厘清物理公式本質(zhì)解決初中物理疑難問(wèn)題
——以“判斷不同氣壓下液體壓強(qiáng)大小”為例

曹可攀 ，黃致新

1.華中師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，武漢 430079

2.武漢市曬湖中學(xué)，武漢 430064

初中物理實(shí)際教學(xué)中考慮到初中生的思維能力有限以及物理知識(shí)本身的復(fù)雜性，教材中對(duì)部分物理公式加以簡(jiǎn)化便于學(xué)生的學(xué)習(xí)。但面對(duì)一些涉及物理本質(zhì)的問(wèn)題時(shí)，不理解公式本質(zhì)直接套用公式，不僅無(wú)法解決這一類問(wèn)題，反而會(huì)讓學(xué)生陷于矛盾當(dāng)中，不利于學(xué)生物理核心素養(yǎng)的提升。

1 問(wèn)題的提出

作為判斷液體壓強(qiáng)大小的公式p=ρgh普遍被老師和學(xué)生所接受，但是在學(xué)習(xí)中碰到的不同氣壓下的液體時(shí)，選擇不同的液面，對(duì)于同一位置的液體壓強(qiáng)采用液體壓強(qiáng)公式p=ρgh，卻會(huì)得到相反的結(jié)論。如圖1所示，自制氣壓計(jì)從樓下到樓上，觀察玻璃管內(nèi)水柱高度的變化情況，并判斷自制氣壓計(jì)瓶底受到液體壓強(qiáng)的變化。通常的解釋是分析自制氣壓計(jì)的原理：p內(nèi)=ρgh+p外，當(dāng)外界高度升高時(shí)，p外減小，在p內(nèi)不變的情況下，h2就會(huì)變大，所以可以看到水柱高度上升，氣壓計(jì)瓶底受到液體壓強(qiáng)就變大了。這種解釋可以說(shuō)明自制氣壓計(jì)玻璃管內(nèi)水柱高度的變化情況，但是對(duì)于瓶底受到液體壓強(qiáng)的變化卻飽受爭(zhēng)議。因?yàn)樽灾茪鈮河?jì)玻璃管內(nèi)水柱上升時(shí)，必然會(huì)造成瓶?jī)?nèi)水面下降，h1變小，按照液體壓強(qiáng)計(jì)算公式p=ρgh判斷壓強(qiáng)就會(huì)變小。

圖1 自制氣壓計(jì)

2 產(chǎn)生問(wèn)題的原因分析

計(jì)算液體壓強(qiáng)的大小關(guān)鍵是看液體深度，而深度的大小又取決于自由液面的選擇。教材中選擇的是標(biāo)準(zhǔn)大氣壓環(huán)境中的液面為自由液面，但是對(duì)于自制氣壓計(jì)中的大氣環(huán)境，瓶外大氣壓隨著高度升高而降低，瓶?jī)?nèi)氣壓隨著水面下降也會(huì)降低，不管是瓶?jī)?nèi)還是瓶外，氣壓都發(fā)生了變化。沒(méi)有固定不變的氣壓選作標(biāo)準(zhǔn)，也就沒(méi)辦法用p=ρgh合理解釋瓶底液體壓強(qiáng)變化。

3 解決問(wèn)題的思路

分析物理概念的形成過(guò)程。液體壓強(qiáng)也是壓強(qiáng)的一種，所以先從壓強(qiáng)的概念本質(zhì)分析入手。在教材中壓強(qiáng)的定義是正壓力與接觸面面積的比值，是用來(lái)描述壓力的作用效果的物理量。從這個(gè)角度來(lái)分析，壓強(qiáng)由壓力和受力面積所決定。在學(xué)習(xí)這兩個(gè)因素時(shí)，需要重點(diǎn)分析的是壓力。壓力是與重力有著本質(zhì)區(qū)別的力，壓力大小有時(shí)等于重力的大小，有時(shí)又與重力毫無(wú)關(guān)系，壓力的大小受各種因素影響，初中階段我們更多的是區(qū)分壓力與重力的不同，對(duì)于大小的判斷往往要借助于受力分析。

重現(xiàn)物理公式的推導(dǎo)過(guò)程。對(duì)于水平地面的固體對(duì)地面產(chǎn)生的壓強(qiáng)，由于壓力大小等于重力，計(jì)算固體壓力時(shí)一般都會(huì)先計(jì)算壓力后計(jì)算壓強(qiáng)，所以F=G在固體中經(jīng)常用到，但同時(shí)我們又要明確知道壓力與重力的不同。對(duì)于液體計(jì)算公式的由來(lái)，教材中首先是通過(guò)探究實(shí)驗(yàn)得出液體壓強(qiáng)的特點(diǎn)：同一深度朝各個(gè)方向都有壓強(qiáng)且相等；密度相同時(shí)，深度越深壓強(qiáng)越大；深度相同時(shí)，密度越大壓強(qiáng)越大。這只是定性的關(guān)系，對(duì)于定量關(guān)系則是建立了一個(gè)規(guī)則形狀的液柱，設(shè)想液柱下方平面的壓強(qiáng)就是該位置的液體壓強(qiáng)大小。如圖2所示，液柱對(duì)平面的壓力等于液柱所受的重力，借助于公式的變形 F=G=mg=ρVg=ρgSh，從而推出p=F/S=ρgh。由于液體同一深度朝各個(gè)方向都有壓強(qiáng)且相等，所以這個(gè)公式就可以普遍計(jì)算同一深度其他位置的液體壓強(qiáng)大小。對(duì)照壓力與重力的區(qū)別，我們不難得知液體壓強(qiáng)中液柱模型的建立是有前提條件的。模型中沒(méi)有考慮外界對(duì)液體的壓力，只考慮了液體本身受到的重力，所以才有壓力等于重力的推導(dǎo)。如果考慮外界對(duì)液體的壓力，那么此時(shí)的壓力就不等于液體本身受到的重力，公式的推導(dǎo)就會(huì)發(fā)生變化。

圖2 液體壓強(qiáng)液柱模型

厘清體現(xiàn)物理本質(zhì)的公式。教材中的液體壓強(qiáng)計(jì)算公式p=ρgh沒(méi)有考慮大氣壓力的影響。有部分老師認(rèn)為液體壓強(qiáng)就只需要考慮液體內(nèi)部的作用，筆者認(rèn)為這是偷換概念的一種說(shuō)法。這就好比固體壓強(qiáng)實(shí)驗(yàn)中，在下端墊有海綿的木桌上面放一個(gè)砝碼，問(wèn)木桌對(duì)海綿產(chǎn)生的壓強(qiáng)，那么考慮木桌對(duì)海綿產(chǎn)生的壓力不需要考慮砝碼對(duì)木桌的壓力嗎？還有部分老師通過(guò)“壓強(qiáng)”和“液體壓強(qiáng)”來(lái)告訴學(xué)生解題中要不要考慮大氣壓的問(wèn)題，顯然這都是不太合理的。教材中對(duì)液體壓強(qiáng)的處理，更多的鑒于大氣壓的普遍性而沒(méi)有考慮大氣壓力對(duì)液體壓強(qiáng)的影響，當(dāng)然也沒(méi)有考慮其他外力對(duì)液體壓強(qiáng)的影響，所以導(dǎo)致液體壓強(qiáng)的計(jì)算公式p=ρgh具有相對(duì)性。當(dāng)考慮外界因素時(shí)，液體壓強(qiáng)就等于p=ρgh+p外，在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下的液體壓強(qiáng)公式就應(yīng)該變?yōu)閜=ρgh+p0，這才是液體壓強(qiáng)的本質(zhì)公式。

圖1中自制氣壓計(jì)的液體壓強(qiáng)大小問(wèn)題實(shí)際上就是考查對(duì)液體壓強(qiáng)本質(zhì)的理解，判斷瓶底的液體壓強(qiáng)必須考慮外界因素的影響。瓶底的壓強(qiáng)可以用兩種方式來(lái)表示 p=ρgh1+p內(nèi)；p=ρgh2+p外。由于h1變小，瓶?jī)?nèi)氣壓p內(nèi)也會(huì)降低，所以p會(huì)變小。第二種方式h2變大，p外變小，不易判斷。

理解了液體壓強(qiáng)的本質(zhì)公式可以幫助我們更好地分析一些物理原理。如圖3所示，在用微小壓強(qiáng)計(jì)測(cè)液體壓強(qiáng)的實(shí)驗(yàn)中，用U型管兩邊液面高度差來(lái)表示液體壓強(qiáng)大小。按照液體壓強(qiáng)本質(zhì)進(jìn)行分析，橡皮膜受到的液體壓強(qiáng)p=ρ0gh0+p0，所以橡皮管內(nèi)的氣壓 p=ρgh0+p0。管內(nèi)氣壓大小在U型管中又可以表示為p=ρgh+p0。由這兩個(gè)等式可以推出ρ0gh0等于ρgh，當(dāng)h0變大時(shí)，h也會(huì)變大，這就是微小壓強(qiáng)計(jì)的原理。

圖3 探究液體壓強(qiáng)特點(diǎn)實(shí)驗(yàn)

反之，如果沒(méi)有理解液體壓強(qiáng)的本質(zhì)，往往只狹隘地認(rèn)識(shí)到液體壓強(qiáng)就是去看深度和密度，不僅無(wú)法解決不同氣壓下的液體壓強(qiáng)問(wèn)題，甚至?xí)诿}當(dāng)中引發(fā)一些爭(zhēng)議性問(wèn)題。例如2020年某省的中考題：負(fù)壓魚缸是寧夏科技館的一件展品，如圖4甲所示，其縱截面示意圖如圖4乙所示，整個(gè)魚缸只有投料口與大氣相通，魚缸內(nèi)高于投料口水面以上的水不能從投料口流出，是因?yàn)槭艿絖_______作用，水對(duì)魚缸底部的壓強(qiáng)p=_______（深度用圖乙中的相關(guān)字母表示，水的密度用ρ水表示）。

圖4 負(fù)壓魚缸

查閱相關(guān)資料，該題的參考答案是水對(duì)魚缸底部的壓強(qiáng)p=ρ水gh。這道題以負(fù)壓魚缸為背景,考慮了大氣壓對(duì)液體的作用。如果不是以負(fù)壓為背景，按照通常的習(xí)慣計(jì)算液體壓強(qiáng)，參考答案p=ρ水gh是沒(méi)有問(wèn)題的。但是，若在本題中要計(jì)算水對(duì)魚缸頂部的壓強(qiáng)，則應(yīng)為 p1=p0-ρ水g（H-h）。由此反推魚缸底部受到水的壓強(qiáng)則應(yīng)為p=ρ水gh+p0，這樣本題就會(huì)有兩個(gè)答案。在同一道題中，計(jì)算魚缸底部受到的壓強(qiáng)時(shí)不考慮大氣壓，而計(jì)算頂部的壓強(qiáng)時(shí)又要考慮大氣壓，難免不妥。結(jié)合本題的負(fù)壓背景，筆者認(rèn)為水對(duì)魚缸底部的壓強(qiáng)為 ρ水gh+p0比 ρ水gh 更合適。

4 教學(xué)建議

教材中為了降低學(xué)生學(xué)習(xí)難度，液體壓強(qiáng)的計(jì)算公式是基于液體壓力等于液體所受重力的推導(dǎo)。老師在教學(xué)中可以補(bǔ)充說(shuō)明，由于人們生活在大氣壓環(huán)境中，液體壓強(qiáng)公式?jīng)]有考慮大氣壓等外界壓力的影響，對(duì)于一般的液體壓強(qiáng)計(jì)算所選擇的自由液面是與大氣接觸的液面，都默認(rèn)為該液體表面處的壓強(qiáng)為0，液體內(nèi)部壓強(qiáng)大小都用公式p=ρgh計(jì)算。當(dāng)面對(duì)不同氣壓的環(huán)境，就需要考慮大氣壓的影響，此時(shí)液體壓強(qiáng)應(yīng)該用更具本質(zhì)性的p=ρgh+p外來(lái)計(jì)算。在具體的習(xí)題編制中最好也能像理想環(huán)境中不考慮空氣阻力一樣，提示不考慮大氣壓的影響，這樣便于學(xué)生應(yīng)用p=ρgh解決物理問(wèn)題，也不影響對(duì)液體壓強(qiáng)本質(zhì)的理解，有助于學(xué)生進(jìn)入高中、大學(xué)以后對(duì)于液體壓強(qiáng)的學(xué)習(xí)。

5 結(jié)語(yǔ)

厘清液體壓強(qiáng)公式的本質(zhì)，認(rèn)識(shí)到液體壓強(qiáng)計(jì)算公式p=ρgh的相對(duì)性，才能解決疑難問(wèn)題。這樣碰到諸如此類大氣壓發(fā)生變化的液面，選擇不同氣壓的液面意味著參照物不一樣，用相對(duì)計(jì)算公式計(jì)算同一位置的液體壓強(qiáng)自然沒(méi)有意義，此時(shí)的液體壓強(qiáng)用p=ρgh+p外計(jì)算才符合物理本質(zhì)。有學(xué)者用流體力學(xué)的知識(shí)，嘗試對(duì)基礎(chǔ)物理教學(xué)中液體的壓強(qiáng)進(jìn)行分析，得出當(dāng)液體同時(shí)受到表面力和質(zhì)量力時(shí)，其所具有的絕對(duì)壓強(qiáng)大小應(yīng)用p=ρgh+C來(lái)計(jì)算。其中，C就是液體所處環(huán)境對(duì)自由液面產(chǎn)生的壓強(qiáng)，屬于表面力的作用。而ρgh是自由液面到測(cè)量點(diǎn)的單位面積的液柱的重量，是因重力產(chǎn)生的壓強(qiáng)[1]。這也從力學(xué)本質(zhì)的角度印證了初中物理液體壓強(qiáng)計(jì)算公式的相對(duì)性。由于初中物理處于啟蒙階段，教材的編寫要考慮學(xué)生的思維發(fā)展水平等實(shí)際因素，存在一些公式?jīng)]有基于物理本質(zhì)進(jìn)行詳細(xì)說(shuō)明和處理的情況，雖然這些公式可以幫助學(xué)生和老師解決部分表面的物理問(wèn)題，但是對(duì)于涉及本質(zhì)的物理現(xiàn)象就無(wú)法解決。

除了文中談到的液體壓強(qiáng)，比如在滑輪組的機(jī)械效率的計(jì)算中，通常計(jì)算有用功的公式W有用=G物h，而真正體現(xiàn)物理本質(zhì)的公式應(yīng)該是W有用=F動(dòng)S=G物h（F動(dòng)指的是滑輪輸出的力），而且在水平方向使用滑輪或是從水中拉升物體時(shí)，W有用=G物h這個(gè)公式就無(wú)法計(jì)算了[2]。作為物理教師，在一線教學(xué)中要遵循教材又不拘泥于教材，從學(xué)生可以理解的角度，用已有的知識(shí)厘清物理公式的本質(zhì)，優(yōu)化、補(bǔ)充教材內(nèi)容，才能讓學(xué)生更好地掌握物理概念，解決疑難問(wèn)題，提升物理核心素養(yǎng)。