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    帶收獲率參數(shù)的生物模型穩(wěn)定性分析

    2022-11-16 13:34:08傅仙發(fā)
    保山學(xué)院學(xué)報 2022年5期
    關(guān)鍵詞:食餌捕食者平衡點

    傅仙發(fā)

    (湄洲灣職業(yè)技術(shù)學(xué)院,福建 莆田 351119)

    引言

    隨著社會的不斷發(fā)展,人類對于生物資源的依賴不斷增加,使迅速發(fā)展的生物數(shù)學(xué)面臨著一個重要的問題——如何有效地管理和開發(fā)現(xiàn)有的生物資源,保持生物資源的多樣性和穩(wěn)定性,使資源能為人類長期使用,得到可持續(xù)發(fā)展。為此,首先要考慮到生態(tài)平衡的穩(wěn)定性問題。捕食者-食餌模型作為近些年生物數(shù)學(xué)的主要研究方向[1],模型的穩(wěn)定性問題成為眾多學(xué)者關(guān)注的焦點,相關(guān)的研究文獻也較多,但通過在模型中引入收獲率參數(shù)來分析生物模型穩(wěn)定性方面的文獻不多。本文則是通過在捕食者群體中引入收獲率參數(shù),來分析一類Holling-II型捕食者-食餌模型的穩(wěn)定型問題,研究收獲率參數(shù)對于生物模型穩(wěn)定性的影響,為生態(tài)種群的可持續(xù)性提供一定的理論支持。

    文獻[2,3]對于以下Holling-II型捕食者-食餌模型

    其中,β,γ,δ都是正常數(shù)。對模型(1)引入正的收獲率參數(shù)h,假設(shè)捕食者以連續(xù)恒定收獲率捕食,可將公式(1)表示為

    這就是本文所要研究的捕食者帶收獲率參數(shù)的捕食系統(tǒng)模型[4-5]。

    1 系統(tǒng)的平衡點及其穩(wěn)定性

    若僅僅從生物學(xué)角度和意義方面來看,生物模型在第一象限內(nèi)的動力學(xué)性質(zhì)是我們所要關(guān)心的,即只關(guān)注滿足生物意義的初始條件x1(0)≥0,x2(0)≥0。為此,可以繪制出捕食者與食餌在第一象限內(nèi)的等值線[4-6],如圖1所示:

    圖1 系統(tǒng)(2)捕食者與食餌在第一象限內(nèi)的等值線

    從圖1中可知,收獲率參數(shù)h對系統(tǒng)(2)平衡點的個數(shù)起決定性作用。當(dāng)h足夠大時,系統(tǒng)(2)不存在平衡點,而且種群將會難以維持,逐步走向滅絕。因此控制收獲率h的最大承受量,是自然(或可再生)資源的優(yōu)化管理的需要,也是確保捕食者種群可以繼續(xù)維持的關(guān)鍵[4]。

    還可求得

    (i)當(dāng)h>h0,δ>γ時,在第一象限內(nèi)系統(tǒng)(2)不存在平衡點;

    (ii)當(dāng)h=h0,δ>γ時,在第一象限系統(tǒng)(2)存在唯一平衡點P0;

    (iii)當(dāng)h<h0,δ>γ時,在第一象限內(nèi)系統(tǒng)(2)存在兩個平衡點

    在數(shù)學(xué)上系統(tǒng)(2)的曲面被稱為鞍結(jié)點曲面[4,5,7]。由定理可知,

    是一個鞍結(jié)分岔曲面。并且當(dāng)正參數(shù)β,δ,γ從曲面的一端穿到另一端時,系統(tǒng)(2)經(jīng)歷了一個鞍結(jié)分岔,其平衡點的數(shù)量從0個變?yōu)?個,并且這2個平衡點分別是雙曲鞍點和結(jié)點。對此鞍結(jié)分岔的生物學(xué)解釋是,當(dāng)h>h0時,捕食者趨于滅絕,系統(tǒng)崩潰[4];當(dāng)h≤h0時,捕食者不會滅絕[2,8,9]。下面給出了系統(tǒng)(2)在特定值下,收獲率參數(shù)發(fā)生微小變化時的三組鞍結(jié)分岔圖(見圖2(a-c)所示)。

    圖2 系統(tǒng)(2)的鞍結(jié)分岔

    2 捕食者帶收獲率模型的Hopf分岔

    為簡便起見,本文僅對系統(tǒng)(2)發(fā)生Hopf分岔的參數(shù)條件進行分析。

    若系統(tǒng)(2)在平衡點(x?1,x?2)附近產(chǎn)生了Hopf分岔,此時對應(yīng)系統(tǒng)的雅克比矩陣為[4,5,10]:

    很明顯地,當(dāng)發(fā)生Hopf分岔時,矩陣J有一對純虛特征值,于是得到了系統(tǒng)(2)發(fā)生Hopf分岔的參數(shù)條件:

    參數(shù)發(fā)生變化時的穩(wěn)定性變化情況,可見選取合適的參數(shù)值產(chǎn)生的Hopf分層圖。下面作出了系統(tǒng)(2)在給定特定值下,收獲率參數(shù)發(fā)生微小變化時的Hopf分岔圖[6,10(]見圖3(a-b)所示)。

    圖3 系統(tǒng)(2)的Hopf分岔圖

    3 結(jié)語

    對一般的Holling-2型捕食者-食餌模型(1),本文將捕食者的收獲用收獲率參數(shù)h來表示,通過對生物系統(tǒng)(2)的平衡點和穩(wěn)定性分析,給出了在特定值下的鞍結(jié)合Hopf分岔圖,得出了收獲率參數(shù)對維護生物種群穩(wěn)定、防止種群滅絕都具有重要的參考價值。

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