基于“自治自動”的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐與思考
——以“解三角形復(fù)習(xí)課”為例*

戚有建 (江蘇省揚(yáng)州中學(xué) 225009)

1 問題提出

上世紀(jì)二十年代，美國著名教育學(xué)家、心理學(xué)家杜威首先提出了“自治自動”教育思想，并于1919—1921年間來華訪問和講學(xué).受杜威先生影響，陶行知、朱自清成為“自治自動”教育思想的積極傳播者和實踐者.陶行知先生撰文《學(xué)生自治問題之研究》對“自治自動”進(jìn)行闡述：學(xué)生自己管理自己，自我評價，自己發(fā)揮主觀能動，實現(xiàn)自我成長.朱自清先生的教育理念集中體現(xiàn)在他給母校揚(yáng)州中學(xué)譜寫的校歌中：“人格健全，學(xué)術(shù)健全，相期自治與自動，欲求身手試英豪，體育須兼重.”“人格健全，自治自動”也成了揚(yáng)州中學(xué)沿承百年的教育主張.作為揚(yáng)州中學(xué)的一名教師，筆者也在努力繼承和發(fā)揚(yáng)這一教育主張，并且將其與數(shù)學(xué)教學(xué)融合起來，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的提升，逐步實現(xiàn)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的方法研究世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.

為了踐行“自治自動”，筆者以“解三角形復(fù)習(xí)課”為題上了一節(jié)公開課，授課對象是揚(yáng)州中學(xué)高一理科重點(diǎn)班的學(xué)生，他們基礎(chǔ)扎實、思維敏捷、積極性高，有較強(qiáng)的合作精神和探究能力．本節(jié)課的設(shè)計定位是“問題由學(xué)生提、思路由學(xué)生想、方法由學(xué)生說、反思由學(xué)生悟”．新穎的教學(xué)設(shè)計、豐富的數(shù)學(xué)活動，催生了精彩的數(shù)學(xué)課堂，取得了良好的教學(xué)效果，受到聽課教師們的一致好評．

2 教學(xué)案例

2.1 基本構(gòu)想

解三角形是由已知的邊角確定未知邊角元素的過程．而正、余弦定理的作用就是將邊角間的關(guān)系數(shù)量化，從而構(gòu)建方程(或方程組)，因此方程思想是解三角形的關(guān)鍵．如果已知的方程個數(shù)比未知的邊角元素個數(shù)少，這樣就變成不確定三角形，此時就可以研究三角形中的最值(范圍)問題．

2.2 教學(xué)過程

(1)學(xué)生自治自動提出問題

情境三角形的6個元素(3條邊和3個角)中知道幾個就能解三角形？有哪些類型？

意圖此情境幫助學(xué)生回憶正、余弦定理的內(nèi)容，思考正、余弦定理的作用及解三角形的幾種常見類型.

問題在△ABC中，已知b=7，B=60°，，求.(請?zhí)钜粋€條件，然后解答問題)

意圖以開放題的形式呈現(xiàn)，讓學(xué)生自己填寫條件解答問題，可以激發(fā)學(xué)生興趣，啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生學(xué)會自己提出問題，從而實現(xiàn)自治自動，提升數(shù)學(xué)思維．

教學(xué)中，學(xué)生首先想到的是下面兩種方案：給角求邊、給邊求角.學(xué)生根據(jù)這兩種方案很容易編題，例如下面的題目1、題目2.

(2)學(xué)生自治自動分析問題

追問比較題目1和題目2，哪個問題值得進(jìn)一步研究(哪個問題復(fù)雜點(diǎn))？為什么？

意圖啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步深入思考，體會這兩類問題的差異，雖然都是用正弦定理處理，但是題目2中三角形可能會有兩解.此時學(xué)生很自然地會想到編寫這方面的題目，例如下面的題目3、題目4.

題目3 (判斷三角形有幾個解)在△ABC中，已知b=7，B=60°，a=8，判斷△ABC有幾個解？(答案：2個解)

題目4 (判斷三角形有幾個解)在△ABC中，已知b=7，B=60°，a=5，判斷△ABC有幾個解？(答案：1個解)

教學(xué)中還有學(xué)生想到了給邊求邊,例如：

題目5 (給邊求邊)在△ABC中，已知b=7，B=60°，a=8，求c.(答案：3或5)

解析本題可以用正弦定理處理，也可以用余弦定理處理，可啟發(fā)學(xué)生體會其中的差異.實際上用余弦定理簡單，因為它將原問題轉(zhuǎn)化為二次方程問題，如果用正弦定理，則轉(zhuǎn)化為三角方程問題，而且解題步驟會多一些.

教學(xué)中，還有學(xué)生想到了給面積求周長，或者給周長求面積，例如下面的題目6、題目7.

解析題目6、題目7旨在幫助學(xué)生體會正余弦定理的作用是將邊角間的關(guān)系數(shù)量化，從而構(gòu)建方程(或方程組)，而在具體處理方程時可以一解到底，也可整體處理、設(shè)而不求.

(3)學(xué)生自治自動解決問題

學(xué)生的主動性被激活了之后就愿意思考、樂于思考.以上面的題目3為例，在“有幾個解”這個重難點(diǎn)上，學(xué)生經(jīng)過思考想到了很多好的解法：

圖1

解法1(交軌法)先作∠B=60°，然后在一條邊上取BC=8，再以C為頂點(diǎn)、7為半徑畫圓(圖1)，因為圓與∠B的另一條邊有兩個交點(diǎn)，所以△ABC有2個解.

解法3(余弦定理法)在△ABC中，由余弦定理得c2-8c+15=0，解得c=3或c=5，所以△ABC有2個解.

(4)學(xué)生進(jìn)一步提出問題

如果已知的方程個數(shù)比未知的邊角元素個數(shù)少，則三角形不確定，此時就可以研究三角形中的最值(范圍)問題.例如下面的題目8、題目9.

題目9 在△ABC中，已知b=7，B=60°，求△ABC周長的最大值.(答案：21)

題目9實際上可以歸結(jié)為題目8，題目8的處理方法很多.

解法1構(gòu)建基本不等式求最值

解法2構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)(三角函數(shù))求最值

解法3借助軌跡求最值

3 教學(xué)思考

3.1 “自治自動”是踐行課標(biāo)理念的有效途徑

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)，教師要更新教育觀念，改變教學(xué)方式，讓學(xué)生由被動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃訉W(xué)習(xí)，由被動接受者轉(zhuǎn)變?yōu)橹鲃咏?gòu)者.而自治自動的教育主張可以充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，幫助學(xué)生自己主動發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，并且能及時地對自己的思維過程進(jìn)行自我調(diào)控.自治自動可以促進(jìn)高中數(shù)學(xué)教師教學(xué)方式和教學(xué)理念的轉(zhuǎn)變，實現(xiàn)教學(xué)策略的改進(jìn)，從而促進(jìn)高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思維能力的提升.

3.2 要努力培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力

新課標(biāo)中明確提出了“四基”和“四能”兩大課程目標(biāo),“四能”具體是指提高學(xué)生從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力．愛因斯坦曾指出：“發(fā)現(xiàn)一個問題往往比解決一個問題更重要，因為提出新問題，需要創(chuàng)造性的想象力”.顧明遠(yuǎn)教授說：“新世紀(jì)的教育要求學(xué)生獨(dú)立思考，敢想敢做，勇于創(chuàng)新，不能提出問題的學(xué)生不是一個好的學(xué)生”.可見，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題是創(chuàng)新的開始.教學(xué)中，教師可以從問題的聯(lián)想和類比、問題的延伸和推廣等方面啟發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題和提出問題．

3.3 要讓學(xué)生經(jīng)歷探究的過程，體驗過程的艱辛

教學(xué)方式、學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變是新課標(biāo)的本質(zhì)要求，新課標(biāo)倡導(dǎo)通過各種形式的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生親身體驗數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和形成過程．波利亞說過“學(xué)習(xí)任何知識的最佳途徑都是由自己去發(fā)現(xiàn)，因為這種發(fā)現(xiàn)理解最深刻，也最容易掌握其內(nèi)在規(guī)律”．現(xiàn)在的學(xué)生都是在“順利”中長大的，生活中缺乏挫折和磨練，而通過一些“不順利”的數(shù)學(xué)探究之路，可以讓學(xué)生對探究歷程的艱辛有深刻的認(rèn)識，對科學(xué)道路的曲折有深刻的理解，同時也能培養(yǎng)學(xué)生堅強(qiáng)的毅力與不服輸?shù)木瘢?/p>