吳曉明
合肥市第一中學(xué),合肥 230601
在高中物理學(xué)習中,我們不僅借助于數(shù)學(xué)學(xué)習中嚴密的邏輯思維能力,還需要運用各類數(shù)學(xué)方法進行分析、討論、推理、演算,從而最終得出結(jié)果。如果在物理學(xué)習中,依據(jù)物理原理建立起若干方程,卻不會運用數(shù)學(xué)方法進行求解,依然功敗垂成。因此,在高考考場上,凡是中學(xué)階段學(xué)到的數(shù)學(xué),如代數(shù)、三角、幾何、解析幾何等,都可以成為求解高考物理試題的數(shù)學(xué)工具。物理極值問題是物理與數(shù)學(xué)融合的典范,它既要求學(xué)生能正確分析物理情境、建立合理的物理模型,又要求學(xué)生具有較高的數(shù)學(xué)解題技巧[1]。通過大量的教學(xué)實踐總結(jié),高中物理中研究極值問題一般有以下幾種方法。
如果方程ax2+bx+c=0有實根,那么它的判別式一定滿足條件Δ=b2-4ac≥0,利用這一性質(zhì),我們可以將待求物理量與自變量之間建立起一元二次函數(shù)關(guān)系,通過解不等式Δ=b2-4ac≥0,找出函數(shù)的極值。
例1如圖1所示,用細線豎直懸掛一個質(zhì)量為M的圓環(huán),在環(huán)上套有兩個相同的、質(zhì)量均為m的光滑小球,現(xiàn)設(shè)法使兩球從圓環(huán)最高點沿兩側(cè)由靜止滑下,若下滑至某處懸繩的拉力恰好等于零,則m至少多大?
圖1 例1圖示
解析設(shè)圓環(huán)半徑為R,取其中一個小球為研究對象,如圖2所示,某時刻小球下滑到A點,此時小球與圓環(huán)圓心連線和豎直方向成θ角。
圖2 例1解析圖示
根據(jù)牛頓第二定律可知
整個下滑過程中,由機械能守恒可知
聯(lián)立(1)(2)兩式得
以圓環(huán)為研究對象,由平衡條件可知
將(3)式代入(4)式,得
根據(jù)高中數(shù)學(xué)知識可知,函數(shù)y=acosθ+bsinθ,我們可以變化為:
例2如圖3所示,質(zhì)量為m的滑塊以初速度v0從斜面底端沿斜面向上運動,滑塊和斜面之間的動摩擦因數(shù),重力加速度為g。若斜面傾斜角度可以調(diào)節(jié),求:當斜面傾角為多大時,滑塊滑行的最大距離最???最小值是多少?
圖3 例2圖示
解:當θ變化時,設(shè)沿斜面向上為正方向,滑塊的加速度為a,則:
滑塊的滑行距離x滿足:
中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習中,我們常常借助圖像來研究函數(shù)性質(zhì),如何將函數(shù)圖像的幾何特征與代數(shù)特征進行緊密結(jié)合,往往也是求解問題的關(guān)鍵所在。在高中物理定量分析問題中,除了通過物理規(guī)律建立起各種物理量的函數(shù)關(guān)系、進行代數(shù)聯(lián)立求解以外,圖像這種語言在傳遞信息的同時,也可以在特定情境下幫助我們簡化代數(shù)運算、尋找出問題的答案。
例3如圖4所示,在光滑的水平面上靜置一質(zhì)量為M、長度為L的木塊,現(xiàn)有一質(zhì)量為m的子彈以水平速度v0射向木塊,若v0大小可隨意調(diào)整,請問v0滿足什么條件時,在整個子彈打擊木塊的過程中,木塊獲得的動能最大?不考慮子彈豎直方向的下落運動,假設(shè)子彈打入木塊時二者之間相互作用力f大小保持不變,重力加速度為g。
圖4 例3圖示
解析如果子彈初速度太小,打擊過程中,木塊獲得的動能肯定較少;子彈初速度不斷增大時,木塊動能是否持續(xù)增加呢?這顯然需要定量的分析,如果以子彈初速度v0為自變量,木塊動能為因變量,建立起函數(shù)關(guān)系尋找極值,代數(shù)運算會比較繁瑣,我們不妨用v-t圖像來展現(xiàn)這個過程,尋找答案。
如圖5所示,v-t圖像中陰影部分面積為子彈擊穿木塊的過程中二者的相對位移,即等于木塊長度L。對比圖6可知減小子彈初速度v0,由于子彈擊穿木塊的過程二者的相對位移保持不變,故而木塊在此過程中獲得的速度更大。由此分析可知,當滿足子彈剛好擊穿木塊二者共速時,木塊獲得的動能最大。
圖 5 v-t圖
圖 6 v-t圖
根據(jù)系統(tǒng)動量守恒定律可知
由能量守恒可知
由幾何知識可知,從一點到某一直線垂線段最短。這一幾何特征運用于高中物理求解問題時,往往被構(gòu)建在矢量三角形中,利用矢量三角形分析求解動態(tài)平衡問題就是最好的例子(受篇幅限制,本文不再探討該問題)。但是受這個知識點影響,在思維方式中,學(xué)生常常固化地認為矢量三角形只能求解動態(tài)平衡問題,其實矢量三角形也可以在分析其他矢量運算時助力極值問題求解。
例4某同學(xué)在距離地面高度h處以一定大小的速度v0斜拋一小球,當其速度與水平方向夾角不同時,落地點與拋出點的水平距離即射程大小也不同,不計空氣阻力,則最大射程是多少?
解析設(shè)小球初速度方向與水平面夾角為α,空中運動時間為t,落地速度大小為v,與水平方向夾角為β,由機械能守恒可知:
圖7 例4解析圖示
該三角形面積為
故當 α+β=90°時,S面積取極大值。
代入(1)(4)(5)式解得
1662年法國科學(xué)家皮埃爾·德·費馬提出:過空間中兩定點的光,實際路徑總是光程(或者時間)最短。這是幾何光學(xué)中一個最普通的基本原理,稱為費馬原理。用微分或變分法可以從費馬原理導(dǎo)出以下三條幾何光學(xué)定律:光在均勻介質(zhì)(或者真空)中沿直線傳播、光的反射定律、光的折射定律。折射定律涉及的介質(zhì)折射率定義為,其中v是光在介質(zhì)中的傳播速度,c是光在真空中的傳播速度,而光在兩種不同介質(zhì)面上折射時,有[2]。這一規(guī)律可以被用于運動學(xué)中當物體在兩個不同的速度區(qū)域運動時與時間相關(guān)的問題,即類折射問題。
例5如圖8所示,MN為沿著湖岸的一條筆直馬路,路人甲行走到A點位置時,忽然聽見湖中C點傳來路人乙落水的求救聲,落水點到馬路的垂線段長,路人甲急忙奔跑至C點救人。已知xAB=30 m,路人甲在馬路上奔跑速度v1=7 m/s,在水中游泳速度v2=1 m/s,請問路人甲奔跑至哪個位置入水游泳到C點位置所需時間最短?最短時間是多少?[3]
圖8 例5圖示
解析把路人甲視為光子,馬路相當于“光疏介質(zhì)”,湖水相當于“光密介質(zhì)”。
如圖9所示,路人甲沿著馬路運動至D點跳入湖中,沿DC方向游向C點,類比折射定律可知
圖9 例5解析圖示
當我們根據(jù)物理條件列出不等式求解問題時,對計算式中“≤”“≥”符號的解讀非常重要,其等號一般包含了極值條件。高中物理學(xué)習階段,應(yīng)用到的主要不等式為均值等式,即:
當且僅當a1=a2=a3=…=an時等號成立。
例6如圖10所示,一根長為L的輕繩一端懸于O點,另一端連接一質(zhì)量為m的小球(小球可視為質(zhì)點),現(xiàn)將輕繩拉直至水平方向,此時小球處于與O點同一水平高度的M點,由靜止釋放,在小球下擺至最低點N的過程中,請問小球所受重力的最大瞬時功率是多少?
圖10 例6圖示
解析1如圖11所示,設(shè)某時刻小球擺到A點,輕繩與水平方向的夾角為θ,小球速度為v。
圖11 例6解析1圖示
小球從M點擺到A點的過程中由機械能守恒可知:
聯(lián)立(1)(2)式解得:
本題除了運用不等式求解問題,也可以應(yīng)用物理原理分析問題找到答案。
解析2如圖12所示,以釋放點為原點建立直角坐標系。
圖12 例6解析2圖示
在高中物理學(xué)習中,選擇合理的數(shù)學(xué)運算方法是高效求解物理問題的關(guān)鍵。同時,我們也要結(jié)合高中物理教學(xué)要求與高中生的實際數(shù)學(xué)能力,不能一味地把所有物理問題數(shù)學(xué)化,譬如例6向我們展示了只有抽象的物理分析與合理的數(shù)學(xué)工具相結(jié)合,才能事半功倍。