理性精神引領下的數(shù)學課堂教學研究
——以“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象”為例*

楊 龍 (江蘇省太倉高級中學 215411)

1 學情分析

教學對象是四星級高中的高一普通班學生，基礎良好，有較強的自主學習能力、運算能力和綜合運用知識解決問題的能力.

2 內容解讀

本節(jié)課是人教A版數(shù)學必修第一冊第5章“三角函數(shù)”中的第4節(jié)“三角函數(shù)的圖象與性質”第1課時的內容.之前，學生已經有了學習指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象與性質的經驗，針對一個新函數(shù)可以應用對比、類比的方法進行研究，將已有經驗遷移到對三角函數(shù)圖象與性質的研究中，形成研究思路.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是一類基本初等函數(shù)，作為函數(shù)的下位知識，對于它們的研究基本遵從函數(shù)圖象與性質的一般研究思路：繪制函數(shù)圖象→觀察圖象、發(fā)現(xiàn)性質→證明性質.

教學目標 (1)經歷繪制正弦函數(shù)圖象的過程，掌握描點法，掌握繪制正弦函數(shù)圖象的“五點法”；(2)經歷繪制余弦函數(shù)圖象的過程，理解其中運用的函數(shù)圖象變換的思想；(3)通過三角函數(shù)的概念、三角函數(shù)誘導公式等知識間的聯(lián)系體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.

教學重點 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象畫法.

教學難點 掌握準確繪制函數(shù)圖象一個點的方法，并由此繪制出正弦函數(shù)的圖象.

3 過程實錄

3.1 擬定研究思路

問題1前面我們學習了三角函數(shù)的定義以及基本運算，延用之前的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的研究思路，接下來我們應該研究什么問題？怎樣研究？

教師提出問題，學生回憶函數(shù)研究的一般思路，師生共同交流、規(guī)劃、完善方案.預設的答案如下.

研究函數(shù)的一般思路：函數(shù)的定義—函數(shù)的定義域、值域—函數(shù)的圖象—函數(shù)的性質—函數(shù)的應用.

鑒于前面已有研究，接下來重點是繪制三角函數(shù)的圖象，各個擊破，首先我們從畫正弦函數(shù)的圖象開始今天的探究之旅.

設計意圖規(guī)劃研究方案，構建本單元的研究路徑，以便從整體上掌握整個單元的學習過程，形成整體觀念.

3.2 繪制正弦曲線

問題2你打算如何繪制正弦函數(shù)y=sinx的圖象？

繪制一個新函數(shù)圖象的基本方法是描點法.對于三角函數(shù)，單位圓上任意一點在圓周上旋轉一周又回到原來的位置，這一特性體現(xiàn)了周而復始的規(guī)律，所以我們只要先畫出函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象即可.

追問1 對于正弦函數(shù)，在[0,2π]上任取一個值x0，如何精準繪制點T(x0,sinx0)？

圖1

精準繪制一個點的問題解決之后，即可用相同的方法描出其他的點，這里可以借助信息技術工具得到比較精確的函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象(圖2).

圖2

設計意圖教師引導學生剖析一個點的畫法，深化對正弦函數(shù)定義的理解.通過分析點的坐標的幾何意義，準確描點，同時體會信息技術給數(shù)學研究帶來的便捷.

追問2 根據(jù)函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]的圖象，你能想象函數(shù)y=sinx,x∈R的圖象嗎？

根據(jù)誘導公式一可知，函數(shù)y=sinx,x∈[2kπ,2(k+1)π](k∈Z,k≠0)的圖象與y=sinx,x∈[0,2π]的圖象形狀完全一致.因此將y=sinx,x∈[0,2π]的圖象不斷向左、向右平移(每次移動2π個單位長度)，就可以得到正弦函數(shù)y=sinx,x∈R的圖象.

正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線(sine curve)，是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線.

設計意圖繪制函數(shù)y=sinx,x∈R的圖象，并培養(yǎng)說理的習慣，體會周而復始的特性.

追問3 在確定正弦函數(shù)的圖象形狀時，應抓住哪些關鍵點？

為了畫出函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π]圖象的簡圖，只要描出五個關鍵點，按照正弦函數(shù)圖象的走勢，并用光滑的曲線將之連接就可以畫出正弦函數(shù)的簡圖，稱為“五點法”.

設計意圖觀察函數(shù)圖象，概括其特征，獲得“五點法”畫圖的簡便畫法.

3.3 繪制余弦曲線

問題3如何畫出余弦函數(shù)y=cosx的圖象？

學生可能會類比正弦函數(shù)圖象的畫法，提出用類似的方法畫余弦函數(shù)的圖象.教師可以適時追問，提示正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是一對密切相關的函數(shù).誘導公式表明，余弦函數(shù)和正弦函數(shù)可以互化.

追問1 你能在兩個函數(shù)圖象上選擇一對具體的點，解釋這種平移變換嗎？

教師指出，余弦函數(shù)的圖象叫做余弦曲線(cosine curve)，它是與正弦曲線具有相同形狀的“波浪形”曲線.

設計意圖利用誘導公式，通過圖象變換，由正弦函數(shù)的圖象獲得余弦函數(shù)圖象，增強對兩個函數(shù)圖象之間的聯(lián)系性的認識.

追問2 類似于用“五點法”作正弦函數(shù)圖象，如何作出余弦函數(shù)的簡圖？

讓學生寫出一個周期范圍內余弦函數(shù)圖象上的五個關鍵點坐標.

3.4 例題精析

畫出下列函數(shù)的圖象：

(1)y=1+sinx，x∈[0,2π]；

(2)y=-cosx，x∈[0,2π]；

(3)y=|sinx|.

設計意圖鞏固學生對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象特征的掌握，熟練“五點法”畫圖，掌握畫圖的基本技能.通過分析圖象變換，深化對函數(shù)圖象關系的理解，并為后續(xù)的學習作好鋪墊.

3.5 課堂小結(略)

4 教學感悟

4.1 一般觀念指導數(shù)學研究

在《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》中，將三角函數(shù)內容安排在必修課程主題二“函數(shù)”中，把“函數(shù)概念與性質”“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)”“三角函數(shù)”“函數(shù)應用”視為一個整體.三角函數(shù)作為一類最典型的周期函數(shù)，是學生在高中階段系統(tǒng)學習的最后一個基本初等函數(shù)，所以教學中可注重引導學生以前面學到的研究函數(shù)的方法來指導學習.本節(jié)課首先通過問題1擬定研究三角函數(shù)的路徑，以函數(shù)研究的一般觀念為指導，引導學生自主構建三角函數(shù)的研究內容、過程和方法，同時還引導學生關注三角函數(shù)的特殊性，充分利用周期性簡化研究過程.

4.2 理性精神引領數(shù)學探究

本節(jié)課在探究正弦與余弦函數(shù)圖象過程中，突出理性精神的引領，對正弦函數(shù)圖象的構造和認識過程不斷優(yōu)化.突出正弦函數(shù)的周期性(本課時中并未提出周期性的概念，只是讓學生通過圓周運動周而復始的直觀形象和誘導公式的代數(shù)特征作感性認識)的特點，將實數(shù)集范圍的作圖問題歸結為區(qū)間[0,2π]內的作圖問題；精準畫出正弦函數(shù)上的任意一點，構建了函數(shù)圖象與三角函數(shù)定義之間內在的邏輯聯(lián)系，使得畫出的函數(shù)圖象不僅有“形”，還更加有“魂”，有利于知識的整體性與聯(lián)系性.理性精神引領學生深度思考，使得本節(jié)課的教學任務——繪制函數(shù)圖象更加優(yōu)化，周期讓圖象繪制由局部到整體，定義讓描點作圖由點到線，五點作圖讓簡圖更方便快捷，為后續(xù)借助圖象直觀分析問題、得到解題思路提供有效方法.

4.3 信息技術輔助數(shù)學學習

注重信息技術的使用，加強知識的發(fā)生發(fā)展過程，有助于學生加深對概念的理解與認識.本節(jié)課在利用信息技術通過單位圓畫函數(shù)圖象時，將三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)的圖象等內容緊密聯(lián)系在一起，并通過角的變化，將這種聯(lián)系直觀地、動態(tài)地表現(xiàn)出來，突出了信息技術在函數(shù)作圖中的優(yōu)勢，有效突破數(shù)學學習中的重難點.本節(jié)課借助信息技術從一個點到任意多個點的描點，利用信息技術的連續(xù)動畫功能，可以得到更多的圖象上的點，達到點動成線的直觀效果，使學生進一步理解任意一點與整體圖形之間的關系，理解圖象形成的內在道理.