初中數(shù)學(xué)“整體法”解題思路分析

陳 宇

(江蘇省南通市幸福中學(xué)，江蘇南通，226001)

整體法是初中數(shù)學(xué)中常用的一種解題方法，這種方法將問(wèn)題看作一個(gè)完整的整體，注重問(wèn)題的整體結(jié)構(gòu)和結(jié)構(gòu)改造，特點(diǎn)是可以宏觀上全面觀察事物的整體結(jié)構(gòu)，從而揭示事物的本質(zhì)[1].初中數(shù)學(xué)和高中以及小學(xué)數(shù)學(xué)有著很大的不同，小學(xué)數(shù)學(xué)更多地注重學(xué)生的逆向思維，高中數(shù)學(xué)更側(cè)重于學(xué)生正向思考并解決問(wèn)題，而初中數(shù)學(xué)則需要完成這個(gè)過(guò)渡.初中數(shù)學(xué)有很多種解決的方法，而方法的選取決定了解題的上限，運(yùn)用好的解題方式可以更加方便快捷.整體法就是解決初中部分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題的一種非常便利的方法.靈活運(yùn)用整體法可以提高數(shù)學(xué)分析能力和解決能力.整體法在初中數(shù)學(xué)的應(yīng)用主要可以從以下幾個(gè)方面進(jìn)行展開(kāi).

1 整體法在代數(shù)式求值中的應(yīng)用

代數(shù)式求值是初中數(shù)學(xué)中最為重要的知識(shí)點(diǎn)，在解決此類問(wèn)題時(shí)，利用整體法可以有效進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，其中整體代入可以更快捷地解決部分問(wèn)題.整體代入的解題思路是將一個(gè)代數(shù)式作為一個(gè)整體，然后將這個(gè)整體的值代入到另一個(gè)代數(shù)式中進(jìn)行運(yùn)算，具體案例如下：

例1已知a2+5ab=16，并且3b2+2ab=50，求a2+11ab+9b2的值.

題目中出現(xiàn)兩個(gè)未知數(shù)a和b，在正常的解題中，需要通過(guò)兩個(gè)代數(shù)式結(jié)合計(jì)算出a和b相對(duì)應(yīng)的代數(shù)值，再代入到最后所要計(jì)算的代數(shù)式中進(jìn)行解析，計(jì)算起來(lái)相對(duì)繁瑣.

現(xiàn)采用整體法對(duì)這道題進(jìn)行解題分析，首先將兩個(gè)代數(shù)式a2+5ab=16和3b2+2ab=50看作兩個(gè)整體A和B進(jìn)行分析，然后可以發(fā)現(xiàn)最后所求的代數(shù)式a2+11ab+9b2，可以由一個(gè)整體A和三個(gè)整體B進(jìn)行相加得到，即a2+11ab+9b2=(a2+5ab)+3×(3b2+2ab)，因此可以很方便地求出最后的函數(shù)值為166.

因此，在解題時(shí)，學(xué)生的思路應(yīng)該時(shí)刻保持清晰，能夠準(zhǔn)確地把握題中的要點(diǎn)，結(jié)合整體法的思路對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行分析，找到解決問(wèn)題的捷徑，進(jìn)而快速準(zhǔn)確地完成解題.

2 整體法在因式分解中的應(yīng)用

整體法在函數(shù)中的運(yùn)用還可以體現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)最重要的解題要點(diǎn)——因式分解中，因式分解在很大程度上運(yùn)用了數(shù)學(xué)的整體思想，把重點(diǎn)放在問(wèn)題的整體上，多方位思考，進(jìn)行整體變形，多角度探究，最終確定解題的策略，進(jìn)而解決問(wèn)題.

例2分解因式(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2

題干中可以發(fā)現(xiàn)如果將每一個(gè)括號(hào)內(nèi)的代數(shù)式分別進(jìn)行相乘最后再進(jìn)行分解因式會(huì)顯得非常困難，這里我們可以進(jìn)行分組，當(dāng)(x+1)和(x+6)相乘以及(x+2)和(x+3)相乘可以得到相似的內(nèi)容，因此可以先將這兩部分進(jìn)行組合計(jì)算，得到的展開(kāi)式再利用整體進(jìn)行運(yùn)算即可，具體的解題過(guò)程如下：

解：原式=(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2

=(x+1)(x+6)(x+2)(x+3)+x2

=(x2+7x+6)(x2+5x+6)+x2.

設(shè)(x2+6x+6)為a，

那么原式=(a+x)(a-x)+x2

=a2-x2+x2

=a2

=(x2+6x+6)2.

通過(guò)上述問(wèn)題的解決，可以發(fā)現(xiàn)因式分解的過(guò)程中應(yīng)該特別注意整體法的應(yīng)用，結(jié)合整體代入的方法，不僅可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，而且能夠有效地避免由繁瑣的運(yùn)算帶來(lái)的弊端.將部分算式看作整體，在實(shí)際解題中有著很大的作用.

3 整體法在解方程中的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)離不開(kāi)方程的運(yùn)用，解方程的題目類型多種多樣.很多解方程的問(wèn)題，也會(huì)運(yùn)用到整體法，在解方程的過(guò)程中，韋達(dá)定理對(duì)于學(xué)生一定不會(huì)陌生，這種利用根的性質(zhì)所運(yùn)用的定理，同樣利用了整體法的性質(zhì)，從而使問(wèn)題更加容易解決.

例3若m是方程2x2-3x-1=0的一個(gè)根，則6m2-9m+2 022的值是多少？

題目中可知m是方程的一個(gè)根，因此將m代入到方程中，一定成立，而代入后通過(guò)比較已知方程和需要求解的方程，會(huì)發(fā)現(xiàn)二者存在數(shù)量關(guān)系，然后利用整體法直接代入可以得出所求方程的值.利用整體法可以免去計(jì)算未知數(shù)的值，整體代入求出所需值，提高了準(zhǔn)確性.

解：2x2-3x-1=0

則2x2-3x=1，

將m代入可得2m2-3m=1，

原式=6m2-9m+2 022

=3×(2m2-3m)+2 022

=3+2 022

=2 025.

通過(guò)上述方程的解決，可以發(fā)現(xiàn)，合理地運(yùn)用整體法的知識(shí)可以解決很多解方程的問(wèn)題.計(jì)算過(guò)程中，對(duì)問(wèn)題整體化考慮，可以將問(wèn)題簡(jiǎn)潔化，有時(shí)甚至可以不計(jì)算未知數(shù)的值就可以解出所需結(jié)果.在教學(xué)過(guò)程中要注意到學(xué)生使用整體法尋找最優(yōu)解題的路徑，這可以拓寬學(xué)生的知識(shí)面，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維.

4 整體法在分式方程組中的應(yīng)用

處理部分分式方程組時(shí)，對(duì)方程組直接進(jìn)行賦值計(jì)算會(huì)比較麻煩.這些較為復(fù)雜的方程組利用常規(guī)的計(jì)算既浪費(fèi)時(shí)間，又容易出錯(cuò).如果可以利用整體法對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化處理，然后再進(jìn)行計(jì)算會(huì)使問(wèn)題的解決變得更加容易.

例4甲、乙二人合作完成一項(xiàng)工程需要24天；若乙先干10天后甲再加入，則需要花費(fèi)20天完成，問(wèn)甲，乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需要多少天？

面對(duì)這類問(wèn)題，首先想到的就是列方程組進(jìn)行計(jì)算，接著進(jìn)行解方程分別計(jì)算出甲、乙完成這項(xiàng)工程需要花費(fèi)多少天即可.真正解題時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)所得方程組為分式方程組，這時(shí)如果利用傳統(tǒng)解方程組的方法，并不容易求解，因此需要靈活變通，找到便捷的解題路徑，做到解題省時(shí)又省力.該題利用整體法就可以很好地解決，求解過(guò)程與分析如下：

解：首先需要假設(shè)甲、乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需要x天以及y天.

這時(shí)可以得到如下方程組

通過(guò)上述問(wèn)題的解決，可以發(fā)現(xiàn)整體法在處理分式方程組的便捷之處.在實(shí)際教學(xué)工作中，教師應(yīng)滲透整體的思想方法，提高學(xué)生的解題效率.

5 整體法在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用

初中幾何問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，解決此類問(wèn)題的困難之處在于做輔助線進(jìn)行分析，但輔助線的選取對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)巨大的考驗(yàn)，整體法同樣適用于解決此類問(wèn)題.解決初中幾何問(wèn)題經(jīng)常會(huì)用到的方法就是整體補(bǔ)形法，這是整體法的一個(gè)分類.利用整體補(bǔ)形法對(duì)幾何問(wèn)題進(jìn)行分析，通過(guò)補(bǔ)形還原整體圖形的原有狀態(tài)，可以有效訓(xùn)練學(xué)生的整體性思維，從而更好地對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析處理.

例5如圖，四邊形ABCD中，AB=2，BC=1，CD=1,∠ABC=120°，∠BCD=90°，求四邊形ABCD的面積.

從圖中我們可以發(fā)現(xiàn)，由于四邊形ABCD是一個(gè)不規(guī)則的四邊形，想要直接求出四邊形ABCD的面積是很難做到的.那么要想求出它的面積，首先就要進(jìn)行組合或者拆分，將其轉(zhuǎn)化為熟悉的規(guī)則四邊形的面積.因此就需要利用整體補(bǔ)形法對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)形，然后再進(jìn)行計(jì)算，具體解題思路和方法如下：

初中幾何問(wèn)題中，利用輔助線解決問(wèn)題是難點(diǎn)也是重點(diǎn).大部分題目都是缺失輔助線導(dǎo)致很難分析，間接考慮這個(gè)問(wèn)題就會(huì)發(fā)現(xiàn)，添加輔助線在大多數(shù)情況下都是在利用整體補(bǔ)形法將缺失部分補(bǔ)全，從而還原本身圖形進(jìn)行分析.因此，學(xué)生掌握整體法的思維模式是解決幾何問(wèn)題的重中之重.掌握好整體法的思路，會(huì)極大提高學(xué)生的空間想象能力，對(duì)于學(xué)生的解題技巧同樣會(huì)有所提高.同時(shí)，幾何問(wèn)題對(duì)于學(xué)生們的智力開(kāi)發(fā)也起到了非常大的積極作用，利用好整體法解決問(wèn)題可以增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，除此之外，合理運(yùn)用整體法進(jìn)行解題也會(huì)使得不易解決的幾何問(wèn)題更加清晰明了.

6 整體法在邏輯思維問(wèn)題中的應(yīng)用

整體法在一些思維邏輯問(wèn)題上同樣可以起到意想不到的效果.在面臨很多相對(duì)復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，將問(wèn)題步驟細(xì)化會(huì)導(dǎo)致思考量增大，解決問(wèn)題相對(duì)也不容易，但利用整體法思考，拋棄中間的步驟，將問(wèn)題簡(jiǎn)化，反而會(huì)有更好的成效.

例6王師傅開(kāi)店，一雙鞋進(jìn)價(jià)為30元，甩賣20元，顧客買鞋給了50元，王師傅找鄰居換了50元，事后鄰居發(fā)現(xiàn)這是假幣，王師傅又賠給鄰居50元，問(wèn)王師傅虧了多少錢.

這個(gè)問(wèn)題看似很簡(jiǎn)單，但很多人都會(huì)走入誤區(qū).很多學(xué)生習(xí)慣于把這個(gè)問(wèn)題分開(kāi)考慮，將問(wèn)題細(xì)化到每一個(gè)交易環(huán)節(jié)，反而會(huì)使頭緒出現(xiàn)問(wèn)題，最后出現(xiàn)錯(cuò)算，少算以及誤算的情況.將問(wèn)題進(jìn)行整體分析，會(huì)發(fā)現(xiàn)在全部的交易中，導(dǎo)致王師傅虧損的只有甩賣以及收假幣兩個(gè)環(huán)節(jié)，其他部分找零錢以及換錢等環(huán)節(jié)都是平等交易，不涉及虧損，因此通過(guò)整體法分析，發(fā)現(xiàn)只存在假幣50元以及甩賣所賠10元，共計(jì)虧損60元.

通過(guò)上述問(wèn)題，可以發(fā)現(xiàn)，很多思維邏輯問(wèn)題都是給學(xué)生創(chuàng)造誤區(qū)，讓學(xué)生追求分析每一個(gè)步驟，反而忽略了問(wèn)題的本身，做了大量無(wú)用功.而合理運(yùn)用整體法，一方面可以幫助學(xué)生將復(fù)雜的邏輯梳理清楚，另一方面可以幫助學(xué)生對(duì)問(wèn)題有更深層次的理解.能否將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化處理是一個(gè)學(xué)生的邏輯思維水平的重要體現(xiàn).

7 整體法對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)思考

在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)中，整體法可以讓學(xué)生在解答各種類型問(wèn)題的過(guò)程中，對(duì)所了解的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行整體分析和研究，可以有效提高解題的正確率和效率[2].初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程是一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程，它需要老師和學(xué)生的緊密配合.解決問(wèn)題的方法有很多種，整體法只是研究問(wèn)題的其中一個(gè)方法，但整體法的應(yīng)用，不拘泥于常規(guī)的解題思路，它可以更深層次地幫助學(xué)生建立做題的思維模式.

在對(duì)于初中數(shù)學(xué)習(xí)題的分析過(guò)程中，整體法一直都扮演著一個(gè)特殊的角色，它不僅僅是一種解題的策略，更是一種對(duì)于學(xué)生能力培養(yǎng)的有效方法.熟練運(yùn)用整體法最大的優(yōu)勢(shì)依然在于計(jì)算時(shí)間上的節(jié)省以及解題準(zhǔn)確率上的大幅提高.

對(duì)于學(xué)生亦或是教師而言，數(shù)學(xué)是一個(gè)美麗的學(xué)科，是一個(gè)有魅力的學(xué)科，它最讓人流連忘返的地方在于它的多樣性，每道題的解題方法都不單單是某一種，整體法在龐大的初中數(shù)學(xué)解題方法中，也不過(guò)是冰山一角.很多學(xué)生會(huì)把這種方法當(dāng)作投機(jī)取巧而不屑一顧，因?yàn)樗坪跖c傳統(tǒng)數(shù)學(xué)枯燥復(fù)雜燒腦的解題手段格格不入，但是整體法的靈活運(yùn)用，摒棄了那些冗長(zhǎng)繁瑣的步驟，它如同生活中“大道至簡(jiǎn)”的理論一樣，將問(wèn)題化繁從簡(jiǎn)，更應(yīng)該是初中數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)展的方向.

總而言之，整體法在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中是一種非常重要的學(xué)習(xí)方法.在解題方面，它可以提高學(xué)生解題的效率和能力，讓學(xué)生可以在題干中找到問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)，把握住總體視角，也讓學(xué)生的解題思路更加清晰明確，省時(shí)省力的同時(shí)也提高了解決復(fù)雜問(wèn)題的準(zhǔn)確性.在教學(xué)方面，整體法的教學(xué)應(yīng)該更高水準(zhǔn)地應(yīng)用于初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓它不僅僅作為解題的一種手段.教師要能通過(guò)這種方法，提高學(xué)生的分析思考能力，構(gòu)造學(xué)生的空間想象力，引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，靈活運(yùn)用所學(xué)到的知識(shí)，積累更多的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)一題一解.一題多解至一題優(yōu)解的轉(zhuǎn)化.