一種深度學習稀疏單快拍DOA估計方法

朱晗歸 馮存前 馮為可 劉成梁

（中國人民解放軍空軍工程大學，防空反導學院，陜西西安 710051）

1 引言

波達方向（Direction of Arrival，DOA）估計技術(shù)廣泛應用于雷達、聲納、電子偵察、無線電通信等領(lǐng)域，是陣列信號處理的一個重要研究方向［1］。典型的DOA 估計方法包括：Capon 空間譜估計方法［2］、特征子空間類多重信號分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）方法［3］和基于旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的信號參數(shù)估計方法（Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Technique，ESPRIT）［4］等。這些方法可以獲得較高的角度分辨率，實際應用廣泛，但需要利用多快拍接收數(shù)據(jù)對信號協(xié)方差矩陣進行估計，且無法對相干信號源進行有效處理。為解決這些問題，學者們提出了空間平滑和矩陣重構(gòu)等改進方法［5-6］進行解相干處理，利用單快拍接收數(shù)據(jù)估計信號協(xié)方差矩陣進行DOA 估計。然而，這些方法往往具有角度分辨率降低、計算復雜度升高等問題。

近年來，稀疏恢復（Sparse Recovery，SR）理論的發(fā)展［7-11］為DOA 估計提供了新的思路。通過對角度空間或空間頻率進行網(wǎng)格劃分，構(gòu)建導向矢量字典，使得陣列接收數(shù)據(jù)呈現(xiàn)稀疏特性，可以將DOA估計問題轉(zhuǎn)化為稀疏信號的恢復問題，從而利用單快拍數(shù)據(jù)對相干信號源進行高分辨DOA 估計。目前，用于求解SR-DOA 模型的算法主要包括L1 范數(shù)最小化算法、正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法和平滑L0（Smoothed L0，SL0）算法［12-14］等。其中，L1范數(shù)最小化算法將SR問題轉(zhuǎn)化為二階錐規(guī)劃問題進行求解，具有較高的精度，但運算比較復雜；OMP 算法計算成本低、估計誤差較小，但往往需要信號稀疏度等先驗信息；SL0算法估計精度高、無需先驗信息、運算復雜度低，但通常需要對其參數(shù)進行設(shè)置，限制了其在實際中的應用。

隨著深度學習（Deep Learning，DL）技術(shù)的發(fā)展［15］，相關(guān)學者將深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Deep Neural Networks，DNN）技術(shù)應用到DOA 估計之中。例如，文獻［16］首先基于自編碼器進行空間濾波，然后通過多層感知器進行信號擬合，實現(xiàn)了兩源DOA 估計；文獻［17］將DOA 估計問題轉(zhuǎn)化為多分類問題，利用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（Convolutional Neural Network，CNN）實現(xiàn)了不同信號源條件下的DOA 估計；文獻［18］提出了Deep-MUSIC 方法，利用多個CNN 學習接收數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣與MUSIC 空間譜之間的非線性關(guān)系，實現(xiàn)了多源DOA 估計。但是，上述方法實現(xiàn)DOA估計的理論性和可解釋性不強，且均需多快拍數(shù)據(jù)進行協(xié)方差矩陣估計，作為DNN的輸入。

為利用DNN 的優(yōu)點，并保持SR 的可解釋性，Gregor 等提出了深度展開（Deep Unfolding，DU）方法［19］。DU 方法的本質(zhì)是將特定的迭代SR 算法展開為一個DNN，網(wǎng)絡(luò)層數(shù)代表SR 算法的迭代次數(shù)，網(wǎng)絡(luò)各層的參數(shù)代表SR 算法的迭代參數(shù)。利用訓練數(shù)據(jù)對該DNN 進行訓練，可以獲得所對應SR 算法的最優(yōu)參數(shù)，從而提高稀疏恢復性能。受DU 方法的啟發(fā)，為解決現(xiàn)有SR-DOA 方法存在的參數(shù)設(shè)置困難、精度有待提高等問題，本文結(jié)合模型驅(qū)動的SL0 算法和數(shù)據(jù)驅(qū)動的DL 方法，提出SL0 網(wǎng)絡(luò)（SL0-Net），用于求解SR-DOA 模型，獲得高分辨DOA 估計。首先，建立了SR-DOA 模型，對SL0算法進行了介紹，并分析了其數(shù)據(jù)流圖。其次，將SL0算法展開為一個多層DNN，構(gòu)建了SL0-Net，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)主要包括更新層和投影層，網(wǎng)絡(luò)參數(shù)為SL0 算法的逼近參數(shù)和迭代步長。最后，通過定義網(wǎng)絡(luò)損失函數(shù)、構(gòu)建數(shù)據(jù)集，對SL0-Net 進行訓練，得到最優(yōu)參數(shù)進行DOA 估計。仿真實驗結(jié)果表明，相比SL0 算法，本文所提出的SL0-Net 能夠在運算復雜度較低的條件下提高DOA 估計性能；相比于L1 算法和OMP 算法，SL0-Net 能夠在信號源數(shù)目未知的情況下快速獲得高分辨DOA估計結(jié)果。

2 信號模型

2.1 SR-DOA模型

假設(shè)有Z個遠場窄帶信號入射到由M個陣元構(gòu)成的一維均勻線陣（Uniform Linear Array，ULA），則第ti(i=1，2，…，I) 時刻陣列接收的信號可表示為：

式中sz(ti)為第z個信號的復幅度，z=1，2，…，Z，n(ti)為零均值高斯白噪聲，a(fz)為第z個信號的導向矢量，表示為：

式中fz=2dsinθz/λ為第z個信號所對應的空間頻率，d為陣元間距，λ為信號波長，θz為第z個信號與陣列之間的夾角，[·]T表示轉(zhuǎn)置。

式（1）可改寫為矢量形式，表示為：

式中AZ=[a(f1)，a(f2)，…，a(fZ)]∈CM×Z為信號導向矢量矩陣，sZ(ti)=[s1(ti)，s2(ti)，…，sZ(ti)]∈CZ×1為信號幅度矢量。

DOA 估計的目的在于基于式（3）得到不同入射信號的空間頻率f1，f2，…，fZ，從而得到信號角度θ1，θ2，…，θZ。若I=1，則對應單快拍DOA 估計模型；若I＞1，則對應多快拍DOA 估計模型。本文僅考慮單快拍下的DOA 估計，因此在后續(xù)推導中將忽略時間變量ti。

為基于SR-DOA 模型進行DOA 估計，可將整個空間頻率范圍平均劃分為N個網(wǎng)格，基于不同的空間頻率f1，f2，…，fN構(gòu)造導向矢量字典A，表示為：

在此基礎(chǔ)上，假設(shè)Z個入射信號的空間頻率均位于所劃分的網(wǎng)格上，則陣列接收信號矢量可表征為：

式中s∈CN×1為N個空間頻率所對應的復幅度矢量。由于信號源個數(shù)Z一般遠小于網(wǎng)格數(shù)N，因此s中僅包含少量非零元素，即s為稀疏的。基于此，可以將DOA 估計問題轉(zhuǎn)化為如下所示的稀疏恢復問題：

式中ε表示噪聲電平分別表示向量的L0范數(shù)和L2范數(shù)。

2.2 SL0算法

由于L0范數(shù)是向量的不連續(xù)函數(shù)，因此需要利用組合搜索的方法對式（6）進行求解，這種方法運算復雜度高，無法在實際中進行應用。為解決這個問題，SL0 算法通過構(gòu)造一簇高斯函數(shù)逼近L0 范數(shù)，從而將離散函數(shù)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)優(yōu)化問題，并結(jié)合最速下降法和梯度投影法最小化平滑函數(shù)所構(gòu)成的代價函數(shù)，對式（6）進行求解。具體而言，考慮如下函數(shù)：

其滿足：

因此，假設(shè)sn為s的第n個元素，定義如下代價函數(shù)：

則式（6）可以轉(zhuǎn)化為下式進行求解

逼近參數(shù)σ決定了Fσ(s)逼近L0范數(shù)的程度和平滑性：σ越小，則Fσ(s)越接近于L0 范數(shù)，但越不光滑，造成式（10）越難以求解。為了能夠盡可能得到式（6）的最優(yōu)解，SL0 算法采用一個σ的遞減序列對式（10）進行求解，其具體過程如表1所示。

表1 SL0算法Tab.1 SL0 algorithm

對于SL0 算法，σ序列和μ序列均提前給定，一般情況下可令σ1=2max|s(0)|，σk=cσk-1，c=0.5～1，μ1=…=μK=μ＞0。然而，固定的σ和μ并不能保證SL0 算法獲得最好的收斂結(jié)果，不恰當?shù)脑O(shè)置將會導致SL0算法估計精度下降、收斂速度變慢。

2.3 SL0數(shù)據(jù)流圖

為了方便構(gòu)建本文SL0-Net，如圖1所示，將SL0算法的主要迭代步驟映射為一個數(shù)據(jù)流圖，其主要由SL0算法所對應的不同節(jié)點和不同節(jié)點之間表示數(shù)據(jù)流動的有向邊組成。數(shù)據(jù)流圖的第k層表示SL0算法的第k次外層迭代，其包括2L個子層，即更新層和投影層?？梢钥闯?，SL0算法的K× 2L次迭代可以映射為一個K層的數(shù)據(jù)流圖，輸入的陣列接收數(shù)據(jù)將沿著此數(shù)據(jù)流圖進行傳遞，獲得DOA估計結(jié)果。

圖1 SL0算法的數(shù)據(jù)流圖Fig.1 The data flow graph of SL0 algorithm

3 基于SL0-Net的DOA估計

實際上，對于式（6）所示的SR 問題，當導向矢量字典A固定，且向量s服從一定的稀疏分布時，接收數(shù)據(jù)y也會服從一定的分布。此時，可假設(shè)存在一組最優(yōu)的σ序列和μ序列，使得對于所有服從一定分布的數(shù)據(jù)，SL0算法均能夠進行高效稀疏恢復。因此，為了解決SL0算法所存在的參數(shù)設(shè)置問題，結(jié)合模型驅(qū)動算法的可解釋性和數(shù)據(jù)驅(qū)動深度學習方法的非線性擬合能力，本節(jié)基于SL0 算法的迭代步驟和數(shù)據(jù)流圖，構(gòu)建SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)，將其用于求解SR-DOA 模型。SL0-Net 主要包括更新層和投影層，網(wǎng)絡(luò)參數(shù)為逼近參數(shù)σ和迭代步長μ?；诜囊欢ǚ植嫉挠柧殧?shù)據(jù)對SL0-Net 進行訓練，能夠獲得最優(yōu)的σ序列和μ序列，提高DOA估計的性能。

下面，對SL0-Net 的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)集構(gòu)建、參數(shù)學習策略、初始化與訓練方法四部分內(nèi)容進行具體描述。

3.1 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

根據(jù)表1 所示的算法步驟和圖1 所示的數(shù)據(jù)流圖，可以將SL0 算法等效為一個如圖2 所示的K層網(wǎng)絡(luò)，即SL0-Net，其輸入為y、A和s(0)，參數(shù)為{σ1，…，σK}和{μ1，…，μK}，非線性激活函數(shù)為PL(·)，輸出為s(K)。其中，SL0-Net 的第k（k=1，2，…，K）層運算可表示為：

圖2 SL0-Net網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.2 The network structure of SL0-Net

非線性激活函數(shù)PL(·)即為SL0 算法的內(nèi)部循環(huán)（即表1中的步驟3），可以表示為一個L層的子網(wǎng)絡(luò)，其輸入為和μk，輸出為第l層（l=1，2，…，L）的結(jié)構(gòu)如圖3所示，其主要包括更新層（藍色框）和投影層（橙色框），具體描述如下。

圖3 子網(wǎng)絡(luò)P（L·）的第l層網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)Fig.3 The structure of the l-th layer of sub-network P（L·）

3.2 數(shù)據(jù)集構(gòu)建

本文所構(gòu)建的SL0-Net 是一種“模型+數(shù)據(jù)”聯(lián)合驅(qū)動的稀疏恢復方法，合理構(gòu)建具有泛化能力的數(shù)據(jù)集是決定其有效性的關(guān)鍵。只有構(gòu)建充足完備的數(shù)據(jù)集，SL0-Net 在訓練過程中才不容易出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象，從而獲得較好的稀疏恢復性能。為了使得信號源的數(shù)量、DOA 和幅度以及陣列接收數(shù)據(jù)均具有一定的分布，本文按照“固定導向矢量字典A、隨機產(chǎn)生具有一定分布的稀疏向量s、生成對應的陣列接收數(shù)據(jù)y”的方式構(gòu)建數(shù)據(jù)集。具體而言：

1）給定陣元數(shù)M、陣元間隔d、波長λ、空間頻率范圍[fmin，fmax]和網(wǎng)格數(shù)N，根據(jù)式（4）構(gòu)建導向矢量字典A；

2）產(chǎn)生Q個稀疏向量s作為訓練標簽集（即、O個稀疏向量s作為測試標簽集（即，其中每個s的各個元素相互獨立，服從伯努利分布，以概率P具有非零值，且非零元素的幅度服從復標準正態(tài)分布；

需要說明的是，由于在實際應用中噪聲電平一般是未知的，因此本文在訓練SL0-Net 的過程中，僅利用不含噪聲的訓練數(shù)據(jù)，在測試時則在數(shù)據(jù)中加入噪聲以驗證SL0-Net在不同SNR條件下的性能。

3.3 參數(shù)學習策略

所構(gòu)建SL0-Net 的參數(shù)包括{σ1，…，σK}和{μ1，…，μK}，為對它們進行優(yōu)化，本文考慮兩種網(wǎng)絡(luò)參數(shù)學習策略，分別對應SL0-Net1和SL0-Net2。

（1）SL0-Net1

參考SL0 算法的參數(shù)設(shè)置，SL0-Net1令σk=cσk-1、μ1=…=μk，其中c為衰減因子。因此，該網(wǎng)絡(luò)將僅對σ1、c和μ1三個參數(shù)進行學習，以獲得較好的{σ1，…，σK}和{μ1，…，μK}。這種方式的優(yōu)勢在于網(wǎng)絡(luò)學習參數(shù)較少，因此訓練時間較短、陷入局部最優(yōu)的概率較小，缺點在于網(wǎng)絡(luò)的非線性擬合能力不足。

（2）SL0-Net2

SL0-Net2不再受限于σk=cσk-1和μ1=…=μk，而是對于每一層的σk和μk均進行學習，相應的網(wǎng)絡(luò)學習參數(shù)個數(shù)為2K。這種學習策略的優(yōu)勢在于靈活性高，網(wǎng)絡(luò)具有較高的非線性擬合能力，缺點在于網(wǎng)絡(luò)容易陷入局部最優(yōu)、訓練時間較長。需要強調(diào)的是，由于包含的運算相同，因此在相同層數(shù)的條件下，經(jīng)過訓練的SL0-Net1 和SL0-Net2 在應用時將具有相同的運算復雜度。

3.4 初始化和訓練方法

網(wǎng)絡(luò)的初始化和訓練方法對于SL0-Net 的性能具有一定的影響：較好的初始化和訓練方法能夠使得網(wǎng)絡(luò)更容易達到收斂，在一定程度上避免陷入局部最優(yōu)。

（1）初始化

為了使所提出的SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)適用于具有一定分布的所有陣列接收數(shù)據(jù)和稀疏向量，而不是僅對單一數(shù)據(jù)對有效，我們令網(wǎng)絡(luò)的輸入s(0)=0，且根據(jù)SL0 算法的典型參數(shù)設(shè)置，在SL0-Net1 中，按照的方式進行初始化，其中在SL0-Net2 中，按照的方式進行初始化。需要強調(diào)的是，與SL0 算法相比，SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)在初始化時避免了計算y=As的最小二乘范數(shù)解。因此，在迭代次數(shù)相同的情況下，SL0-Net網(wǎng)絡(luò)的運算復雜度較低。

（2）訓練方法

給定網(wǎng)絡(luò)層數(shù)K和訓練數(shù)據(jù)集，定義歸一化均方誤差（Normalized Mean Square Error，NMSE）為網(wǎng)絡(luò)損失函數(shù)，表示為：

對于SL0-Net2，為了避免陷入局部最優(yōu)，可利用逐層訓練的方法對網(wǎng)絡(luò)參數(shù)進行學習。具體而言，在對網(wǎng)絡(luò)前k層進行訓練獲得的前提下，分兩步對網(wǎng)絡(luò)的前k+1層參數(shù)進行訓練。首先，保持不變，利用后向傳播算法求解如式（16）所示的優(yōu)化問題學習網(wǎng)絡(luò)的第k+1層參數(shù)Θk+1：

利用逐層訓練的方法，從第1 層開始一直到第K層，即可學習得到SL0-Net2 的最優(yōu)參數(shù)Θ*=

在對其網(wǎng)絡(luò)參數(shù)進行學習優(yōu)化后，即可將SL0-Net 應用于實際的DOA 估計之中。具體而言，對于新的陣列接收數(shù)據(jù)，可利用下式獲得DOA估計結(jié)果：

4 仿真實驗

本節(jié)通過仿真實驗對所提SL0-Net的DOA 估計性能進行驗證，并與SL0 算法、OMP 算法和L1 范數(shù)最小化算法進行對比分析。其中，在不同仿真中均設(shè)陣元間隔d=λ/2、空間頻率范圍為[-1，1]、SL0 算法內(nèi)部循環(huán)的次數(shù)和SL0-Net 子網(wǎng)絡(luò)PL(·)的層數(shù)均為L=3。本文根據(jù)式（14）定義的NMSE 指標衡量不同算法的DOA 估計性能，所有仿真均基于MATLAB 2021a實現(xiàn)，平臺為聯(lián)想P920圖形工作站，算法運行時間基于MATLAB的TIC和TOC命令獲得。

4.1 DOA估計性能

首先，給定陣元數(shù)M=40、網(wǎng)格數(shù)N=161、稀疏概率P=0.01，驗證SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)的DOA 估計性能及其相比其他算法的優(yōu)勢。

將SL0-Net 的網(wǎng)絡(luò)層數(shù)設(shè)為K=10，根據(jù)3.2 節(jié)所述方法構(gòu)建Q=10000 的不含噪聲的訓練數(shù)據(jù)集，利用Adam 算法（迭代次數(shù)為4000）對SL0-Net1和SL0-Net2 分別進行訓練，可獲得如表2 和表3 所示的網(wǎng)絡(luò)參數(shù)優(yōu)化結(jié)果?？梢钥闯?，兩種參數(shù)學習策略得到的{σ1，…，σK}和{μ1，…，μK}均與SL0 算法的典型設(shè)置不同。特別是SL0-Net2，學習得到的參數(shù)不受σk=cσk-1和μ1=…=μk限制，具有更高的靈活性。在對網(wǎng)絡(luò)進行訓練后，構(gòu)建O=1000 的不含噪聲的測試數(shù)據(jù)集，分析比較SL0、SL0-Net1 和SL0-Net2 的DOA 估計性能。其中，SL0 算法的參數(shù)為：迭代次數(shù)K=10，對于每一測試數(shù)據(jù)。圖4給出了SL0、SL0-Net1 和SL0-Net2 對四個測試樣本進行處理所得到的DOA 估計結(jié)果。可以看出，在不同信號源數(shù)目的條件下，本文所提SL0-Net，特別是SL0-Net2，均能夠獲得相比SL0 算法更優(yōu)的DOA 估計結(jié)果，SL0-Net的估計精度更高、旁瓣水平更低。

圖4 SL0算法、SL0-Net1和SL0-Net2的DOA估計結(jié)果Fig.4 DOA estimation results obtained by SL0，SL0-Net1，and SL0-Net2

表2 SL0-Net1參數(shù)訓練結(jié)果Tab.2 Parameter optimization results of SL0-Net1

表3 SL0-Net2參數(shù)訓練結(jié)果Tab.3 Parameter optimization results of SL0-Net2

圖5給出了利用L1范數(shù)最小化算法、OMP 算法和所提SL0-Net2 對四個不同測試樣本進行處理所得到的DOA 估計結(jié)果。由圖5（a）和圖5（c）可以看出，當信號源角度間隔較大且信號源個數(shù)已知時，L1 算法和OMP 算法相比所提方法性能較優(yōu)。由圖5（b）可以看出，當信號源角度間隔較小時，所提SL0-Net2 能夠更容易分辨出不同的信號源，相比L1算法和OMP 算法具有更高的角度分辨率。由圖5（d）可以看出，當信號源個數(shù)未知時，OMP 算法容易丟失信號源（該樣本所包含的信號源個數(shù)為4，OMP 算法的迭代次數(shù)設(shè)為3）。進一步的，表4 給出了利用不同算法對所有測試樣本（O=1000）進行處理所需要的運行時間和所得到的DOA 估計誤差，其中OMP 算法的迭代次數(shù)按照不同測試樣本所包含的信號源個數(shù)進行設(shè)置?？梢钥闯?，所提SL0-Net的DOA 估計性能僅次于L1 算法，運行時間僅次于OMP 算法。因此，相比于L1 算法、OMP 算法和SL0算法，SL0-Net 更適于實際環(huán)境中信號源個數(shù)未知條件下的快速高分辨DOA估計。

表4 不同算法DOA估計的運行時間和歸一化均方根誤差Tab.4 Running time and NMSEs of different algorithms

圖5 L1算法、OMP算法和SL0-Net2的DOA估計結(jié)果Fig.5 DOA estimation results obtained by L1，OMP，and SL0-Net2

4.2 SL0-Net分析

本小節(jié)對SL0-Net的DOA 估計性能與網(wǎng)絡(luò)層數(shù)K、稀疏概率P、網(wǎng)格數(shù)N、信噪比SNR 的關(guān)系進行分析。由于SL0-Net2 相比SL0-Net1 具有更優(yōu)的性能，下面僅對SL0-Net2進行分析。

傳統(tǒng)蒽環(huán)類藥物目前依然廣泛地用于治療各種惡性腫瘤，但其骨髓抑制和心臟毒性等不良反應嚴重限制了臨床應用。脂質(zhì)體阿霉素的心臟毒性、骨髓抑制、脫發(fā)等不良反應較傳統(tǒng)蒽環(huán)類藥物顯著降低，能否取代傳統(tǒng)蒽環(huán)類藥物有待進行更多、更大規(guī)模的臨床研究加以驗證。

首先，給定陣元數(shù)M=20/30/40、網(wǎng)格數(shù)N=161、稀疏概率P=0.01，生成不含噪聲的測試數(shù)據(jù)，驗證SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)性能與網(wǎng)絡(luò)層數(shù)K之間的關(guān)系，所得結(jié)果如圖6所示。可以看出，隨著網(wǎng)絡(luò)層數(shù)的增加，SL0-Net 的NMSE 逐漸減少，DOA 估計性能不斷提高，且均優(yōu)于SL0 算法。由于SL0 算法的參數(shù)固定，過多的迭代次數(shù)并不能顯著提高其DOA 估計性能。相比之下，所提SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)的可學習參數(shù)隨著網(wǎng)絡(luò)層數(shù)的增加而增多，通過訓練優(yōu)化，可以獲得更優(yōu)的性能。此外，隨著陣元數(shù)的增加，SL0算法和SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)的DOA 估計性能也相應提高。相比SL0 算法，為獲得相近的DOA 估計性能，所提SL0-Net所需要的網(wǎng)絡(luò)層數(shù)和陣元數(shù)更少。

圖6 NMSE與網(wǎng)絡(luò)層數(shù)K的關(guān)系Fig.6 NMSE versus the network layer number K

接著，給定陣元數(shù)M=20/30/40、網(wǎng)格數(shù)N=161、網(wǎng)絡(luò)層數(shù)K=10，生成不含噪聲的測試數(shù)據(jù)，驗證SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)性能與稀疏概率P之間的關(guān)系，所得結(jié)果如圖7 所示。可以看出，在不同稀疏概率的情況下，所提SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)的DOA 估計性能均優(yōu)于SL0 算法。因此，相比SL0 算法，在其他條件相同的情況下，所提SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)能夠?qū)Ω嘈盘栐催M行DOA 估計。但是，隨著稀疏概率的增加，兩種算法的NMSE 均逐漸增加，DOA 估計性能變差。這是因為在陣元數(shù)一定的情況下，信號源個數(shù)越少，稀疏恢復的性能越優(yōu)，反之則越差。

圖7 NMSE與稀疏概率P的關(guān)系Fig.7 NMSE versus the sparse probability P

然后，給定陣元數(shù)M=20/30/40、稀疏概率P=0.01、網(wǎng)絡(luò)層數(shù)K=10，生成不含噪聲的測試數(shù)據(jù)，驗證SL0-Net網(wǎng)絡(luò)的性能與網(wǎng)格數(shù)N（對應角度分辨率）之間的關(guān)系，所得結(jié)果如圖8 所示?？梢钥闯?，在不同網(wǎng)絡(luò)數(shù)的情況下，所提SL0-Net 的DOA 估計性能均優(yōu)于SL0 算法。因此，相比SL0 算法，在其他條件相同的情況下，所提SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)能夠獲得更高的角度分辨率。但是，隨著網(wǎng)格數(shù)的增加（即可能的信號源角度間隔減?。瑑煞N算法的NMSE均逐漸增加，DOA 估計性能變差。這是因為在陣元數(shù)一定的情況下，多個信號源之間的角度越接近，稀疏恢復的性能越差，反之則越優(yōu)。

圖8 NMSE與網(wǎng)格數(shù)N的關(guān)系Fig.8 NMSE versus the grid number N

最后，給定陣元數(shù)M=20/30/40、網(wǎng)格數(shù)N=161、稀疏概率P=0.01、網(wǎng)絡(luò)層數(shù)K=10，生成具有不同SNR 的測試數(shù)據(jù)，驗證SL0-Net 網(wǎng)絡(luò)的性能與陣列接收數(shù)據(jù)信噪比之間的關(guān)系，所得結(jié)果如圖9所示?？梢钥闯?，雖然SL0 和SL0-Net 在SNR 小于10 dB 時性能均較差，但當SNR 大于10 dB 后，SL0-Net 的DOA 估計性能均優(yōu)于SL0 算法。因此，在其他條件相同的條件下，SL0-Net 具有更高的噪聲魯棒性。此外，當SNR ＞20 dB，SL0-Net 的DOA 估計NMSE 趨于穩(wěn)定，且接近于無噪聲情況下獲得的結(jié)果。這意味著，即使利用無噪聲數(shù)據(jù)進行網(wǎng)絡(luò)訓練，SL0-Net 依然能夠獲得較好的參數(shù)結(jié)果，能夠?qū)肼暤膶嶋H陣列接收數(shù)據(jù)進行DOA估計。

圖9 NMSE與信噪比的關(guān)系Fig.9 NMSE versus SNR

5 結(jié)論

針對單快拍DOA 估計問題，本文在建立信號模型和對SL0 算法進行分析的基礎(chǔ)上，提出了模型和數(shù)據(jù)聯(lián)合驅(qū)動的SL0-Net 方法，對其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)集構(gòu)建、參數(shù)學習策略、初始化與訓練方法等內(nèi)容進行了詳細介紹，并通過不同的仿真實驗對其性能進行了驗證。仿真結(jié)果表明，所提SL0-Net相比SL0算法具有更高的DOA 估計性能，且具有更低的運算復雜度。在其他條件相同的條件下，相比SL0算法，SL0-Net 所需的迭代次數(shù)和陣元數(shù)更少，能夠?qū)Ω嗟男盘栐催M行DOA 估計，且具有更高的分辨率和噪聲魯棒性。與L1 范數(shù)最小化算法和OMP 算法相比，SL0-Net 在信號源數(shù)目未知的條件下，能夠快速獲得高分辨DOA 估計結(jié)果?？紤]到實際應用中不可避免地存在陣列誤差，因此下一步將對誤差條件下SL0-Net 的改進方法進行深入研究，并將其應用于實際數(shù)據(jù)的處理之中。