創(chuàng)設(shè)合理情景，實現(xiàn)深度學(xué)習(xí)
——“等比數(shù)列前n項和公式”的教學(xué)設(shè)計與反思

薛建豐

(常熟市王淦昌高級中學(xué)，江蘇常熟，215500)

郭華教授在文獻(xiàn)[1]中對深度學(xué)習(xí)的概念這樣界定：“所謂深度學(xué)習(xí)，就是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程.在這個過程中，學(xué)生掌握學(xué)科的核心知識，理解學(xué)習(xí)的過程，把握學(xué)科的本質(zhì)及思想方法，形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動機、高級的社會情感、積極的態(tài)度、正確的價值觀，成為既具獨立性、批判性、創(chuàng)造性，又有合作精神、基礎(chǔ)扎實的優(yōu)秀的學(xué)習(xí)者，成為未來社會歷史實踐的主人”.

本文以人教A版教材中的“等比數(shù)列前n項和公式”一課為例，嘗試通過創(chuàng)設(shè)合理情景，幫助學(xué)生實現(xiàn)深度學(xué)習(xí).下面予以仔細(xì)闡述，以期為研究者和一線教師提供借鑒.

1 教學(xué)設(shè)計

1.1 創(chuàng)設(shè)情景，提出問題

教師：同學(xué)們，前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的定義，請同學(xué)敘述下.

學(xué)生1：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比.

教師：現(xiàn)在有這樣一個實際問題，請同學(xué)們判斷下：

為培養(yǎng)你的生活自理能力，在假期中，你父母對你進(jìn)行了15天的特別培訓(xùn)，每天要求你完成煮飯，掃地等家務(wù)活.為了激勵你的積極性，你父母制訂了這樣的獎勵機制：

方案1：每天完成工作獎勵你10元；

方案2：每天完成工作后，第1天獎勵0.01元，第2天獎勵0.02元，第3天獎勵0.04元，……，以此類推，每天獎勵的錢都是前一天獎勵的錢的2倍；

請問：若你每天得到的錢的數(shù)值構(gòu)成一個數(shù)列，按照兩個方案，則分別是什么數(shù)列？

學(xué)生2：方案1中構(gòu)成等差數(shù)列，方案2中構(gòu)成等比數(shù)列.

學(xué)生3：方案1中構(gòu)成常數(shù)數(shù)列，既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列.

教師：思考一定要嚴(yán)謹(jǐn)，注意細(xì)節(jié).延續(xù)剛才這個問題，如果要你選擇一個方案，你會選擇哪個方案？你的選擇標(biāo)準(zhǔn)是什么？

設(shè)計意圖：通過創(chuàng)設(shè)和學(xué)生切身相關(guān)的生活情景，讓教學(xué)進(jìn)入情感領(lǐng)域，激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并憑借情景，幫助學(xué)生體會知識的應(yīng)用性，培養(yǎng)其知識應(yīng)用意識.

學(xué)生4：這15天的錢數(shù)總和哪個多就選這個方案.

教師：請寫出錢數(shù)總和的式子？

學(xué)生4：方案1中S15=10+10+10+…+10=150，方案2中T15=0.01(1+2+22+…+214).

教師：方案2中括號內(nèi)表示的是什么？

學(xué)生4：一個以1為首項，2為公比的等比數(shù)列的前15項的和.

教師：我們用一般符號來表示，得Tn=a1(1+q+q2+q3+…+qn-1)，如何求這個和呢？

1.2 特殊探路，分析問題

教師：數(shù)列的求解中，當(dāng)一般化的問題不會求解時，我們經(jīng)常會利用特殊到一般的思想方法，先從特殊的幾項來觀察出規(guī)律，再利用這一規(guī)律來解決一般化問題.1=?,1+2=?,1+2+22=?,1+2+22+23=?,1+2+22+23+24=?，觀察式子的規(guī)律并猜測1+2+22+…+2n-1=?.

設(shè)計意圖：特殊到一般是指通過對某些個體的認(rèn)識和研究，逐漸積累對這類事物的了解，再逐漸形成對這類事物的總體認(rèn)識，發(fā)現(xiàn)特點，掌握規(guī)律，形成公式，由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)，由局部到整體，從實踐到理論，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和探究中轉(zhuǎn)化思想的一部分.在整個數(shù)列一章，乃至高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，這是學(xué)生必須掌握的一個思想方法.通過這一過程，能夠促進(jìn)學(xué)生深層次地理解“錯位相減法”.

學(xué)生5：

猜測：1+2+22+…+2n-1=2n-1.

教師：利用特殊值來觀察規(guī)律，我們一般要多用幾個值才可以得到正確結(jié)論.1=?,1+3=?,1+3+32=?,1+3+32+33=?,1+3+32+33+34=?，運算下，是不是還具備剛才的規(guī)律.猜測1+3+32+…+3n-1=?

學(xué)生6：

1.3 新知構(gòu)建，解決問題

教師：那這個等式怎樣來求解得到呢？(提醒學(xué)生，可以應(yīng)用逆向思維.)

就是要得q(1+q+q2+q3+…+qn-1)-(1+q+q2+q3+…+qn-1)=qn-1，

所以求和過程為Tn=a1(1+q+q2+q3+…+qn-1)，

兩邊同乘q可得：qTn=a1(q+q2+q3+…+qn-1+qn)，

學(xué)生9：上述公式成立的條件是q≠1，當(dāng)q=1時，Tn=na1.

教師：這個補充非常精彩，任何問題解決過程中我們要注意完整性和嚴(yán)謹(jǐn)性.

現(xiàn)在我們已經(jīng)得到等比數(shù)列的求和方法，這個方法我們稱為“錯位相減法”.

學(xué)生10：結(jié)合已知條件和剛才“錯位相減法”的求解過程，求和運算還可以這樣得到.

設(shè)計意圖：一個公式得到后，為豐富學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，還要尋求公式和其他知識、方法的聯(lián)系，從不同的角度推導(dǎo)公式、理解公式、認(rèn)識公式，并在這一過程中培養(yǎng)學(xué)生去感受變量之間的內(nèi)在聯(lián)系，深入了解變量間的轉(zhuǎn)化，提高學(xué)生的探索運算路徑的能力.

1.4 知識應(yīng)用，嘗試遷移

教師：現(xiàn)在，我們來解決剛才的那個實際問題.

教師：下面讓我們嘗試運用剛剛所學(xué)知識去解決以下兩個問題.

例1已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列.

解答略.

例2中國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”其意思為：有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的行程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地，請問第二天走了

( )

A.192里 B.96里 C.48里 D.24里

設(shè)計意圖：在知識應(yīng)用中適當(dāng)安排與生活有關(guān)的實際問題，讓學(xué)生養(yǎng)成知識來自于生活，也能應(yīng)用知識解決生活中的問題的意識，體會數(shù)學(xué)知識是源于應(yīng)用并在應(yīng)用中不斷發(fā)展起來的；這里選擇了一個中國古代文化著作中的實際問題，能讓學(xué)生體會到祖國文化的源遠(yuǎn)流長.

教師：大家利用課余時間去尋找下身邊生活中能用等比數(shù)列求和來解決的問題，下一堂課進(jìn)行交流.

2 教學(xué)反思

2.1 教學(xué)目標(biāo)遵循課程標(biāo)準(zhǔn)

本節(jié)課的課題是“等比數(shù)列的前n項和公式”.教材內(nèi)容簡潔明了，包括等比數(shù)列前n項和公式及其初步應(yīng)用.如果照本宣科，本堂課可以在很“默契”的師生配合下，平淡且快速地完成，但學(xué)生只是得到了一個知識點及依葫蘆畫瓢的解題過程，其數(shù)學(xué)素養(yǎng)并沒有絲毫提升.而《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“以人的發(fā)展為目標(biāo)”，“關(guān)注學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展”，“強調(diào)從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有的知識背景出發(fā)，通過課堂教學(xué)為學(xué)生提供學(xué)習(xí)和實驗的場所，激發(fā)他們自主探索的興趣，在這一過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識和技能、數(shù)學(xué)的思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)體驗，并學(xué)會將數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活.”因而，本節(jié)課制定了以下教學(xué)目標(biāo)：(1)掌握等比數(shù)列前n項和公式，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用；(2)根據(jù)從特殊到一般地探索規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生探究、解決問題的能力；(3)培養(yǎng)學(xué)生掌握探索生活中的數(shù)學(xué)知識的能力和方法，感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

2.2 教學(xué)設(shè)計遵循認(rèn)知規(guī)律

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“在教學(xué)活動中，應(yīng)結(jié)合教學(xué)任務(wù)及其蘊含的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)設(shè)計合適的情景和問題，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)象、發(fā)現(xiàn)問題，使用恰當(dāng)?shù)恼Z言描述問題，用數(shù)學(xué)的思想、方法解決問題.在問題解決的過程中，理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.”因此，深層次的教學(xué)設(shè)計是學(xué)生核心素養(yǎng)提高的必要條件.本節(jié)課的主要任務(wù)是等比數(shù)列前n項和公式及其推導(dǎo)，教材雖然給出了情景進(jìn)行引入，但筆者認(rèn)為和學(xué)生實際生活的聯(lián)系并不密切，所以設(shè)計了這一獎勵問題，通過學(xué)生身邊的真實問題激發(fā)學(xué)生探索實際問題的積極性，學(xué)生在解決這一實際問題中發(fā)現(xiàn)了本節(jié)課的主題“等比數(shù)列前n項和求解”這一數(shù)學(xué)問題，但找不到求解的方法，教師在探索求和公式過程中，遵循發(fā)現(xiàn)規(guī)律的實際過程，引導(dǎo)學(xué)生從“特殊到一般”進(jìn)行求解，讓學(xué)生自己去探求和分析歸納，尋找到正確的解決方法，并在這一過程中領(lǐng)悟“錯位相減法”的真正含義.同時，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中運算是不可避免的，在知道公式的情況下讓學(xué)生去尋找各變量間的關(guān)系，從多角度的視野下去尋求聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生對運算的敏銳嗅覺.以此來培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析和解決問題的能力，完成教學(xué)的目標(biāo)任務(wù).

2.3 教學(xué)方法遵循深度學(xué)習(xí)

新課標(biāo)下，我們需要培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析”六大核心素養(yǎng).關(guān)于如何培養(yǎng)是個值得深思的問題.這絕不是把儲存在書本上的知識轉(zhuǎn)移到學(xué)生的頭腦里再儲存起來就能達(dá)到的，而是需要教師把外在于學(xué)生的、和學(xué)生沒有關(guān)系的知識，在教學(xué)中轉(zhuǎn)化為學(xué)生主動活動的對象，與學(xué)生建立起意義關(guān)聯(lián)，并通過學(xué)生個體的主動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變成學(xué)生成長的養(yǎng)分.本堂課的教學(xué)，如果直接給出“錯位相減法”來推導(dǎo)出公式，那么學(xué)生只是停留在模仿的層次，未能對知識有本質(zhì)的理解，屬于淺層教學(xué).因而筆者在教學(xué)中便通過設(shè)計情景，問題導(dǎo)向，還原探索知識產(chǎn)生發(fā)展的實際歷程，讓學(xué)生經(jīng)歷探索知識的思維過程，內(nèi)化了學(xué)生的探索習(xí)慣，促進(jìn)了學(xué)生自主探究，從而達(dá)成了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的全面提高.而最后通過所學(xué)知識解決我國古代著名文獻(xiàn)中的實際問題，是對學(xué)生愛國主義精神的培養(yǎng)，提升了學(xué)生的民族自豪感，培養(yǎng)了學(xué)生正確的人生觀和價值觀.正如郭華教授認(rèn)為的，教學(xué)的根本是既實現(xiàn)了人類歷史文化的代際傳承，也實現(xiàn)了培養(yǎng)人、發(fā)展人的根本目的.這樣的教學(xué)才是深度學(xué)習(xí).