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    立足基礎(chǔ)、穩(wěn)中求新、關(guān)注核心素養(yǎng)
    ——2021年高考“數(shù)列”專題命題分析與備考建議

    2022-11-16 14:44:29孔繁晶徐州高等師范學(xué)校221116
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2022年2期
    關(guān)鍵詞:數(shù)列通項(xiàng)評(píng)析

    孔繁晶 (徐州高等師范學(xué)校 221116)

    《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出數(shù)列作為一類特殊函數(shù),是反映離散過(guò)程的基本模型.它不僅是數(shù)學(xué)課程的重要研究對(duì)象,在其他領(lǐng)域和日常生活中也有著廣泛的應(yīng)用,其研究過(guò)程還蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模等能力有著不可忽視的作用.2021年高考共計(jì)10套數(shù)學(xué)試題,每套試題均將數(shù)列作為主干知識(shí)進(jìn)行考查.試題編制突出數(shù)學(xué)本質(zhì),重視理性思維,堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的考查方向.

    1 考查內(nèi)容分析

    綜合分析2021年高考數(shù)學(xué)試題,其數(shù)列命題圍繞等差、等比兩類特殊數(shù)列展開(kāi),重點(diǎn)考查概念的理解、基本量的計(jì)算以及蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想.

    1.1 考點(diǎn)分布合理

    2021年10套高考數(shù)學(xué)試題共計(jì)18道數(shù)列問(wèn)題,統(tǒng)計(jì)如表1.2021年高考數(shù)列考查內(nèi)容分布均衡,主要集中在以下幾個(gè)方面:數(shù)列的表示方法,項(xiàng)與和的關(guān)系;等差(比)數(shù)列的判斷和性質(zhì);等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式;利用遞推關(guān)系求通項(xiàng);數(shù)列求和;數(shù)列的綜合應(yīng)用等.其中,等差(比)數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式仍是考查重點(diǎn).部分試題還與函數(shù)、方程、不等式、簡(jiǎn)易數(shù)論、數(shù)學(xué)歸納法相結(jié)合進(jìn)行考查,如北京卷第21題,浙江卷第10題、第20題,天津卷第19題等.

    表1 2021年高考數(shù)學(xué)試卷數(shù)列問(wèn)題考查情況統(tǒng)計(jì)

    1.2 分值比重相當(dāng)

    10套試題中,數(shù)列內(nèi)容均有一道解答題,選擇題、填空題數(shù)量各有不同.總分值在10~24分之間,全國(guó)統(tǒng)一命題卷相對(duì)偏低,在10~17分之間,地方自主命題卷相對(duì)偏高,在15~24分之間.

    1.3 文理差異存在

    全國(guó)甲、乙卷均針對(duì)文、理科學(xué)生的能力差異進(jìn)行分別命題.其中,全國(guó)甲卷解答題采用同一題源,理科以“結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題”形式進(jìn)行考查,文科則以傳統(tǒng)形式進(jìn)行設(shè)計(jì).可見(jiàn),文理科命題差異依然存在,理科思維跨度稍大,更加注重抽象與邏輯思維,文科則偏重基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能.

    1.4 難度層次分明

    全國(guó)統(tǒng)一命題的數(shù)列試題均以容易題和中檔題為主,主要考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法.值得注意的是,首次問(wèn)世的新高考I卷數(shù)列填空題綜合性較強(qiáng),考查了學(xué)生發(fā)現(xiàn)、分析、解決問(wèn)題的能力.而數(shù)列解答題一改江蘇卷多年風(fēng)格,未與其他知識(shí)點(diǎn)交匯命題,也不再以壓軸題的身份出現(xiàn).

    地方自主命題的數(shù)列試題呈現(xiàn)多層次考查態(tài)勢(shì).北京卷、上海卷的填空、選擇題各一道,一道容易題,一道較難題,浙江卷只有一道選擇題,難度較大.而解答題題號(hào)均相對(duì)偏后,屬于中檔題或難題,北京卷的解答題為壓軸題,難度大.

    1.5 問(wèn)題力求創(chuàng)新

    2020年10月,中共中央、國(guó)務(wù)院在《深化新時(shí)代教育評(píng)價(jià)改革總體方案》中提出要構(gòu)建引導(dǎo)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的考試內(nèi)容體系,改變相對(duì)固化的試題形式,增強(qiáng)試題的創(chuàng)新性.2021年高考數(shù)列試題踐行這一思路,出現(xiàn)以傳統(tǒng)文化為情境的微型建模、加大開(kāi)放題的創(chuàng)新力度,將考查指向核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力,發(fā)揮高考的選拔功能.如全國(guó)甲卷理科第18題、新高考I卷第16題、北京卷第21題.

    2 命題思路分析

    2021年高考數(shù)列試題緊扣考試大綱,遵循“基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性”的命題原則,立足基礎(chǔ),穩(wěn)中求新,關(guān)注學(xué)科核心素養(yǎng),落實(shí)“立德樹(shù)人,服務(wù)選才”的核心功能.

    2.1 立足基礎(chǔ),重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法

    等差、等比數(shù)列是高中階段研究的兩類重要特殊數(shù)列.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》要求探索并掌握等差(比)數(shù)列的概念、變化規(guī)律、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式.因此,基本量、基本運(yùn)算一直都是高考考查的重點(diǎn).

    例1(新高考Ⅱ卷第17題)記Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a3=S5,a2a4=S4.

    (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;

    (2)求使Sn>an成立的n的最小值.

    評(píng)析本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和公式,是典型的基本量計(jì)算題.題目著眼等差數(shù)列五個(gè)量a1,an,d,n,Sn之間的關(guān)系,通過(guò)構(gòu)造方程組,求得an,Sn,再建立一元二次不等式確定n的最小值.這類問(wèn)題屬于高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn),重點(diǎn)考查通性通法,方程、整體代換等思想以及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).同時(shí),此類解答題還是考查學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言能力的良好載體,書(shū)寫(xiě)過(guò)程不必繁瑣,但不可缺少關(guān)鍵步驟,例如代數(shù)化簡(jiǎn)、寫(xiě)出基本量等.

    例2(全國(guó)甲卷文科第9題)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若S2=4,S4=6,則S6=( ).

    A.7 B.8 C.9 D.10

    A.64 B.100 C.128 D.132

    評(píng)析上述兩道例題,依然考查等差(比)數(shù)列的通項(xiàng)、前n項(xiàng)和以及性質(zhì).在解題時(shí)若能靈活運(yùn)用性質(zhì),將其與基本量運(yùn)算相結(jié)合,如例2依題意知“S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列”,例3利用“2b3=b1+b5”均可簡(jiǎn)化計(jì)算、節(jié)約時(shí)間.這也體現(xiàn)了高考命題小題考“小”、解題“多路徑”的特征.

    (1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;

    評(píng)析縱觀多年各地考題,數(shù)列求和問(wèn)題屢“考”不鮮.本題題干清晰,易于入手,第(1)小題構(gòu)造方程求解;第(2)小題考查形如cn=an·bn的數(shù)列求和(其中{an}為等差數(shù)列,{bn}為等比數(shù)列),需利用錯(cuò)位相減法和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式分別求得Tn和Sn,再用作差法完成不等式證明.處理此類問(wèn)題需要邏輯清晰、公式熟練,其中,錯(cuò)位相減法也是高考數(shù)學(xué)中考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力極好的載體.

    2.2 適度綜合,關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)、理性思維和關(guān)鍵能力

    高中數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)并非互相孤立,而是相互關(guān)聯(lián)的.因此,近年高考命題遵循覆蓋全面、適度綜合的原則.所謂綜合,既可指內(nèi)容,如章節(jié)內(nèi)部、章節(jié)之間、跨學(xué)科的綜合,也可指能力,如聯(lián)合考查多個(gè)核心素養(yǎng),以促進(jìn)師生重視知識(shí)間的邏輯關(guān)系,重視數(shù)學(xué)本質(zhì),重視理性思維和關(guān)鍵能力的培養(yǎng).

    (1)記bn=a2n,寫(xiě)出b1,b2,并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;

    (2)求{an}的前20項(xiàng)和.

    評(píng)析本題位于試卷解答題第一題,無(wú)疑應(yīng)該屬于基礎(chǔ)題一類.但遞推數(shù)列與等差數(shù)列的結(jié)合,又涉及分奇偶討論,這樣相對(duì)綜合的問(wèn)題難住了不少考生.第(1)問(wèn)關(guān)鍵在于通過(guò)奇偶分支寫(xiě)出“bn+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3=bn+3”, 第(2)問(wèn)則需要繼續(xù)依據(jù)奇偶項(xiàng)分類,通過(guò)分組求和得出S20.由此可見(jiàn),所謂大題考“質(zhì)”,就是避開(kāi)一些命題固定套路,回歸數(shù)列本質(zhì),通過(guò)列舉找尋規(guī)律,用最原始、最簡(jiǎn)單的辦法突破問(wèn)題.

    (1)證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;

    (2)求{an}的通項(xiàng)公式.

    例7(全國(guó)甲卷理科第7題)等比數(shù)列{an}的公比為q,前n項(xiàng)和為Sn.設(shè)甲:q>0,乙:{Sn}是遞增數(shù)列,則( ).

    A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

    B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

    C.甲是乙的充要條件

    D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

    (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

    (2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足3bn+(n-4)an=0(n∈N*),記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.若Tn≤λbn,對(duì)任意n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

    評(píng)析數(shù)列作為高考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn),既可以獨(dú)立命題,也可以在與其他數(shù)學(xué)知識(shí)、方法交匯處命題,從而全面考查學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng).常見(jiàn)類型是與函數(shù)方程、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、簡(jiǎn)易數(shù)論等知識(shí)相結(jié)合,且綜合考查多個(gè)知識(shí)點(diǎn),難度較大,尤其在自主命題地區(qū)常以壓軸題身份出現(xiàn).

    例7相對(duì)簡(jiǎn)單,將等比數(shù)列通項(xiàng)、性質(zhì)以及前n項(xiàng)和與四種條件相結(jié)合,依據(jù)定義進(jìn)行充分性和必要性的判斷.例8難度較大,考查了遞推數(shù)列求通項(xiàng)和裂項(xiàng)求和,還融合了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、數(shù)學(xué)歸納法以及不等式放縮等內(nèi)容,著實(shí)對(duì)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力進(jìn)行了考查,具備選材價(jià)值.例9第(1)問(wèn)考查Sn與an關(guān)系,屬于基本題型,第(2)問(wèn)借助錯(cuò)位相減法求Tn,轉(zhuǎn)化成λ(n-4)+3n≥0恒成立問(wèn)題,考查了特殊數(shù)列求和的常見(jiàn)方法以及分類討論等重要數(shù)學(xué)思想.

    2.3 靈活應(yīng)用,突出理論聯(lián)系實(shí)際,學(xué)以致用

    新一輪教學(xué)改革倡導(dǎo)理論聯(lián)系實(shí)際,學(xué)以致用,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.故高考試題命制將會(huì)彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)外的應(yīng)用,考查學(xué)生必備知識(shí)水平與關(guān)鍵能力,逐級(jí)深化構(gòu)建德智體美勞全面發(fā)展的考試體系.

    例10(北京卷第10題)數(shù)列{an}是遞增的整數(shù)數(shù)列,且a1≥3,a1+a2+a3+…+an=100,則n的最大值為( ).

    A.9 B.10 C.11 D.12

    評(píng)析本題雖然容易,卻從簡(jiǎn)易背景入手,考查學(xué)生應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和等知識(shí)解決問(wèn)題的能力,顯現(xiàn)出學(xué)科內(nèi)應(yīng)用的命題思路.

    例11(上海卷第19題)已知某企業(yè)2021年第一季度的營(yíng)業(yè)額為1.1億元,以后每個(gè)季度的營(yíng)業(yè)額比上個(gè)季度增加0.05億元,該企業(yè)第一季度的利潤(rùn)為0.16億,以后每季度比前一季度增長(zhǎng)4%.

    (1)求2021年起前20季度營(yíng)業(yè)額的總和;

    (2)請(qǐng)問(wèn)哪一季度的利潤(rùn)首次超過(guò)該季度營(yíng)業(yè)額的18%?

    評(píng)析本題以求企業(yè)20季度營(yíng)業(yè)額之和以及利潤(rùn)探討命題,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì)生活,理解數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.第(1)問(wèn)考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,第(2)問(wèn)利用等差(比)數(shù)列通項(xiàng)知識(shí)建立不等關(guān)系,進(jìn)而確定何時(shí)“首次超過(guò)”,意在考查學(xué)生學(xué)以致用的意識(shí)以及數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等學(xué)科核心素養(yǎng).

    此外,此應(yīng)用背景源于教材習(xí)題,由此可見(jiàn),高考命題不僅考查的知識(shí)點(diǎn)、方法技能不會(huì)脫離課本,就連題設(shè)背景往往也源于課本.因此,再次提醒日常教學(xué)和復(fù)習(xí)必須重視教材.

    2.4 穩(wěn)中求新,體現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向

    2021年是高考改革之年,無(wú)論是全國(guó)統(tǒng)一命題還是地方自主命題,試題都在一個(gè)“穩(wěn)”字的基礎(chǔ)上著力創(chuàng)新.就數(shù)列試題的命制來(lái)看,在考查基本知識(shí)和關(guān)鍵能力的同時(shí),更加注重對(duì)學(xué)生創(chuàng)新性運(yùn)用的考查.除了??汲P碌摹靶露x”問(wèn)題外,還增加了開(kāi)放性問(wèn)題的數(shù)量,并從設(shè)問(wèn)方式上、背景設(shè)定上作了創(chuàng)新.這既反映了高考數(shù)學(xué)的考查方向,也體現(xiàn)了人才選拔的意愿.

    評(píng)析本題為全國(guó)甲卷理科試題的中檔題,設(shè)問(wèn)方式相對(duì)新穎,試題給出多個(gè)條件,要求構(gòu)建一個(gè)命題并加以證明.這類沒(méi)有明確結(jié)構(gòu)或解決途徑的“結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題”相對(duì)開(kāi)放,給學(xué)生充分的選擇空間.因其需要學(xué)生準(zhǔn)確表征,自主建構(gòu),對(duì)于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維和遷移能力有著豐富的價(jià)值.就本題來(lái)看,學(xué)生可以從多個(gè)角度分析,考慮多種可能,組合出三個(gè)命題,然后結(jié)合條件以及經(jīng)驗(yàn)判斷,①③為條件,②為結(jié)論或是②③為條件,①為結(jié)論(即為全國(guó)甲卷文科第18題).在這個(gè)過(guò)程中,重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,評(píng)測(cè)其思維的系統(tǒng)性、靈活性、深刻性以及創(chuàng)造性.

    3 備考建議

    數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,具有內(nèi)涵豐富、方法靈活、應(yīng)用廣泛的特點(diǎn).縱觀2021年高考數(shù)學(xué)中的數(shù)列試題,深感其難度基本穩(wěn)定,而深度、廣度以及新意都在不斷提升,既實(shí)現(xiàn)了“選材”的目的,又指明了課程改革的方向.為了使2022年高考數(shù)列復(fù)習(xí)更加具有針對(duì)性,筆者提出以下備考建議.

    3.1 研究試題,把握方向

    高考試題既是服務(wù)選材的尺,又是引導(dǎo)教學(xué)的旗.新一輪高考改革提出“一核”“四層”“四翼”,積極促使命題向素養(yǎng)導(dǎo)向發(fā)展.因此,在復(fù)習(xí)備考中,教師要深入研究試題,捕捉命題內(nèi)容、難度、題型等線索,并且透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì),總結(jié)規(guī)律求推廣,以此合理高效地分配備考時(shí)間和精力,有的放矢地進(jìn)行復(fù)習(xí).如開(kāi)展近幾年的熱點(diǎn)——結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的探討,引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí),體會(huì)數(shù)學(xué)本質(zhì),歸納一些解決問(wèn)題的方法:由簡(jiǎn)到繁,優(yōu)先選擇條件單一或者運(yùn)算方便的;由熟到生,優(yōu)先選擇熟悉的式子或者條件,等等.

    3.2 夯實(shí)基礎(chǔ),透析本質(zhì)

    九層之臺(tái),起于壘土.2021年高考數(shù)列試題依舊堅(jiān)持回歸數(shù)學(xué)本質(zhì),重視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查,不設(shè)“繁難偏怪”的問(wèn)題,注重通性通法的研究,淡化一些特殊的技巧.因此,在復(fù)習(xí)備考中,一方面要引導(dǎo)學(xué)生用好教材,重視知識(shí)的生成與發(fā)展,多想多悟,深化對(duì)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解;另一方面要幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ),做好“一題多解”“多題一解”的訓(xùn)練與反思,從通性通法中汲取解題思路,優(yōu)選方法,強(qiáng)化計(jì)算.假以時(shí)日才能做到基礎(chǔ)題穩(wěn)扎穩(wěn)打,萬(wàn)無(wú)一失,綜合題化繁為簡(jiǎn),逐級(jí)破解.

    3.3 著眼應(yīng)用,提升素養(yǎng)

    數(shù)學(xué)源于生活,又作用于生活,有著豐富的應(yīng)用價(jià)值.從近年高考試題可以看出,數(shù)列命題堅(jiān)持從學(xué)生認(rèn)知水平出發(fā),本著“重思維、重應(yīng)用、重創(chuàng)新”的理念,以學(xué)科內(nèi)外的應(yīng)用為依托,設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題、創(chuàng)新型應(yīng)用問(wèn)題,深化對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)的考查.因此,在復(fù)習(xí)備考中,教師要著眼應(yīng)用,勇于創(chuàng)新.一方面做好系統(tǒng)化教學(xué),另一方面開(kāi)展主題式研究,重視思維力和意志力的訓(xùn)練,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,用數(shù)學(xué)思維思考世界,用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界,使得學(xué)生在考場(chǎng)上遇到新問(wèn)題能夠不亂不懼,會(huì)思考、敢嘗試、能突破,切實(shí)提升學(xué)科核心素養(yǎng).

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