聚焦數(shù)學元素 提高數(shù)學素養(yǎng)
——以特級教師張齊華“負數(shù)”課堂為例

江蘇南通市西郊小學（226015） 王秋榮

數(shù)學課程標準提出，在數(shù)學課程中，應當注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想等數(shù)學元素。為了適應時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學課程還要特別注重發(fā)展學生的應用意識和創(chuàng)新意識。特級教師張齊華老師教學“負數(shù)”時，抓住了其中的數(shù)感、推理能力、應用意識、創(chuàng)新意識等數(shù)學元素，打造了一堂精彩紛呈的數(shù)學課。

一、聚焦數(shù)感，關注學生感悟能力的培養(yǎng)

數(shù)感是學習數(shù)學的重要基礎，數(shù)感強調的是感悟，培養(yǎng)學生數(shù)感是教師教學的重要目標。所謂數(shù)感就是指關于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結果估計等方面的感悟，就是一種主動地、自覺地或自動化地理解數(shù)和運用數(shù)的態(tài)度和意識，是對數(shù)的敏銳的、精確的、豐富的感知和領悟。小學數(shù)學教學活動不僅要讓學生感悟“數(shù)是對數(shù)量的抽象”，還應當反過來，讓學生感悟“抽象出來的數(shù)與數(shù)量是有聯(lián)系的”。

抽象的核心是舍去現(xiàn)實背景，聯(lián)系的核心是回歸現(xiàn)實背景。比如，同樣是100 這個抽象的數(shù)，但100 粒黃豆與100 匹馬給人的現(xiàn)實感受是不一樣的；再比如，去菜市場買菜，帶100 元一般就足夠了，但要購買房子，100 元是遠遠不夠的。因此，對于現(xiàn)實生活的許多情況，人們需要了解數(shù)與現(xiàn)實背景之間的聯(lián)系，從而感悟并判斷在日常生活和科學研究中數(shù)所提供的信息。此外，學生對觀察或運算的結果也應當有一定的感悟，或者說直覺判斷。比如，學生應當能夠憑直覺判斷18 加9 比30 大還是比30 小比1 大還是比1 小。有了上面所說的感悟，學生就能在現(xiàn)實生活中比較合理地把握數(shù)以及數(shù)的運算。

張老師在“負數(shù)”這節(jié)課中多次聯(lián)系生活實際培養(yǎng)學生對“負數(shù)”的數(shù)感。例如，在學生理解了負數(shù)的本質特征之后，張老師給學生帶來了5 個“-2”，這5個“-2”就是舍去現(xiàn)實背景之后的抽象的數(shù)，但是一旦聯(lián)系現(xiàn)實背景，這5 個“-2”給人的感受又是截然不同的。學生在黑板上分別寫出“某盆地的海拔高度為-2 米”“某地最低氣溫為-2 攝氏度”“汽車停在-2樓”“銀行卡余額為-2元”“兒子的身高是-2 厘米”后，通過各種圖形，他們進一步理解了生活中的負數(shù)，數(shù)感得到了增強。

在引導學生觀察負數(shù)的特點時，張老師就請學生說出自己觀察發(fā)現(xiàn)的負數(shù)的特點。一個學生說“負數(shù)前面有一個減號”，形式上這是對的，本質上這是錯的。如何引導學生準確地區(qū)分負號和減號非常重要，這將成為培養(yǎng)數(shù)感的一個契機。張老師沒有直接指出這個學生的錯誤，而是請他繼續(xù)發(fā)言。最后學生得出這樣一個結論：在運算的時候是減號，在表示數(shù)的時候是負號。得出這個結論的過程看上去輕松，其實飽含了張老師尊重學生學習感受，尊重學生學習主體地位的觀念和意識，體現(xiàn)了教師注重培養(yǎng)學生數(shù)感的理念。在課堂中，張老師還引導學生學習了正號，并且通過對數(shù)加不加正號的討論，讓學生明確整數(shù)和負數(shù)的本質在于與0 的比較。這就是培養(yǎng)學生對觀察或運算結果的感悟，從而進一步培養(yǎng)了學生的數(shù)感。

通過上面的討論可以看到，培養(yǎng)學生的數(shù)感不僅是學習數(shù)學的需要，而且有助于培養(yǎng)學生認識和解釋現(xiàn)實事物的能力。小學數(shù)學教學在很多的時候都可以抓住抽象的數(shù)與現(xiàn)實事物之間的關系，讓學生在觀察、感受、討論中有所領悟，這是培養(yǎng)數(shù)感的有效途徑。

二、聚焦推理，培養(yǎng)學生判斷、推理的思維能力

推理是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式，也是數(shù)學的基本思維方式。推理是由一個或幾個已知的判斷（前提）推出新判斷（結論）的過程，有直接推理、間接推理等。數(shù)學課堂上，教師要抓住機會引導學生進行合情推理和演繹推理，幫助學生由已知發(fā)現(xiàn)未知，這樣既能培養(yǎng)學生的推理能力，又能激發(fā)學生的學習興趣。

伽利略認為，一切推理都必須從觀察與實驗中得來。這句名言道出了合情推理的重要意義。所謂合情推理，就是一種比較自然的、合乎情理的、似乎為真的推理，它是根據(jù)已有的數(shù)學事實和數(shù)學結論，或以個人數(shù)學經(jīng)驗（數(shù)學實驗或實踐）和數(shù)學直觀進行推測而得到某些結果的一種推理，常表現(xiàn)為憑直觀和聯(lián)想、直觀或直覺等非邏輯思維形式，通過觀察、實驗、歸納、類比、由特殊到一般等方法直接獲得某種數(shù)學結論。

張老師的“負數(shù)”一課中，合情推理能力的培養(yǎng)貫穿了課堂的始終。他首先展示“-1 層”“-3 攝氏度”“-250 米”“-1025 元”等短語，讓學生具體說說其中負數(shù)表示的實際含義，調動學生的生活經(jīng)驗。這一階段，既是對學生數(shù)感的進一步培養(yǎng)，又為后續(xù)引導學生對負數(shù)進行合情推理做了必要的鋪墊。然后王老師讓學生在黑板上寫出5 個不同的負數(shù)，讓學生通過觀察、歸納、推理，得出負數(shù)帶有負號的外在特點和負數(shù)都比0 小的本質特征。張老師通過創(chuàng)設情境、引導觀察、對比分析、由個別到一般的推理過程，培養(yǎng)了學生合情推理的能力。通過自己觀察，由個別到一般的合情推理，是學習數(shù)學的基本方法。學生掌握了這種推理方法之后，就容易透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)本質了。

演繹推理是由一般到特殊的推理方法，與合情推理相對。表面上看，張老師的這堂課都是合情推理，其實仔細品味，還是能夠發(fā)現(xiàn)課堂中有演繹推理的巧妙運用。例如，正數(shù)和負數(shù)的分界線0 其實只是一個參照物。參照物就是演繹推理的大前提、一般的原理。一般來說，參照物并不是固定不變的，不同的參照物，會導致出現(xiàn)不同的負數(shù)類型。當參照物是平均數(shù)的時候，那么大于這個平均數(shù)的就是正數(shù)，小于這個平均數(shù)的就是負數(shù)。理解了這一點，再聯(lián)系到本課的特殊事例——兒子的身高是-2厘米，就容易理解“-2”在此處的含義了。

總之，教學新知識的時候，教師不宜把已有的知識或者答案直接告訴學生，而應該帶領學生進行合情推理或演繹推理，幫助學生培養(yǎng)各種推理能力，從而發(fā)展學生的思維能力。

三、聚焦應用，培養(yǎng)學生數(shù)學和生活相結合的重要意識

數(shù)學來源于生活，同時又要應用于生活，讓數(shù)學為生活服務。這也是小學數(shù)學教學的目標。陶行知認為“行是知之始，知是行之成”，他還提出了“生活即教育”“社會即學?！薄敖虒W做合一”等口號。阿基米德把數(shù)學研究和力學、機械學緊緊地聯(lián)系在一起，用數(shù)學研究力學和其他實際問題，保護敘拉古戰(zhàn)役中的機械巨手和投石機等就是最生動的一個例子，有力地證明了“知識就是力量”的真理。古今中外的先賢們都明白數(shù)學知識要與生活結合起來的道理，只有在生活中應用數(shù)學知識，讓數(shù)學知識服務于生活，數(shù)學知識才能轉變成力量。

張老師在“負數(shù)”這節(jié)課中，始終把知識與生活結合起來，從生活中來又回到生活中去，充分體現(xiàn)了數(shù)學的本質特征和作用，有效培養(yǎng)了學生應用數(shù)學的能力。當學生明確負數(shù)的兩大特點之后，他給學生展示了5 個“-2”的生活實例：-2 米、-2 攝氏度、-2 樓、-2 元、-2 厘米。這些例子有自然科學方面的，有人類生活方面的，還有人體生理方面的，涉及的范圍廣、代表性強，能充分體現(xiàn)負數(shù)在社會生活中的廣泛應用，使學生在學習負數(shù)的同時，提高學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)應用數(shù)學的意識。

為了充分發(fā)揮學生應用數(shù)學的主觀能動性，張老師從多角度、多層次精心設計情境，廣泛拓展學生的知識面。如課堂上有關于海拔的拓展認識，有對世界上最高海拔的拓展，有正確認讀溫度計的指導，有對地面高度為0 的認識，還有對銀行卡中的“-2 元”產(chǎn)生的疑問，更有對“身高為-2 厘米”的研究和探索。通過這一系列內容豐富多彩、方式多種多樣的拓展，學生認識到數(shù)學知識的應用。這樣不但自然而然地引出了課堂結論，而且讓學生在學數(shù)學、用數(shù)學的過程中，進入了社會生活，從而體會到數(shù)學課堂的魅力和樂趣。

張老師培養(yǎng)學生應用數(shù)學的例子給了筆者深刻啟發(fā)：教師教學時要運用發(fā)散思維，聯(lián)系生活實際，把數(shù)學與豐富的社會生活結合起來，帶領學生進入到生活的廣闊天地中學習，讓學生用所學知識解釋生活現(xiàn)象，解決生活問題，這樣，何愁數(shù)學教不出樂趣，何愁學生學不會數(shù)學呢？

四、聚焦懷疑，大力培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識

創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學教育的基本任務。牛頓和齊白石是兩位著名人物。牛頓是偉大的科學家，他曾有許多偉大的發(fā)現(xiàn)，如力學三大定律、萬有引力定律、牛頓環(huán)、光微粒說、冷卻定律以及微積分等，然而到了晚年，他故步自封，因循守舊，不再創(chuàng)新。齊白石在成功后則馬不停蹄，不斷改變自己的畫風，使得作品更加成熟，形成獨特的風格和流派。由此看來，即使是偉大的學者，也不能故步自封，創(chuàng)新是他們保持進步、強大的重要法寶。

正因為創(chuàng)新如此重要，所以在小學數(shù)學教學中增強學生的創(chuàng)新意識，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力非常迫切。教師要從創(chuàng)新意識的基礎、核心和方法三個維度來培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識。

創(chuàng)新意識的基礎，就是學生在學習的過程中產(chǎn)生懷疑，通過懷疑自主發(fā)現(xiàn)問題，即學生要有問題意識。北宋理學家程頤說：“學者先要會疑?！蓖瑯右彩潜彼卫韺W家的張載說：“在可疑而不疑者，不曾學，學則須疑?！眱扇说脑捇疽馑际窍嗤模褪菓岩墒菍W習、治學的基本條件，不懷疑就不能夠有所創(chuàng)新，在治學上就不能夠取得成就。因此，教師要在課堂上創(chuàng)設機遇，激發(fā)學生的懷疑意識，讓學生在不斷的“懷疑—解決”過程中有所收獲。

張老師在這堂課中多次發(fā)出疑問，如“今天我們學習一種新的數(shù)類，叫作負數(shù)。有誰見過負數(shù)？在哪里？”“誰能來說說負數(shù)有什么特點？”“除了這個特點，還有嗎？”……這些問題有的從現(xiàn)實生活中出發(fā)，有的從黑板上學生的板書出發(fā)，但都圍繞“負數(shù)”的基本特征提出問題，引導學生通過自主觀察、深入思考來發(fā)現(xiàn)問題。一連串設計巧妙的問題激起了學生頭腦中的疑問，從而有效培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識。

創(chuàng)新意識的核心是獨立思考和學會思考。發(fā)現(xiàn)問題以后要善于進行獨立思考和對他人話語的辨析思考。獨立思考是在前面懷疑的基礎上進一步的深化。有的人通過懷疑發(fā)現(xiàn)了問題，但是他們不愿意通過自己的努力去解決疑問，而是把對問題的解決寄托在他人身上，這樣就喪失了自主解決問題的契機，創(chuàng)新也就無從談起了。因此，當發(fā)現(xiàn)疑問之后，教師一定要引導學生通過自主探究或者同伴之間合作探究去解決問題。這個方面張老師做得非常好。例如，在某同學說負數(shù)的特點是這個數(shù)的前面有一個減號時，張老師沒有急于否定，而是請這位同學繼續(xù)深入思考這一問題。通過進一步的觀察和思考，該同學消除了自己認識上的誤區(qū)，獨立自主地給出了正確答案。一個小小設計，體現(xiàn)了教師培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維的意識，難能可貴！

要培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識，只是局限于紛繁復雜的表面現(xiàn)象是不行的，必須對各種現(xiàn)象進行本質屬性的提煉，再進行綜合與歸納，才能透過現(xiàn)象，把握本質上的一般規(guī)律，從而有所創(chuàng)新。例如，張老師善于引導學生從生活現(xiàn)象中歸納出負數(shù)的特點，歸納出參照物0 的兩種方法，這對學生的思維培養(yǎng)來說，都體現(xiàn)了一定的創(chuàng)新性。當然，在歸納和概括之后，教師要引導學生對歸納和概括的內容加以必要的驗證，證明它們的科學性，這樣的創(chuàng)新才是真正的創(chuàng)新。

總之，在數(shù)學課堂上，教師要始終聚焦數(shù)學元素，通過自己的精心設計和引導，充分尊重學生學習的主體地位，發(fā)揮他們學習的積極性和能動性，大力開展探究性學習，帶領他們進入數(shù)學學習的王國，從而有效發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)，為他們數(shù)學的終身學習奠定堅實的基礎。