利用Lagrange方程演繹Schrodinger方程的守恒定律

楊 祺 張琦森 鄭永剛

（1.云南師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，昆明 650092；2.云南師范大學(xué) 附屬世紀(jì)金源學(xué)校，昆明 650214）

量子波動(dòng)力學(xué)的方法早在1926年，由物理學(xué)家Schrodinger完成，并發(fā)展為今天的基本理論。然而，量子力學(xué)的波動(dòng)方程和經(jīng)典力學(xué)的場仍然有很多相似之處，我們知道在相對論量子場論中，可以將Draic方程通過最小作用量原理構(gòu)造得到。與此類似的，可以使用最小作用量原理構(gòu)造Schrodinger方程，并且將量子力學(xué)波函數(shù)比作經(jīng)典場的話，量子力學(xué)的能量、動(dòng)量、角動(dòng)量守恒可以完全看成是經(jīng)典場的結(jié)果。本文介紹通過構(gòu)造Schrodinger方程的Lagrange函數(shù)的方法，利用最小作用量原理來得到量子力學(xué)的守恒定律的微分方程——?jiǎng)恿?、能量、角?dòng)量的守恒形式，而其這一結(jié)果并不違背我們熟知的守恒量算符在Hilbert空間的內(nèi)積的結(jié)果。并其通過U（1）對稱性，得到了流守恒定律。

1 Schrodinger方程與Lagrange方程

在相對論性量子力學(xué)中，經(jīng)典場的Lagrange方程[2-3（]文中使用Cartesian張量，采用Einstein求和約定[4]）

由于我們討論Schrodinger方程（或者是波動(dòng)方程）是低能的非相對論方程，因此其Lagrange方程為[1，3，12，14]

對于粒子的Schrodinger方程，我們構(gòu)造其Lagrange密度函數(shù)為[1，3，11]

由此即可生成Schrodinger方程

2 Noether定理和守恒定律

經(jīng)典場在滿足空間、時(shí)間和轉(zhuǎn)動(dòng)不變性時(shí)就分別對應(yīng)動(dòng)量、能量和角動(dòng)量守恒定律，這是我們已經(jīng)熟知的結(jié)果，其守恒定律對應(yīng)為如下方程

其中θij…k為守恒量的空間密度函數(shù)，Θkij…l為對應(yīng)守恒量的守恒流，根據(jù)Noether定理選擇如下無窮小變換[2，3，5，6，15]

場和Lagrange密度的變化為

也就是

所以我們可以得到

積分測度的變化取決于Jacobian行列式

所以因?yàn)樽鴺?biāo)變換而導(dǎo)致的作用量變化為

代入上面的公式，并注意在運(yùn)動(dòng)方程（2）的條件下滿足最小作用量原理，由于

代入作用量變分就可以得到

我們假設(shè)變換具有如下一般形式

當(dāng)aij…k=0時(shí)，變換為恒等變換，因此上面的方程可以構(gòu)造得到

當(dāng)時(shí)間變換滿足，而空間不發(fā)生改變時(shí)，對應(yīng)的守恒密度和守恒流為

這里的ρ就是能量密度，Sk是能流密度矢量；同樣對于空間變換x=x+a，有動(dòng)量守恒，其動(dòng)量密度和動(dòng)量流密度為

選擇空間轉(zhuǎn)動(dòng)變換（無窮小轉(zhuǎn)動(dòng)）[2-3]

其中aij是無窮小轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣，并且滿足aij=-aji，因此

所以根據(jù)（7）（8）的構(gòu)造，對應(yīng)的守恒量

按δij展開后得到

3 Schrodinger場中的力學(xué)量

當(dāng)我們代入三維粒子的Schrodinger方程的Lagrange量（4），由（9）到（14）式得到對應(yīng)的能量密度，動(dòng)量密度，角動(dòng)量密度為

由于量子物理量的積分意義，所以對應(yīng)粒子的能量、動(dòng)量、角動(dòng)量為[7，13]

由于量子的統(tǒng)計(jì)意義，對（15），（16），（17）正是粒子的能量，動(dòng)量，角動(dòng)量在坐標(biāo)表象的分布函數(shù)。（18），（19），（20）與算符在Hilbert空間的內(nèi)積的結(jié)果是一致的。不過，對于量子力學(xué)的波函數(shù)而言，因?yàn)槠鋸?fù)場的性質(zhì)，因而在U（1）對稱性下，也就是在變換ψ′=ψeiα下，根據(jù)（6），（7），（8）構(gòu)造得到有守恒定律[8]。

4 總結(jié)

本文將量子力學(xué)的波函數(shù)當(dāng)成了經(jīng)典力學(xué)的場，通過最小作用量原理構(gòu)成得到了Schrodinger方程的Lagrange函數(shù)，并由Noether定理的構(gòu)造得到量子力學(xué)的動(dòng)量守恒、能量守恒、角動(dòng)量守恒及概率流守恒，這些守恒定律分別對應(yīng)空間、時(shí)間和轉(zhuǎn)動(dòng)不變性以及U（1）對稱性。這個(gè)部分為Schrodinger場論中關(guān)于對稱性和守恒定律的證明，我們希望通過對場論的證明能夠幫助量子物理的學(xué)習(xí)者從經(jīng)典物理的角度來聯(lián)系量子物理的內(nèi)容。因此，文章并未討論二次量子化后的場的算符形式。場論的方程在固體物理中和凝聚態(tài)物理可以和其他準(zhǔn)粒子場耦合，由于不涉及二次量子化，在此不過多贅述。