多思維視角切入，巧方法破解題目
——一道最值題的探究

梁禮華

(福建省福州瑯岐中學(xué)，福建福州，350017)

雙變元代數(shù)式的最值(最大值或最小值)問題，一直是歷年高考試題中一道亮麗的熟悉“面孔”.破解此類最值問題，常見的破解思維是借助基本不等式、函數(shù)或方程、三角函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)等工具與思維切入，合理融合相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，從數(shù)學(xué)知識、思維方法與能力等方面加以交匯與綜合，恒等變形，巧妙處理，正確破解.

1 問題呈現(xiàn)

2 問題剖析

此題題目條件簡單明了，通過兩正實數(shù)所滿足的二次方程關(guān)系，利用雙變元之間的對應(yīng)關(guān)系來確定其對應(yīng)分式代數(shù)式的最值或最值范圍問題.這里，題目條件關(guān)系式與結(jié)論關(guān)系式之間沒有明顯的過渡或聯(lián)系.

解決此類問題的關(guān)鍵就是如何在已知條件的代數(shù)關(guān)系式背景下，通過認真審視試題條件，構(gòu)建題目的條件與結(jié)論這兩者關(guān)系式之間的“橋梁”，對相關(guān)的代數(shù)關(guān)系式進行合理的恒等變形，利用參數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化與合理切入，巧妙處理.在不同的數(shù)學(xué)思維視角下，如基本不等式、函數(shù)或方程、三角函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)等思維方式，進而確定不同的解題思維與對應(yīng)的精彩解法.

3 問題解決

思維視角一：基本不等式思維

利用基本不等式來確定相關(guān)雙變元代數(shù)式的最值問題，是解決此類問題中最常用的技巧與方法.解決問題的關(guān)鍵就是合理配湊條件與結(jié)論之間的關(guān)系，以及基本不等式成立的條件.利用基本不等式思維來處理問題時，有時可以直接利用，有時需要通過換元法、消元法等來綜合與應(yīng)用.

解析：

方法1：換元+基本不等式法

方法2：消元+基本不等式法

方法3：代“1”+基本不等式法

根據(jù)基本不等式，有(b+3a)2=(b+a+2a)2≥4(b+a)·2a，

評析：涉及雙變元代數(shù)式的最值問題，最常見的思維方式就是借助基本不等式思維來處理.解決問題的關(guān)鍵在于通過對代數(shù)關(guān)系式的合理恒等變換，與結(jié)論對應(yīng)的分式關(guān)系式加以聯(lián)系，借助相應(yīng)的技巧方法，或換元處理，或消元化簡，或代“1”變換等，構(gòu)建利用基本不等式的條件.

思維視角二：函數(shù)思維

利用一些特殊函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定相關(guān)雙變元代數(shù)式的最值問題，是函數(shù)的圖象與性質(zhì)的進一步掌握與綜合應(yīng)用.解決問題的關(guān)鍵就是進行合理變形，轉(zhuǎn)化為涉及其中一個參數(shù)的函數(shù)問題，利用特殊函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù)等)的圖象與性質(zhì)來解決.特別的函數(shù)模型所對應(yīng)的圖象與性質(zhì)是解決此類問題的基本數(shù)學(xué)模型.

方法4：二次函數(shù)法

評析：涉及雙變元代數(shù)式的最值問題，函數(shù)思維是破解問題的一大基本技巧與策略.通過對代數(shù)關(guān)系式的合理恒等變換，或整體代入，或關(guān)系式轉(zhuǎn)化，進行巧妙的合理消元，轉(zhuǎn)化為涉及其中一個參數(shù)的一元二次函數(shù)問題，借助配方處理，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等來確定對應(yīng)的最值問題.

思維視角三：方程思維

利用方程來確定相關(guān)雙變元代數(shù)式的最值問題，是初中方程與高中不等式求解的綜合應(yīng)用.解決問題的關(guān)鍵就是利用所求的結(jié)論關(guān)系式引入?yún)?shù)，構(gòu)建涉及其中一個參數(shù)的方程(一般是一元二次方程)，利用方程有根的判別式法來構(gòu)建不等式，通過不等式的求解來分析與解決.引入?yún)?shù)，待定系數(shù)法，綜合不等式的求解是關(guān)鍵.

方法5：方程的判別式法

由于以上關(guān)于參數(shù)b的二次方程有正實數(shù)根，

評析：涉及雙變元代數(shù)式的最值問題，方程思維也是破解問題的一大基本技巧與策略.通過對條件中的代數(shù)關(guān)系式的合理恒等變換，結(jié)合所求的代數(shù)關(guān)系式的設(shè)元處理引入?yún)?shù)，進而利用消元，轉(zhuǎn)化為涉及其中一個參數(shù)的二次方程問題，利用二次方程有根的判別式法等來確定對應(yīng)的最值問題.

思維視角四：導(dǎo)數(shù)思維

利用導(dǎo)數(shù)來確定相關(guān)雙變元代數(shù)式的最值問題，是解決此類問題中最“萬能”的一種技巧與方法.解決問題的關(guān)鍵就是合理消元，將所求的代數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為涉及其中一個參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，通過求導(dǎo)處理，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來解決最值問題，往往運算量比較大，過程比較繁雜.

方法6：導(dǎo)數(shù)法

評析：涉及雙變元代數(shù)式的最值問題，結(jié)合關(guān)系式的轉(zhuǎn)化進行消元處理，將所求代數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為一元關(guān)系式，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系式，通過函數(shù)求導(dǎo)運算與轉(zhuǎn)化，利用函數(shù)的單調(diào)性、極值以及最值等相關(guān)知識來確定對應(yīng)代數(shù)式的最值或取值范圍.

4 變式探究

探究1：根據(jù)條件改變所求解的代數(shù)關(guān)系式的形式，從另一個層面來求解對應(yīng)代數(shù)式的最值問題，與原題在知識點考查、試題難度、思想方法應(yīng)用等各個方面都比較相似.

評析：根據(jù)條件中代數(shù)關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，對所求解的代數(shù)關(guān)系式的變形進行消元處理，通過配方，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定最值問題.當然，也可以參照原問題的解析的不同思維視角，嘗試利用其他相關(guān)的方法來分析與解決，也可以達到解決問題的目的.

探究2：保留問題的條件背景，改變原來求解的分式代數(shù)式中的分子與分母的位置，得到以下對應(yīng)的變式拓展問題.該變式問題考查的知識點與原題基本相當，但由于格式更加難變形，試題難度有所提升.

評析：利用所求分式關(guān)系式為正數(shù)的情況，與原來所求的代數(shù)式互為倒數(shù)，從而可以采用函數(shù)關(guān)系式的變形，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來分析與解決.在原問題的基礎(chǔ)上分析與解決，難度就比較大，可以嘗試從其他思維方法來解決.

探究3：保留問題的創(chuàng)新情境，引入對應(yīng)的參數(shù)來構(gòu)建條件中的代數(shù)關(guān)系式，使得問題更具一般性，得到以下對應(yīng)的變式拓展問題.該變式問題考查的知識點與原題基本相當，而試題難度有所提升.

根據(jù)基本不等式，有[b+(λ+1)a]2=(b+a+λa)2≥4(b+a)·λa，

5 教學(xué)啟示

5.1 總結(jié)技巧策略，形成思維習(xí)慣

此類涉及給定方程關(guān)系式的雙變元或多變元的代數(shù)式最值或取值范圍問題，命題新穎，背景變化多端，破解思維奇思妙想，破解策略多樣，切入多變，方法精彩紛呈，殊途同歸.具體解答時往往是結(jié)合題目條件給出的代數(shù)式(整式、分式、根式等)的基本特征(定和、定積、定比例等)，合理恒等變形與巧妙轉(zhuǎn)化，正確數(shù)學(xué)運算與合理推理，借助一些相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，綜合一些常見技巧策略加以應(yīng)用.

5.2 提升解題能力，形成學(xué)科素養(yǎng)

在解決一些相關(guān)的數(shù)學(xué)問題中，我們要不斷積累、比較、總結(jié)、提升，總結(jié)技巧方法，歸納類型，總結(jié)并形成“多題一解”“多類一法”等，做到具體解題時有“法”可依，有“據(jù)”可查.巧妙融合與交匯相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、思想方法等，學(xué)會應(yīng)用思想方法等“武裝”頭腦，不斷提升數(shù)學(xué)的解題技巧以及數(shù)學(xué)能力，舉一反三，融會貫通，靈活變通，真正形成數(shù)學(xué)體系，提升數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).