五個步驟：

1)初始軌跡猜測

由于MPSP基于沿軌跡線性化的思想，逐步逼近最優(yōu)解，因此在迭代計算過程中，需要初始軌跡作為算法啟動條件，通常情況下，可將其設(shè)為常量。為了加快計算速度，減少迭代次數(shù)，可以基于其他算法，如：粒子群算法、偽譜法、凸優(yōu)化等得到的初始軌跡進行后續(xù)迭代計算。

2)計算終端偏差

設(shè)期望終端狀態(tài)為YNd，經(jīng)過積分計算得到終端實際狀態(tài)為YN，則終端偏差為

ΔYN=YN-YNd

(18)

MPSP的重點是如何找到一個合適的控制量，以便在最后一步的輸出YN達到期望值YNd，同時花費最少代價。

3)靈敏度計算

式(18)泰勒展開得到

(19)

對式(17)線性化處理，得到

(20)

對于終端狀態(tài)，存在

(21)

從而得到

(22)

(23)

將式(20)中狀態(tài)量不斷更新得到

dYN=AdX1+B1dU1+B2dU2+BN-1dUN-1

(24)

式中：

(25)

由于初始狀態(tài)為給定值，則dX1=0?？傻?/p>

(26)

4)控制量更新

由于MPSP基于初始軌跡進行沿軌跡線性化，因此每次迭代中，控制量的偏差dUk不能過大，否則靈敏度矩陣將難以準(zhǔn)確描述輸入量對終端狀態(tài)約束的關(guān)系。選取性能指標(biāo)為

(27)

同時，存在下述等式約束

(28)

結(jié)合最優(yōu)控制理論，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

(29)

其最優(yōu)必要性條件為

(30)

聯(lián)立解得

(31)

式中：

(32)

得到解析形式的控制量變化量

(33)

更新控制輸入為

(34)

經(jīng)過離散化模型更新狀態(tài)量及輸出量，得到Xk與Yk。

5)迭代計算

根據(jù)積分得到的終端狀態(tài)與期望的終端狀態(tài)偏差，計算其相對誤差，若相對誤差滿足精度，則退出循環(huán);否則以新的軌跡作為初始軌跡，跳轉(zhuǎn)至步驟二循環(huán)迭代計算，直至相對誤差滿足要求。

2.2 考慮側(cè)窗約束的MPSP末制導(dǎo)方法

考慮如下系統(tǒng)

(35)

存在側(cè)窗視場約束

(36)

將約束轉(zhuǎn)化為

(37)

將上式寫為

(38)

式中：

(39)

記

(40)

引入松弛變量處理體視線角約束，假設(shè)

(41)

對式(41)求導(dǎo)，可得

(42)

式中：

(43)

進一步求導(dǎo)

(44)

式中：

(45)

將式(35)代入式(45)中，出現(xiàn)控制量

(46)

引入虛擬控制量uε,uβ，且

(47)

記x11=αε，x21=αβ，輔助變量的初始狀態(tài)為

(48)

設(shè)計考慮側(cè)窗約束制導(dǎo)算法流程如圖4所示。

為了降低算法對初始軌跡的依賴性，提出逐次加入約束的求解步驟，第一次迭代中僅加入終端位置約束，得到優(yōu)化解后，再增加過程約束。這種方法能夠降低對初始軌跡的依賴，無需使用比例導(dǎo)引計算可行軌跡。

3 數(shù)值仿真及分析

為了驗證本文所提算法的有效性與適應(yīng)性，本節(jié)分別進行考慮側(cè)窗約束MPSP末制導(dǎo)仿真、對比算法仿真以及適應(yīng)性仿真實驗。其中，對比算法仿真中選取的對比算法為文獻[7]中障礙李雅普諾夫函數(shù)(Barrier Lyapunov function，BLF)算法。仿真初始條件和約束條件如表1～表2所示。

表1 仿真初始條件Table 1 Initial values of the simulation

表2 仿真約束條件Table 2 Constraints of the simulation

3.1 側(cè)窗約束MPSP末制導(dǎo)仿真

側(cè)窗約束MPSP末制導(dǎo)仿真結(jié)果如圖5～圖6所示。

圖5 體視線高低角變化曲線Fig.5 Body-LOS elevation angles

圖6 體視線方位角變化曲線Fig.6 Body-LOS azimuth angles

考慮側(cè)窗約束的MPSP算法能夠?qū)崿F(xiàn)對目標(biāo)的精確打擊，該末制導(dǎo)仿真場景中，攻角和側(cè)滑角較小，因此合成攻角較小，氣動阻力減速不明顯;同時，飛行器高度下降較快。在考慮側(cè)窗約束的MPSP算法中，第一次迭代僅考慮終端位置約束，因此體視線高低角和方位角約束沒有滿足;在位置約束滿足后，由圖5第2～4次迭代結(jié)果可以看出，體視線高低角約束滿足要求，該算法在4次迭代后滿足精度要求。

3.2 對比算法仿真

同基于BLF算法進行對比仿真，結(jié)果如圖7～圖9所示。

圖7 三維軌跡Fig.7 3D trajectories

圖8 體視線高低角變化曲線Fig.8 Body-LOS elevation angles

圖9 體視線方位角變化曲線Fig.9 Body-LOS azimuth angles

由圖7可以看出，兩種方法均能滿足終端位置約束，而對比算法用于處理對稱視場約束，因此圖9中體視線方位角能夠滿足要求，但難以處理本文中非對稱側(cè)窗約束。由圖8可以看出，本文方法更具優(yōu)勢。

由于BLF制導(dǎo)律難以滿足體視線高低角約束，為了進一步說明本文算法的優(yōu)越性，與基于凸優(yōu)化方法進行對比，對比結(jié)果如表3所示。

表3 不同算法對比結(jié)果Table 3 Simulation results of different algorithms

由上表可以看出，三種算法在終端位置精度上均小于0.5 m，能夠獲得較小的脫靶量。整體上，基于BLF方法的仿真耗時較小，但是違背側(cè)窗視場約束后，無法測得目標(biāo)信息，實際仿真中難以保障成功率。相比于凸優(yōu)化方法，本文算法的優(yōu)化變量僅有控制量或者虛擬控制量，而凸優(yōu)化方法中將多個狀態(tài)變量、控制量均作為優(yōu)化變量，因此仿真耗時上本文算法更具優(yōu)勢。

3.3 算法適應(yīng)性仿真

為了驗證本文所提算法對不同仿真初始條件的適應(yīng)性，設(shè)計以下4組算例進行仿真，仿真結(jié)果如圖10～圖12所示。

表4 算法適應(yīng)性仿真初始條件Table 4 Initial conditions in the algorithm adaptability simulation

圖10 三維軌跡Fig.10 3D trajectories

圖11 體視線高低角變化曲線Fig.11 Body-LOS elevation angles

圖12 體視線方位角變化曲線Fig.12 Body-LOS azimuth angles

可以看出，體視線高低角變化相對平緩，雖然體視線方位角在末段時有較為明顯的變化，但是此時飛行器已經(jīng)接近目標(biāo)，一部分原因是彈目距離較小引起的角度計算變化過快。攻角和側(cè)滑角幅值較小，減輕了姿態(tài)環(huán)控制器的控制壓力。在4組仿真算例中，體視線高低角、方位角均能滿足約束。

4 結(jié) 論

本文提出了一種考慮側(cè)窗約束的模型預(yù)測靜態(tài)規(guī)劃末制導(dǎo)方法。在體視線坐標(biāo)系建立了三維飛行器-目標(biāo)相對運動模型，引入松弛變量與虛擬控制量處理側(cè)窗約束，并提出了逐步增加約束條件的計算策略，降低末制導(dǎo)算法對初始猜測軌跡的依賴性。主要結(jié)論如下：

(1) 引入體視線坐標(biāo)系，得到體視線坐標(biāo)系下的運動模型，可以精確描述側(cè)窗約束。

(2) 通過松弛變量與虛擬控制量，可以將考慮側(cè)窗視場約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題。

(3) 為了解決傳統(tǒng)MPSP算法過于依賴初始軌跡的局限性，提出逐步增加約束條件的迭代求解流程，從而使得小偏差線性化更具合理性，算法穩(wěn)定性更強。

在本文算法的基礎(chǔ)上，后續(xù)將深入進行考慮側(cè)窗約束末制導(dǎo)的在線制導(dǎo)仿真，同時，為了驗證本文算法的工程適用性，將在六自由度模型中進行仿真與分析，考慮彈體姿態(tài)運動對制導(dǎo)精度的影響，從而實現(xiàn)完整的制導(dǎo)控制一體化。