積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的圖形與幾何教學(xué)策略研究*

孫新宇 吳秀君，2，T 郭夢(mèng)媛 葉舒琪

（1.江漢大學(xué)人工智能學(xué)院，武漢，430056；2.江漢大學(xué)武漢研究院，武漢，430056）

根據(jù)國內(nèi)外關(guān)于活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的文獻(xiàn)和教育理論，不難發(fā)現(xiàn)人們都十分贊同“活動(dòng)促進(jìn)學(xué)習(xí)”“從做中學(xué)”的觀點(diǎn)，重視新經(jīng)驗(yàn)與舊經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)結(jié)[1-6]。但大部分實(shí)踐研究都只注重教師的活動(dòng)教案設(shè)計(jì)和學(xué)生參與方面，真正運(yùn)用在活動(dòng)教學(xué)過程與實(shí)踐操作中的研究不夠完善，提出的教學(xué)建議比較零散，缺少系統(tǒng)性，教師在真正教學(xué)實(shí)踐時(shí)難以把握。針對(duì)上述情況，我們將基于數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的視角，進(jìn)行初中圖形與幾何的教學(xué)策略研究。

2021 年9 月至2021 年12 月，我們?cè)谖錆h市某初中對(duì)學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查和對(duì)數(shù)學(xué)教師進(jìn)行訪談，了解基于數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的初中圖形與幾何教學(xué)現(xiàn)狀。然后，在該初中進(jìn)行為期四個(gè)月的課堂觀察，依據(jù)建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論、杜威的經(jīng)驗(yàn)主義理論、弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論和奧蘇泊爾的認(rèn)知同化學(xué)習(xí)理論提出相應(yīng)教學(xué)策略，然后在兩個(gè)教學(xué)班進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐與策略修正。初中階段是學(xué)生開始從形象思維向著抽象思維發(fā)展、轉(zhuǎn)變的時(shí)期，圖形與幾何的計(jì)算、演繹推理復(fù)雜度不斷躍升，對(duì)于大部分學(xué)生還是有很大的挑戰(zhàn)性的。同時(shí)圖形與幾何這一部分無論計(jì)算還是證明，都需要嚴(yán)格的寫作規(guī)范與依據(jù)，是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性的重要時(shí)期。下面結(jié)合自身課堂觀察，在實(shí)踐中積累的案例和優(yōu)質(zhì)課案例庫研讀對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)視角下的初中圖形與幾何教學(xué)策略。

一、設(shè)置合適的導(dǎo)入方式，喚醒學(xué)生的原始經(jīng)驗(yàn)

從學(xué)生問卷結(jié)果可以看出，絕大多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)圖形與幾何新內(nèi)容時(shí)會(huì)借助以往的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，因此教師在進(jìn)行新的圖形與幾何內(nèi)容教學(xué)前，需要了解學(xué)生具備哪些原始經(jīng)驗(yàn)，去設(shè)置能夠喚醒學(xué)生原始經(jīng)驗(yàn)的情境導(dǎo)入。教師可根據(jù)具體內(nèi)容設(shè)置新知引入的類型，大部分教師會(huì)選擇創(chuàng)設(shè)生活情境引入新知和復(fù)習(xí)舊知引入新知兩種類型。

創(chuàng)設(shè)生活情境引入新知這種類型，非常適合與日常生活相貼近的數(shù)學(xué)知識(shí)，這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)能夠引起學(xué)生的共鳴，從而激發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)探索的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的情感性經(jīng)驗(yàn)。比如在黃金矩形教學(xué)中從觀察收集美麗的矩形物品導(dǎo)入。又如，在探索軸對(duì)稱的性質(zhì)時(shí)，教師可以創(chuàng)設(shè)能引起學(xué)生動(dòng)手、觀察和思考的生活情境?；顒?dòng)一：觀察屏幕中自然景觀、建筑物以及日常生活用品的圖片，它們有什么共同特點(diǎn)?；顒?dòng)二：把紙對(duì)折，在折痕不被完全剪斷的情況下剪出一個(gè)圖案。通過動(dòng)手操作、觀察這樣的活動(dòng)，讓學(xué)生體驗(yàn)軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)以及在生活中的應(yīng)用，積累動(dòng)作性經(jīng)驗(yàn)和觀察性經(jīng)驗(yàn)。

復(fù)習(xí)舊知引入新知的類型適合前后知識(shí)聯(lián)結(jié)性強(qiáng)的教學(xué)內(nèi)容。比如在探究平行線的性質(zhì)時(shí)，教師通過提問“上節(jié)課學(xué)習(xí)的平行線三種判定方法的條件、結(jié)論分別是什么？如果把判定方法的結(jié)論和條件反過來，還成立嗎？”來引入探究課題，有意識(shí)地讓學(xué)生回顧前面學(xué)習(xí)的知識(shí)，通過類比研究平行線判定的過程去研究平行線的性質(zhì)，積累學(xué)生歸納、類比的抽象性活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。如果教學(xué)時(shí)間不夠，導(dǎo)入環(huán)節(jié)可以提前到課外進(jìn)行，提前喚醒學(xué)生需要的原始經(jīng)驗(yàn)。

二、設(shè)計(jì)實(shí)踐和探究性的數(shù)學(xué)活動(dòng)，留給學(xué)生充足的參與時(shí)間

根據(jù)學(xué)生問卷顯示，雖然只有58%的教師會(huì)布置探究性的作業(yè)，但大部分學(xué)生愿意去完成探究性的作業(yè)，因此教師應(yīng)該在圖形與幾何的教學(xué)中有意識(shí)地多設(shè)計(jì)實(shí)踐性和探究性的數(shù)學(xué)活動(dòng)，并在進(jìn)度安排上留出足夠的時(shí)間給學(xué)生進(jìn)行動(dòng)手操作、觀察、思考、探究、歸納和表達(dá)，至于課堂探索時(shí)間與進(jìn)度的沖突問題，可以借助線上平臺(tái)在線上或者課下的前置性活動(dòng)進(jìn)行預(yù)備，縮短課堂上的探索時(shí)間。

實(shí)踐和探究性的數(shù)學(xué)活動(dòng)能有效調(diào)動(dòng)學(xué)生的求知欲，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，在問題探究中獲得推理能力的提升，體會(huì)獲得知識(shí)的愉悅，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，有效改善學(xué)生推理能力不足的現(xiàn)狀，有效促進(jìn)學(xué)生情感性經(jīng)驗(yàn)、動(dòng)作性經(jīng)驗(yàn)、觀察性經(jīng)驗(yàn)和抽象性經(jīng)驗(yàn)的積累。比如，教師通過設(shè)計(jì)“平行線分線段成比例”“平行線分線段成比例在相似三角形的應(yīng)用”“相似三角形的判定”“相似三角形判定的變式應(yīng)用”的數(shù)學(xué)活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生在做數(shù)學(xué)活動(dòng)中對(duì)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)一步步深化吸收，最終實(shí)現(xiàn)“相似三角形”新知在原有“三角形”與“相似圖形”認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的同化，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

又如，在探索等腰三角形的性質(zhì)時(shí)，教師設(shè)計(jì)如下活動(dòng)：（1）按教材給出的方式剪出等腰三角形；（2）觀察剪出的等腰三角形紙片，概括剪出的等腰三角形的特征；（3）觀察其他同學(xué)剪出的等腰三角形，是否都具有上述概括的特征；（4）在練習(xí)本上任意畫出一個(gè)等腰三角形，剪下來折一折，是否符合前面概括的特征。由此概括出等腰三角形的性質(zhì)，其中活動(dòng)一是實(shí)踐性數(shù)學(xué)活動(dòng)，活動(dòng)二和活動(dòng)三屬于探究性數(shù)學(xué)活動(dòng)，活動(dòng)四是實(shí)踐與探究相結(jié)合的活動(dòng)。整體活動(dòng)安排為學(xué)生先對(duì)一個(gè)等腰三角形研究發(fā)現(xiàn)其特征，然后在對(duì)其他等腰三角形進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)特征的一致性，從而概括出等腰三角形的形式，在折疊、觀察、思考和討論的過程中充分體驗(yàn)特殊到一般的歸納方法，積累學(xué)生的思維性經(jīng)驗(yàn)。

三、采用問題引導(dǎo)的教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生的抽象性經(jīng)驗(yàn)

抽象性經(jīng)驗(yàn)主要有猜想、思考、歸納、推理、表達(dá)。通過學(xué)生問卷和教師訪談顯示，學(xué)生的表達(dá)、歸納和推理等能力不足，教師在課堂中未能在思考探究環(huán)節(jié)留給學(xué)生充足的時(shí)間，當(dāng)學(xué)生難以解決問題時(shí)，部分教師會(huì)直接給出結(jié)論從而導(dǎo)致學(xué)生的表達(dá)、歸納和推理等抽象性經(jīng)驗(yàn)積累不足，不利于發(fā)展學(xué)生的問題解決能力。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中要做引領(lǐng)者，當(dāng)學(xué)生難以進(jìn)行數(shù)學(xué)活動(dòng)的任務(wù)時(shí)，要及時(shí)設(shè)置問題串，打破學(xué)生與問題間的隔閡，引導(dǎo)學(xué)生在一步步、循序漸進(jìn)解決問題的過程中，經(jīng)歷知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)魅力，獲得探索的樂趣和成就感，培養(yǎng)情感性經(jīng)驗(yàn)和分析、歸納、推理、反思等抽象性數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。比如學(xué)生理解不了黃金矩形第三步的折疊方式時(shí)，依據(jù)再創(chuàng)造理論，教師用展示和提問的方式引導(dǎo)、幫助這部分學(xué)生去思考理解，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“黃金矩形”的再創(chuàng)造，也為后續(xù)黃金矩形的驗(yàn)證提供了思路，有效積累了學(xué)生動(dòng)作性經(jīng)驗(yàn)和思考、推理的抽象性經(jīng)驗(yàn)。

又如，在探索圓周角定理時(shí)，教師讓學(xué)生測量同一圓弧所對(duì)的圓心角和圓周角的度數(shù)，并回答以下問題：這兩個(gè)角有怎樣的關(guān)系？繼續(xù)在圓上任取一條圓弧，再次測量這條弧所對(duì)的圓心角和圓周角的度數(shù)，你還能得出同樣的結(jié)論嗎？學(xué)生在教師一步步提問和參與活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)結(jié)論，積累了猜想、分析等抽象性經(jīng)驗(yàn)。

四、借助數(shù)學(xué)軟件，讓學(xué)生在觀察和操作中發(fā)展空間想象和幾何直觀

圖形的變化一直是圖形與幾何教學(xué)中的難點(diǎn)，由于學(xué)生缺乏對(duì)圖形變化軌跡的空間想象，所以僅僅依靠教師的講解難以理解和解決問題。通過教師訪談，了解到不少數(shù)學(xué)教師在講解圖形與幾何時(shí)，會(huì)利用幾何畫板等將圖形變化變得直觀化的數(shù)學(xué)軟件幫助學(xué)生想象、理解，特別是在新授課的探究環(huán)節(jié)和習(xí)題課的講解環(huán)節(jié)。

在學(xué)生猜想的基礎(chǔ)上，教師利用幾何畫板的直觀性和準(zhǔn)確性，幫助學(xué)生加深對(duì)平行線分線段成比例的理解和記憶，發(fā)展學(xué)生的空間想象和幾何直觀。習(xí)題是考察學(xué)生對(duì)“圖形的變化”掌握情況的有效途徑之一，特別是圖形與幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題，很多學(xué)生因?yàn)橄胂蟛怀鰣D形的運(yùn)動(dòng)軌跡導(dǎo)致問題未能解決。例如，等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=，點(diǎn)D在邊BC上，CD=2，將CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°到CE，連接AE，以AE、AB為邊做平行四邊形ABFE，連DF，求DF最大值。教師在講解這個(gè)動(dòng)點(diǎn)問題前，通過詢問了解到有超過一半的學(xué)生不會(huì)做的原因是想象不出來F點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，只要明確了F點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，就可以根據(jù)三角形的三邊關(guān)系找到DF的最大值，所以解題的關(guān)鍵點(diǎn)在于明確F點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。學(xué)生大部分能想象和發(fā)現(xiàn)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是個(gè)圓，還有少部分能理解F點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是跟隨E點(diǎn)變化的，但想象理解不了F點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡和E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡在形狀、大小上是一樣的，所以教師借助幾何畫板，拖動(dòng)E點(diǎn)，學(xué)生在觀察幾何畫板中E點(diǎn)和F點(diǎn)的軌跡變化過程中，培養(yǎng)他們的空間想象和幾何直觀，積累思維性經(jīng)驗(yàn)。

五、引導(dǎo)學(xué)生歸納小結(jié)，教師課后進(jìn)行教學(xué)反思

根據(jù)學(xué)生問卷結(jié)果顯示，有64%的學(xué)生很少會(huì)在學(xué)習(xí)活動(dòng)后進(jìn)行歸納，甚至從來不會(huì)歸納，這也能說明有64%的學(xué)生不能很好解決問題的原因，因此教師應(yīng)該注重對(duì)學(xué)生歸納能力的培養(yǎng)，進(jìn)而提高學(xué)生的問題解決能力。歸納小結(jié)存在于教學(xué)活動(dòng)中的知識(shí)點(diǎn)小結(jié)和課堂內(nèi)容小結(jié)，小結(jié)環(huán)節(jié)不僅可以幫助學(xué)生梳理知識(shí)結(jié)構(gòu)，將新的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)融入到原有經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)中，還可以從學(xué)生給出的反饋看出本堂課教學(xué)目標(biāo)達(dá)成的大致情況，但具體目標(biāo)完成情況還需要結(jié)合習(xí)題、作業(yè)的完成情況來分析。這些做法有利于教師對(duì)自己的教學(xué)進(jìn)行反思，發(fā)現(xiàn)教學(xué)中存在的問題，從而使得后續(xù)的教學(xué)更加完善。

例如，在教師講解角的概念后，以做答題游戲的形式促進(jìn)學(xué)生對(duì)角的概念的認(rèn)識(shí)歸納，培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力，從答題的速度和準(zhǔn)確率檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)角的概念教學(xué)目標(biāo)的掌握情況，及時(shí)調(diào)整教學(xué)進(jìn)度。此外，做游戲的形式能極大提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和主動(dòng)性，有利于推進(jìn)后面的教學(xué)環(huán)節(jié)。

課堂結(jié)束后，教師也應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生對(duì)本節(jié)課所有的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行歸納小結(jié)，將學(xué)到的新知識(shí)經(jīng)驗(yàn)及時(shí)梳理構(gòu)建知識(shí)框架，促進(jìn)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的吸收。如在講解完角的比較與運(yùn)算后，教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容，構(gòu)建知識(shí)與方法的框架（如圖1），完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

圖1 知識(shí)框架圖

六、利用線上平臺(tái)和工具，合理安排數(shù)學(xué)活動(dòng)流程

教師訪談結(jié)果顯示，教師在課堂上未能留給學(xué)生充足的時(shí)間思考探究，因此教師應(yīng)該合理安排教學(xué)流程，利用線上平臺(tái)增加課外實(shí)踐應(yīng)用的環(huán)節(jié)，使學(xué)生能在數(shù)學(xué)活動(dòng)中充分體驗(yàn)探索數(shù)學(xué)的樂趣，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

課前教師可以將活動(dòng)預(yù)案通過PPT 或者小視頻的方式發(fā)布到班級(jí)線上平臺(tái)，如QQ 課堂、雨課堂、教育云等互動(dòng)交流平臺(tái)，讓學(xué)生在課前提前理解活動(dòng)的要求與內(nèi)容，留足時(shí)間、動(dòng)員家庭成員一起完成活動(dòng)預(yù)案，為課上的新知探究環(huán)節(jié)預(yù)備好需要的原始經(jīng)驗(yàn)。如課前“收集好看的矩形”活動(dòng)任務(wù)的布置，不但能夠使得學(xué)生在完成課前活動(dòng)任務(wù)的過程中喚醒原始經(jīng)驗(yàn)，還能夠在課堂上留給學(xué)生更多的時(shí)間去思考探究，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

課后學(xué)生可以以小組形式進(jìn)行網(wǎng)上討論并推舉小組最佳作品參加網(wǎng)上作品展示與互評(píng)，增加作品的反饋環(huán)節(jié)，加強(qiáng)學(xué)生互助合作與情感交流，這樣有利于增加集體榮譽(yù)感。