以問題設計為手段 發(fā)展學生核心素養(yǎng)
——以“兩角和與差的余弦公式”教學為例

王 燕 (江蘇省梁豐高級中學 215600)

新一輪課程改革以培養(yǎng)學生“核心素養(yǎng)”為目標，普通高中數學課程標準所設定的核心素養(yǎng)的本質就是抽象、推理、模型．數學學科核心素養(yǎng)包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析．基于“四基”的數學教學就是基于數學核心素養(yǎng)的數學教學．[1]這些數學學科核心素養(yǎng)既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體．數學學科核心素養(yǎng)是數學課程目標的集中體現(xiàn)，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)．數學教育的終極目標是用數學的眼光觀察世界、用數學的思維思考世界、用數學的語言表達世界．

隨著課程改革的深入，廣大教師的教學理念也發(fā)生了重大轉變，學生的學習方式也隨之轉變．教師與學生在課堂上的角色也在不斷地發(fā)生變化．教師從單純的知識傳授者轉變?yōu)閷W生學習的促進者、課程的開發(fā)者和研究者．學生也從學習上的接受者轉變?yōu)榻虒W活動的參與者、問題的研究者和學習者．

一堂高效的數學課，首先應該基于對教學目標的準確定位，在課堂教學中基于目標分步驟實施教學計劃.在教學實踐中，重要的是教給學生研究問題的方法，讓學生學會學習，從而使學生的數學核心素養(yǎng)培養(yǎng)得以落實．課堂教學設計是課堂成功與否的關鍵，設計的成功與否在于能否吸引學生融入到課堂中去．本文以“兩角和與差的余弦公式”的教學設計為例，談談在數學課堂教學設計中，如何滲透數學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．

1 回顧舊知，引出問題

我們在必修四第二章《平面向量》中，學習了向量的概念及表示、向量的運算和坐標表示，以及向量的數量積．數量積公式a·b=|a||b|cosθ(其中θ為向量a,b的夾角)，另外a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a·b=x1x2+y1y2．

設計意圖引導學生從聯(lián)系與變換的角度自然地提出接近研究水平的問題，增強學生的問題意識．不直接提出先研究cos(α-β)，是為了使探究更真實、更自然．

2 解決問題，意義建構

2.1 大膽嘗試，合理猜想

問題3如何用角α,β的正弦、余弦值來表示cos(α-β)呢？如果沒有特別說明，α,β都表示任意角．同學們第一反應這個結果可能是什么？

如果有學生提出cos(α-β)=cosα-cosβ．

師：既然是猜想，那就根據我們所學的知識來驗證這個猜想是否成立．當a=60°,β=30°時，同學們動手算一算，等式兩邊相等嗎？

師：我們再取一組角α=120°,β=60°，通過驗證，我們可以得出這樣的結論，對角α,β，cos(α-β)≠cosα-cosβ．下面讓我們先討論α,β,α-β都是銳角的情況．

設計意圖進一步強化學生的猜想與探究意識，同時讓學生感受或學會思維受阻時如何“拐彎”，發(fā)展學生的邏輯推理素養(yǎng)．

問題4怎樣用α,β的三角函數來表示cos(α-β)？

引導學生構造如圖1所示的直角三角形，并用割、補的方法得到cos(α-β)=OM=OB+BM=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα．

圖1

設計意圖讓學生感受如何化陌生問題為熟悉問題，如何通過作輔助線，用“割補法”尋找量與量之間的聯(lián)系，利用幾何直觀發(fā)展直觀想象和邏輯推理的數學素養(yǎng)．

2.2 聯(lián)想舊知，科學證明

問題5上面這個式子是否對任意角α,β都成立？

教師借助事先設計的多媒體軟件，由學生提出任意角進行驗證．數學是嚴謹的，數學結論必須經過嚴格的邏輯證明．現(xiàn)在初步結果已經出來，目標和方向已經明確．請大家仔細觀察上面兩式的構成要素和結構特征，看看從中會得到什么樣的啟發(fā)？產生怎樣的聯(lián)想？或有什么新的發(fā)現(xiàn)？

問題6如何證明cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ？(學生分組討論，共同解決問題)

圖2

設計意圖引導學生關注兩個向量的夾角θ與α-β的聯(lián)系與區(qū)別，并通過觀察和討論搞清楚α-β=2kπ±θ(k∈Z)，增強學生用數形結合、分類討論的方法解決問題的意識，感受數學思維的嚴謹性．

問題7從剛才我們推導兩角差的余弦公式的過程來看，大家有什么啟發(fā)和感悟？教材為什么要先提出求cos(α-β)？

設計意圖引導學生從探究思路、數學思想方法、所用到的數學知識等方面進行回顧與反思，強化學生的思維發(fā)展，突出向量的工具價值．

問題8我們能否利用兩角差的余弦公式得到兩角和的余弦公式？

生：在兩角差的余弦公式中，用-β代替β，可以得到cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosβcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ，所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ．

師：請同學們總結兩角和與差的余弦公式的特點．

生：(1)對任意的角α,β均成立；(2)左右兩邊的符號相反；(3)右邊三角函數排列順序是 cosαcosβ,sinαsinβ．

師：利用向量的數量積公式通過算兩次的方法，我們推導出了兩角差的余弦公式，通過“用 -β代替β”的換元法，我們得到了兩角和的余弦公式．今后我們可以運用這組公式來解決非特殊角的三角函數求值問題．

3 運用鞏固，培養(yǎng)能力

例1利用兩角差的余弦公式求cos 15°, cos 75°的值．

引導學生用15°=45°-30°和15°=60°-45°兩種方法求解．

設計意圖通過例1的講解，讓學生當堂鞏固兩角和與差的余弦公式，感受15°角的不同拆分方式．

師：請同學們自編一個利用兩角和與差的余弦公式求解的題目，并且嘗試自己解決．

設計意圖例2的設計，主要是為了強調角的范圍對三角函數值正負的影響，同時通過本例給學生示范解答的規(guī)范性．教師在課堂上給學生適當的鋪墊、點撥、示范，指導學生提問的方向和思考問題的路徑．通過讓學生嘗試編寫題目，培養(yǎng)學生提出問題的能力．

4 回顧總結，提升認識

本節(jié)課你有哪些收獲？學到了哪些知識？運用了哪些數學思想方法？學生交流后歸納，教師補充完善．

設計意圖讓學生對探究的過程與思路、方法有一個清晰的認識，進一步達到“教思維”的目的．

圖3

5 拓展閱讀，滲透文化

無字證明：20世紀90年代末美國《數學雜志》開辟沒有文字的證明專欄，受到廣大數學愛好者的關注，圖3就是其中刊登的一個典型案例！

設計意圖通過閱讀材料的介紹，可以豐富學生對數學發(fā)展史的認識，拓寬學生的知識面，提高學生學習數學的興趣，同時也將數學文化融入課程．

6 課后作業(yè)，鞏固延伸

(1)教材106頁，習題第1～6題；(2)試自主探究公式Sα+β，Sα-β，并加以證明．

設計意圖通過課外作業(yè)的布置，達到對課堂知識的復習鞏固和強化的目的．另外，適當布置一些探究性的問題為下一節(jié)課作鋪墊，起到承上啟下的作用．

7 感悟反思，促進提高

在本節(jié)課的教學設計中，教師以問題的提出和解決作為這堂課的出發(fā)點和歸宿地，以問題為主線的教學方式使學生始終處于主動探索的狀態(tài)，有助于有效提升課堂教學效率．每個教學環(huán)節(jié)緊緊圍繞教學目標的達成而精心設計，以問題為載體，在教師創(chuàng)設的問題情境中，每個學生都積極投入探究過程，學生在疑惑中去探索，在探索中去思考，在思考中去發(fā)現(xiàn)．教師搭建學習平臺，并給學生充分表現(xiàn)的機會，把學習的主動權真正地交給學生，以實現(xiàn)學生角色的轉變．課堂上教師只是適時對學生進行引導，把實踐的空間都留給學生進行思考、探究、交流．教師樹立以發(fā)展學生數學核心素養(yǎng)為導向的課程意識與教學意識，將數學核心素養(yǎng)的發(fā)展貫穿于數學課堂的全過程．

高中數學教學活動的關鍵是啟發(fā)學生學會數學思考，引導學生會學數學、會用數學．問題是推動學生自主探究的主要動力，啟發(fā)學生的問題意識是生態(tài)課堂的重要部分，問題意識是思維的起點．美國教育家布魯巴克認為：最精湛的教學藝術，遵循的最高準則，就是學生自己提出問題．愛因斯坦指出：“提出一個問題往往比解決一個問題更為重要．”教師根據教學內容設置問題固然能使教學按照既定方向進行，但是學生獲得的僅僅是數學上或是實驗上的技術，而讓學生提出新的問題，發(fā)現(xiàn)新的可能性，卻可以喚醒學生的想象力，讓學生不再缺席“提問”這一科學探究中最重要的一環(huán)．本節(jié)課在講完例2之后，教師通過讓學生自己編題這一環(huán)節(jié)，給學生搭建平臺，引導學生自主提問．體現(xiàn)了教師在教學中落實“四基”，培養(yǎng)“四能”，促進學生數學核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展．

本節(jié)課教師從學生的學情出發(fā)，站在學生的角度去探索問題，給學生提供更多探索新知的機會，激發(fā)學生學習數學的興趣，為學生思維能力的提升搭建平臺．教師是學生自主探究的引導者、組織者，當然教師在教學中的引導作用必須以確定學生主體地位為前提．在教學的每個環(huán)節(jié)，都應通過啟迪和引導，使學生參與到分析知識的形成過程中去，從而使學生思維能力得到有效的培養(yǎng)和開發(fā)，我們的課堂教學效益才會在更大的范圍內、更深的層次上產生質的飛躍，才能保證數學教學始終在新的理念指導下獲得預期的教學效果，才能實現(xiàn)數學教育的終極目標．