改進(jìn)的基于壓縮感知的自適應(yīng)波束形成算法

王建，王松，丁其洪，樊書辰，江鋒，張宏偉

（1.中國(guó)航天科工集團(tuán)8511研究所，江蘇 南京 210007；2.中國(guó)人民解放軍32086部隊(duì)，江蘇 南京 210018）

0 引言

為了在保持口徑不變的前提下盡可能地減少陣元與射頻前端數(shù)量，人們提出了多種有效降低稀布陣旁瓣的方法，常見的有：遺傳算法［1］、蟻群算法［2］、粒子群算法［3］和模擬退火算法［4］等。但是以上算法都是只針對(duì)某個(gè)特定的方向圖進(jìn)行優(yōu)化布陣，當(dāng)波束掃描、方向圖形狀改變或者自適應(yīng)干擾抑制進(jìn)行時(shí)，波束性能會(huì)明顯惡化。

近年來，壓縮感知理論的發(fā)展突破了傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理。壓縮感知理論［5-6］指出，只要信號(hào)是稀疏的或可壓縮的（即在某個(gè)變換域上是稀疏的），那么就可以用一個(gè)與變換基不相關(guān)的采樣矩陣將變換所得的高維信號(hào)投影到一個(gè)低維空間上，然后通過求解一個(gè)優(yōu)化問題，從這些少量的投影中以高概率重構(gòu)出原信號(hào)。根據(jù)壓縮感知的這一特性，可以利用少量的采樣信號(hào)先對(duì)陣列信號(hào)進(jìn)行重構(gòu)，得到滿陣時(shí)各通道的數(shù)據(jù)，然后利用重構(gòu)的信號(hào)進(jìn)行波束形成。這樣形成的波束圖與滿陣時(shí)候波束性能幾乎相同，能夠自適應(yīng)地抑制干擾，具有波束旁瓣低、指向誤差小、干擾方向零陷深且沒有柵瓣等優(yōu)點(diǎn)。目前壓縮感知重構(gòu)算法很多，但是計(jì)算量都相對(duì)較大，難以滿足實(shí)時(shí)信號(hào)處理要求。近年來，針對(duì)壓縮感知的快速重構(gòu)也有了大量的研究。文獻(xiàn)［7］提出了一種快速最優(yōu)正交匹配追蹤（Fast OOMP）算法，該算法在原先OOMP基礎(chǔ)上，利用上一次的迭代結(jié)果計(jì)算當(dāng)前的迭代結(jié)果，從而減少計(jì)算量；文獻(xiàn)［8］提出了一種快速連續(xù)的壓縮感知算法，利用低秩矩陣填充的特性，進(jìn)行信號(hào)恢復(fù)，在保證矩陣半正定的過程中，用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行簡(jiǎn)化從而減少計(jì)算量；文獻(xiàn)［9］提出了基于光滑L0范數(shù)的快速重構(gòu)算法；文獻(xiàn)［10］利用信號(hào)之間的聯(lián)系提出了基于最小二乘的信號(hào)重構(gòu)；文獻(xiàn)［11］提出了一種基于離散余弦變換的快速重構(gòu)算法。

本文通過對(duì)聯(lián)合正交匹配追蹤（J-OMP）算法［12-13］的研究，結(jié)合陣列信號(hào)處理中信號(hào)角度信息隨快拍變化較慢這一特點(diǎn)，提出了一種改進(jìn)的基于多快拍的自適應(yīng)柵格調(diào)整的優(yōu)化算法，該算法不但恢復(fù)效果優(yōu)于J-OMP，而且在計(jì)算量上也大大減少。

1 信號(hào)模型

對(duì)于N個(gè)陣元的陣列，假設(shè)有K個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)回波信號(hào)入射到天線陣面上，陣列天線各陣元的接收信號(hào)可用一個(gè)N維的向量X（t）表示：

式中，V（t）=［v1（t），v2（t），…，vN（t）］T為由各個(gè)陣元通道的高斯白噪聲組成的向量，sk（t）為第k個(gè)回波信號(hào)。對(duì)于間距為d均勻線陣，導(dǎo)向矢量ak可以表示為：

式中，λ為工作波長(zhǎng)，uk=sin（θk），θk為第k個(gè)信號(hào)的回波方向。

根據(jù)|sin（θi）-sin（θi+1）|=2/N，將-90°～90°的空域N等分，得到ui，i=1，2，…，N。用這N個(gè)導(dǎo)向矢量構(gòu)建變換矩陣A：

壓縮采樣不是直接測(cè)量X（t），而是設(shè)計(jì)一個(gè)與A不相關(guān)的M×N（M＜＜N）維采樣矩陣Φ。測(cè)量X（t）在Φ上的投影向量Y（t），即：

式中，V′（t）=ΦV（t）是系統(tǒng)壓縮采樣之后的噪聲，采樣矩陣Φ表示天線對(duì)空域信號(hào)的壓縮采樣方式。矩陣Ψ=ΦA(chǔ)是一個(gè)M×N的矩陣，稱為觀測(cè)矩陣。理論研究表明，當(dāng)觀測(cè)矩陣Ψ滿足限制等容性（RIP）［14］條件時(shí)，便可通過求解投影系數(shù)向量S（t），由壓縮采樣向量Y（t）精確地重構(gòu)滿陣時(shí)的陣元接收信號(hào)向量X（t）。因此，在壓縮采樣中，采樣矩陣Φ的設(shè)計(jì)非常重要。根據(jù)陣列天線的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，本文設(shè)計(jì)了2種滿足條件且易于系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的采樣矩陣：

式中，Φ1、Φ2分別對(duì)應(yīng)稀布陣與隨機(jī)子陣結(jié)構(gòu)。

將式（4）改寫成多次快拍的形式得：

在得到壓縮采樣信號(hào)YM×L后，可以通優(yōu)化過求解式（6）的問題來恢復(fù)：

2 改進(jìn)算法

第1節(jié)的討論都是基于目標(biāo)在網(wǎng)格上的前提，當(dāng)目標(biāo)不在網(wǎng)格上時(shí)，重構(gòu)的輸出信號(hào)誤差將會(huì)明顯增大。通過增大參數(shù)P，減小網(wǎng)格大小可以改善輸出誤差。但是增大參數(shù)P會(huì)使計(jì)算量急劇上升。根據(jù)空間目標(biāo)在一定時(shí)間內(nèi)角度變換較小這一特點(diǎn)，本文提出了基于多快拍的自適應(yīng)柵格調(diào)整的優(yōu)化算法。該算法不但提高了恢復(fù)精度，而且大大減少了恢復(fù)信號(hào)所需的計(jì)算量。首先將所有得到的采樣信號(hào)按快拍進(jìn)行 分 段YM×L=[Y0M×l，Y1M×l，…，YmM×l]，其 中L=l×m。改進(jìn)后的算法框圖如圖1所示。

圖1 算法框圖

多快拍的自適應(yīng)柵格調(diào)整優(yōu)化算法流程為：

①初始余量r0=Y0M×l，內(nèi)循環(huán)迭代 次數(shù)n=1，索引值集合Λ=Ф，J=Ф；

②計(jì)算相關(guān)系數(shù)cM×1=(u1+u2+…+ul)/l，其中ui為矩陣uM×l=|ΨHr|的第i列，查找c中最大值，并將對(duì)應(yīng)的索引值存入J中；

③刪除已選中原子，更新支撐集ΨΛ、Ψ’Λ，其中Λ=Λ∪J；

由圖1可以看出，該算法根據(jù)估計(jì)的稀疏信號(hào)計(jì)算實(shí)際角度與預(yù)設(shè)柵格角度的偏差來調(diào)整柵格（支撐集ΨΛ，Ψ′Λ，ΑΛ，Α′Λ），隨著調(diào)整的次數(shù)增多，角度偏差會(huì)越來越小，恢復(fù)精度也會(huì)越來越高。當(dāng)角度偏差足夠小時(shí)，可以減少支撐集的更新頻率，從而減少支撐集更新之后，在步驟3）中矩陣求逆引入的巨大計(jì)算量。改進(jìn)算法在初始化時(shí)，采用多塊拍的J-OMP算法，當(dāng)?shù)玫较鄳?yīng)支撐集之后，采用逐步調(diào)整的方法，逐漸調(diào)整支撐集后，經(jīng)過幾次調(diào)整之后，角度偏差會(huì)很小，支撐集的更新頻率也可以降低。該方法減少了重復(fù)的原子選擇過程。

3 仿真結(jié)果分析

3.1 波束性能分析

假設(shè)有2個(gè)來自不同角度（5°，35°）的空域信號(hào)，其中一個(gè)是期望信號(hào)S（t）（5°），信噪比SNR=10 dB，另外一個(gè)為干擾信號(hào)I（t）（35°），干噪比INR=40 dB。考慮有一個(gè)滿陣40陣元的線陣，陣元間距λ/2，隨機(jī)抽取15個(gè)陣元作為稀布陣陣元。對(duì)稀布陣數(shù)據(jù)、滿陣（40陣元）接收數(shù)據(jù)、J-OMP方法恢復(fù)數(shù)據(jù)以及本文方法恢復(fù)數(shù)據(jù)的波束形成性能進(jìn)行了仿真比較。

圖2為幾種方法的方向圖及零陷：圖（a）為波束方向圖比較圖，圖（b）為零陷比較圖。由圖2可知，稀布陣方法旁瓣較高，且零陷偏移；J-OMP方法和本文方法的方向圖旁瓣與滿陣相當(dāng)，且零陷也較深；本文方法得到的零陷更深，更接近于滿陣。

圖2 幾種方法的方向圖及零陷

3.2 不同情況算法性能比較

下面進(jìn)行目標(biāo)不在網(wǎng)格上時(shí)，OMP方法、J-OMP方法和本文方法的仿真結(jié)果比較。仿真時(shí)，均采用一個(gè)期望信號(hào)S（t）和一個(gè)干擾信號(hào)I（t），期望和干擾的方向都偏離預(yù)設(shè)柵格，設(shè)INR=40 dB，均做100次蒙特卡洛仿真。

圖3為SNR=10 dB，INR=40 dB，100個(gè)快拍處理的結(jié)果比較?？梢钥闯觯琂-OMP優(yōu)于OMP方法，經(jīng)過調(diào)整之后本文方法結(jié)果明顯優(yōu)于J-OMP方法，接近柵格上的結(jié)果。圖4為調(diào)整完成之后不同輸入信噪比下的結(jié)果比較，可以看出，本文方法優(yōu)于J-OMP，較好地解決了不在柵格上的問題。

圖3 調(diào)整之后輸出信干噪比（l=100，SNR=10 dB，INR=40 dB）

圖4 不同輸入信噪比下的性能比較（l=100，INR=40 dB）

基于多快拍的信號(hào)恢復(fù)不僅可以減少計(jì)算量，更重要的是，在小信號(hào)的情況下，多快拍的處理有助于減小恢復(fù)誤差，圖5為不同快拍處理結(jié)果的比較。可以看出，快拍越多，信號(hào)恢復(fù)越精確，特別是小信號(hào)情況下，快拍較少時(shí)，信號(hào)不能很好地恢復(fù)。

圖5 不同快拍下的性能比較（INR=40 dB）

隨著柵格的自動(dòng)調(diào)整，目標(biāo)更接近于柵格，一階泰勒展開誤差更小，所以本文方法恢復(fù)效果優(yōu)于J-OMP方法。圖6為不同口徑下結(jié)果的比較，對(duì)于大口徑的陣列，本文方法相比于J-OMP方法性能提升較小，但是在小口徑陣列下提升較大，可見該方法更適用于小口徑的陣列。

圖6 不同口徑下性能比較（l=100，INR=40 dB）

本文第1節(jié)給出了2種滿足條件且易于實(shí)現(xiàn)的采樣矩陣Φ1、Φ2，圖7為2種采樣矩陣下的結(jié)果比較（均為15個(gè)射頻通道），可以看出，子陣結(jié)構(gòu)的輸出信干噪比優(yōu)于稀布陣結(jié)果。這是因?yàn)椴捎米雨嚱Y(jié)構(gòu)時(shí)，最后信號(hào)能量為40個(gè)陣元的疊加，而稀布陣的能量是15個(gè)陣元能量的疊加，所以，子陣結(jié)構(gòu)得到的能量大于稀布陣結(jié)果。

圖7 稀布陣與隨機(jī)子陣性能比較（INR=40 dB）

4 結(jié)束語

本文提出的改進(jìn)的基于多快拍的自適應(yīng)柵格調(diào)整的優(yōu)化算法，不但在恢復(fù)效果上優(yōu)于J-OMP方法，而且在計(jì)算量上也顯著減少。該方法可以在不影響波束性能的前提下大大減少射頻通道數(shù)，從而降低雷達(dá)的成本。該方法利用回波信號(hào)在空域的稀疏性且變化較慢這一特點(diǎn)，利用柵格的自適應(yīng)調(diào)整提高恢復(fù)精度，減少計(jì)算量。通過仿真可以看出，該方法與J-OMP方法相比，不僅適用于大陣列還適用于小陣列，多快拍處理性能優(yōu)于單快拍處理性能，隨機(jī)子陣結(jié)構(gòu)性能優(yōu)于稀布陣?！?/p>