聯(lián)系觀點下的“兩角差的余弦公式”教學(xué)

洪末鳳

(安徽省太和縣第一中學(xué)，安徽阜陽，236000)

“聯(lián)系的觀點”認(rèn)為一切事物都處于相互聯(lián)系之中,世界上根本沒有不依賴于周圍其他事物而孤立存在的事物.“聯(lián)系的觀點”指的是重視知識的比較和應(yīng)用,形成全局的觀點,形成和優(yōu)化知識結(jié)構(gòu).注重“聯(lián)系的觀點”不僅是數(shù)學(xué)教育界的一個普遍趨勢，而且更與“理解教學(xué)”具有直接的聯(lián)系，因為所謂的“理解”就是指新學(xué)習(xí)的知識與主體已有的知識與經(jīng)驗建立起了直接的聯(lián)系，因此“聯(lián)系”的數(shù)目與強度直接決定了“理解”的程度.眾所周知，“兩角差的余弦公式”是“誘導(dǎo)公式”的推廣，但是兩個公式之間究竟存在怎樣的聯(lián)系，如何利用它們之間的聯(lián)系開展教學(xué)是困擾廣大一線教師的問題.下面，筆者就針對這節(jié)課，談?wù)剬Υ说目捶?

1 關(guān)注知識的連續(xù)性，建立“為什么學(xué)”的聯(lián)系

通?！皟山遣畹挠嘞夜健倍际峭ㄟ^“誘導(dǎo)公式”引入的.因為誘導(dǎo)公式反應(yīng)了終邊具有特殊對稱關(guān)系角的三角函數(shù)的關(guān)系，由此聯(lián)想到對于終邊不具有對稱關(guān)系的任意兩個角之間是否也存在類似的關(guān)系，從而引出本節(jié)課的教學(xué)主題.這樣的聯(lián)系，看似是自然，實則學(xué)生很難想到.首先，“誘導(dǎo)公式”與“兩角差的余弦公式”中間隔了“三角函數(shù)圖像與性質(zhì)”，這兩部分的內(nèi)容實際上是被認(rèn)為的割裂開來，它們之間的聯(lián)系也就變得不再那么緊密.根據(jù)聯(lián)系的觀點，越是相近的知識它們之間聯(lián)系應(yīng)該越強.基于這個觀點，如果我們從“三角函數(shù)圖像與性質(zhì)”出發(fā)，能否建立起知識間的聯(lián)系呢？

2 關(guān)注方法的遷移性，建立“如何學(xué)”的聯(lián)系

一般數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)方法有很多，究竟選擇哪種方法往往會讓人糾結(jié).在人教A版舊教材中，“兩角差的余弦公式”就采用了兩種方法，一個就是幾何構(gòu)造法，另一個就是向量法.兩種方法雖然都能推導(dǎo)出公式，但都存在不足，最后都要對α,β的范圍進行一般性的推廣，而且?guī)缀畏y以想到，向量法雖然簡單，但跟三角函數(shù)似乎沒多大關(guān)系.人教A版新教材中，采用的是旋轉(zhuǎn)對稱法，這種方法更加符合單元設(shè)計理念，符合學(xué)生的認(rèn)知思維，但旋轉(zhuǎn)對稱法學(xué)，不容易想到，這就需要與誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)方法建立起聯(lián)系，然后通過類比遷移，從而獲得公式的推導(dǎo)方法.

誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)方法利用的是單位圓的特殊對稱性，即“軸對稱”與“中心對稱”.在推導(dǎo)誘導(dǎo)公式時，是先已知對稱性，然后再去確定角的終邊，最后再尋找終邊上坐標(biāo)的等量關(guān)系.例如，事先已經(jīng)知道兩個角的終邊關(guān)于y軸對稱，具體做法是先確定角α的終邊，再作角α終邊關(guān)于y軸的對稱終邊，然后分析對稱終邊所指向角的大小，發(fā)現(xiàn)滿足π-α；最后，有對稱性，很容易發(fā)現(xiàn)這兩個角所對應(yīng)坐標(biāo)之間的等量關(guān)系，從而獲得關(guān)于π-α的誘導(dǎo)公式.

cos(α-β)的推導(dǎo)利用的是單位圓的旋轉(zhuǎn)對稱，它是比軸對稱與中心對稱更具一般性的對稱，也就是說終邊對稱與軸對稱都可以看成旋轉(zhuǎn)對稱，如果能夠讓學(xué)生明白這一點，公式推導(dǎo)也就迎刃而解.那么，如何建立起它們自己的聯(lián)系呢？首先讓學(xué)生思考，如果不事先知道對稱性，能否確定α與π-α的終邊？α終邊事先可以規(guī)定，但對于π-α就不好確定，不過可以確定π-α的大小，如圖1所示.根據(jù)研究三角函數(shù)關(guān)系一般準(zhǔn)則，則需要把所有的角的始邊都轉(zhuǎn)移到x軸的正半軸上，如何把π-α的始邊轉(zhuǎn)移過去呢？自然想到的方法是“旋轉(zhuǎn)”，從而就得到了比中心對稱、軸對稱更具一般性的對稱，旋轉(zhuǎn)對稱.接下去，類比旋轉(zhuǎn)對稱的思路就可以確定α,β，α-β三個角的終邊，再比較旋轉(zhuǎn)前后圖形的位置關(guān)系來尋找等量關(guān)系，最后獲得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

圖1

3 關(guān)注思維的拓展性，建立更多的聯(lián)系

數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)并不僅僅是讓學(xué)生掌握知識與結(jié)論，更在于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.“兩角差的余弦公式”也是如此，獲得公式知識僅是其中一個目的，更應(yīng)通過公式的發(fā)現(xiàn)、證明的過程建立起更多的聯(lián)系，聯(lián)系越多，就越容易形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思維體系.

圖2

圖3

最后，通過上述一系列公式的推導(dǎo)，充分凸顯了單位圓作為研究三角函數(shù)的工具作用，也讓學(xué)生進一步體會到三角函數(shù)是圓函數(shù)這一本質(zhì)屬性，從而通過圓把所有的三角函數(shù)知識都聯(lián)系起來.

客觀世界是一個普遍聯(lián)系的整體，每一事物都不是孤立的存在，它和其他事物以各種方式相互依賴著，相互制約著，相互作用著.從數(shù)學(xué)的發(fā)展即可揭示出事物無不處于普遍聯(lián)系之中.國際教育署與國際教育學(xué)會于2009年聯(lián)合推出的指導(dǎo)性手冊《有效數(shù)學(xué)教學(xué)》將“聯(lián)系”列為數(shù)學(xué)教育最重要的“標(biāo)準(zhǔn)”之一，并且指出：當(dāng)學(xué)生能夠用相互聯(lián)系的觀點看待各種事物的時候，他們的學(xué)習(xí)生涯就開始了.