讓聯(lián)想成為習(xí)慣 讓解題更為自然
——以一道三角形中的最值問題為例

周子晰，郭建華

(1.南京市第二十九中學(xué)高三(13)班，江蘇南京，210036 2.南京市金陵中學(xué)，江蘇南京，210005)

聯(lián)想，是數(shù)學(xué)解題的一種基本能力，在數(shù)學(xué)解題中，聯(lián)想指由某概念而引起其他相關(guān)的概念.在數(shù)學(xué)解題中，通過對問題多角度地分析可以引發(fā)學(xué)生廣泛地聯(lián)想，包括對新、舊知識(shí)的關(guān)聯(lián)，數(shù)學(xué)三種語言(自然語言、圖形語言、符號(hào)語言)之間的關(guān)聯(lián)，以及在顯性條件下探索隱性條件的過程中對數(shù)學(xué)思想方法等的聯(lián)想.

三角形中的最值問題是一個(gè)難點(diǎn)，它不僅涉及到解三角形、三角函數(shù)、三角恒等變換等相關(guān)知識(shí)，而且在解題中滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等多種數(shù)學(xué)思想.下面，通過一道試題的深入分析，談?wù)劼?lián)想在解題中的應(yīng)用.

1 試題呈現(xiàn)

例1設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若點(diǎn)G為△ABC的重心，且AG⊥BG，則cosC的最小值為.

分析：題目條件涉及到三角形重心的概念以及重心所滿足的位置關(guān)系，所求結(jié)論是角C的余弦值.重心是求解問題的突破口，首先要聯(lián)想與重心相關(guān)的性質(zhì)，其次要將AG⊥BG轉(zhuǎn)化為三角形的邊、角關(guān)系，進(jìn)而表達(dá)cosC，再結(jié)合向量、函數(shù)、不等式、平面幾何、解析幾何等知識(shí)求解.

2 思路探索

圖1

思路1 聯(lián)想余弦定理

評注：解法1充分利用中線CD的長及∠ADC+∠BDC=π這一隱含條件，采用“算兩次”的思想探尋三角形三邊的關(guān)系；解法2結(jié)合重心的性質(zhì)，采取“設(shè)而不求”的方法探尋三角形三邊的關(guān)系.解法2的處理方式較為簡捷.

思路2 聯(lián)想“向量”

思路3 聯(lián)想“圓”

該題以三角形為背景，結(jié)合要求解的目標(biāo)cosC，思考如下問題：能否從平面幾何的視角考慮問題?它涉及到哪些幾何量?它們之間存在怎樣的關(guān)聯(lián)?還可以聯(lián)想到哪些與之相關(guān)的幾何量？自然聯(lián)想到正弦定理和三角形的外接圓.

圖2

思路4 聯(lián)想“坐標(biāo)系”

根據(jù)思路3的分析和求解，可以再作進(jìn)一步的聯(lián)想，由AG⊥BG，很容易聯(lián)想到建坐標(biāo)系求解，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題求解，合理地建立坐標(biāo)系可以減少繁瑣的運(yùn)算.

圖3

評注：用坐標(biāo)法處理(根據(jù)解題的需要適當(dāng)建立平面直角坐標(biāo)系)很容易表達(dá)目標(biāo).采用“解析”法處理問題則讓學(xué)生更容易著手分析和解決問題.以上兩種想法有異曲同工之妙.對于填空題我們應(yīng)該追求“小題小做，小題巧做”的目標(biāo)，以上分析求解中均涉及到兩個(gè)變量，可否將目標(biāo)化為單變量問題?也可以作如下特殊化處理，即令n=-1，簡化了表達(dá)的運(yùn)算形式.

3 變式探究

例2設(shè)銳角△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若點(diǎn)G為△ABC的重心，且AG⊥BG，則cosC的取值范圍為.

通過以上解題思路的探索，對原題設(shè)條件進(jìn)行加強(qiáng)，思考兩道題的區(qū)別和聯(lián)系，新增加一個(gè)條件會(huì)為解題帶來怎樣的變化?會(huì)產(chǎn)生怎樣的聯(lián)想?讓聯(lián)想成為解題的一種習(xí)慣，讓聯(lián)想為解題思路的獲得提供很多的可能.

思維的拓展離不開豐富的聯(lián)想，聯(lián)想為創(chuàng)造性解題提供了一把金鑰匙.在處理典型問題時(shí)盡可能地從多個(gè)角度分析和思考，挖掘問題的各個(gè)方面，使得通過一道題，不僅讓學(xué)生獲得具體的解法，而且讓學(xué)生體驗(yàn)問題解決過程中所滲透的數(shù)學(xué)思想和方法，從而溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，深刻理解問題的本質(zhì).通過聯(lián)想，讓每一個(gè)“好題”變成一個(gè)充滿無窮魅力的“世界”；通過聯(lián)想，探究問題的縱橫聯(lián)系，將孤立的問題“串”起來，讓學(xué)生的思維“活”起來，真正發(fā)揮解題的功能，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).