三角形幾何場景，數(shù)學(xué)文化新情境

徐 俊

(江蘇省揚(yáng)州市江都區(qū)育才中學(xué)，江蘇揚(yáng)州，225200)

弘揚(yáng)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，是近年新高考數(shù)學(xué)試卷中的一大熱點(diǎn)與亮點(diǎn)，也是落實(shí)新高考數(shù)學(xué)考綱的一個明確體現(xiàn).特別地，以三角形這一簡單的平面幾何圖形為幾何場景，結(jié)合高中數(shù)學(xué)知識創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)文化情境成為高考數(shù)學(xué)命題的一個新的“增長點(diǎn)”，倍受各方關(guān)注.

1 黃金三角形

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分析：根據(jù)題目條件，直接利用黃金三角形的定義，綜合初中平面幾何與三角函數(shù)的知識，通過誘導(dǎo)公式以及二倍角公式的應(yīng)用來分析與求解.

點(diǎn)評：此類創(chuàng)新情境與綜合應(yīng)用問題，實(shí)質(zhì)是一個初中的平面幾何問題的深入與拓展.本題“新瓶裝舊酒”，以數(shù)學(xué)文化為問題情境，借助平面幾何圖形直觀展示三角形的邊、角關(guān)系以及對應(yīng)圖形的特征，進(jìn)而得以求解相關(guān)角的余弦值問題.

2 費(fèi)馬點(diǎn)

例2(江西省景德鎮(zhèn)市2022屆高三第二次質(zhì)檢理科數(shù)學(xué)試卷·16)1643年法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出了一個著名的幾何問題：已知一個三角形，求作一點(diǎn)，使其到這個三角形的三個頂點(diǎn)的距離之和為最小.它的答案是：當(dāng)三角形的三個角均小于120°時，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心(即該點(diǎn)與三角形的三個頂點(diǎn)的連線段兩兩成角120°)，該點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知△ABC中，其中∠A=60°，BC=1，P為費(fèi)馬點(diǎn)，則PB+PC-PA的取值范圍是.

分析：本題是一道以三角形“費(fèi)馬點(diǎn)”為背景的解三角形問題，問題的求解其實(shí)是一個多元代數(shù)式最值的求解過程.解題思路是先根據(jù)題中的條件建立三個變量PA，PB，PC之間的等量關(guān)系(多元約束條件)，進(jìn)而通過消元和函數(shù)的方法求解多元代數(shù)式的取值范圍.

解析：方法1(解三角形法)設(shè)PB=x，PC=y，PA=t，

整理有bc=xy+xt+yt，①

在△PAC中，由余弦定理，可得b2=y2+t2-2ytcos 120°=y2+t2+yt，②

在△PAB中，由余弦定理，可得c2=x2+t2-2xtcos 120°=x2+t2+xt，③

在△ABC中，由余弦定理，可得a2=b2+c2-2bccos 60°，即b2+c2-1=bc，④

將①、②、③ 代入④，可得(y2+t2+yt)+(x2+t2+xt)-1=xy+xt+yt，

整理可得x2+y2+2t2-1=xy，⑤

在△PBC中，由余弦定理，可得a2=x2+y2-2xycos 120°，即x2+y2+xy=1，⑥

由⑤與⑥，整理可得t2=xy，

點(diǎn)評：根據(jù)題目條件，通過余弦定理和三角形的面積建立多個方程，化簡整理出變量間的關(guān)系x2+y2+xy=1和t2=xy，再由代換，變量變換，輔以基本不等式的應(yīng)用以及配湊法，將多元變量問題轉(zhuǎn)換為單變量問題，最后利用函數(shù)的性質(zhì)來分析與求解.解決此類多元最值問題的一般套路：整體代換、消元處理或換元處理等.

方法2：(平面幾何法)設(shè)PB=x，PC=y，PA=t，設(shè)∠BAP=α，

則知∠ABP=∠CAP=60°-α，可得△ABP∽△CAP，

點(diǎn)評：根據(jù)題目中的幾何圖形的性質(zhì)特征，通過兩個三角形相似找到變量間的關(guān)系，可以有效簡化數(shù)學(xué)運(yùn)算.對于多元代數(shù)式的取值范圍問題，可以利用整體代換或換元，將多元變量關(guān)系轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題來分析與處理，實(shí)現(xiàn)問題的巧妙轉(zhuǎn)化.

3 歐拉線

例3(遼寧省名校聯(lián)盟2022屆高三10月份聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試卷·11)(多選題)著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理.已知△ABC的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC中點(diǎn)，且AB=4，AC=2，則下列各式正確的有

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分析：此題是以數(shù)學(xué)文化為背景，借助平面幾何性質(zhì)，設(shè)置涉及平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積的綜合應(yīng)用問題，可以通過基底法來處理，也可以通過平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算來解決.

故選擇答案：BCD.

點(diǎn)評：根據(jù)三角形的基本性質(zhì)，結(jié)合三角形的外心、重心、垂心等特殊點(diǎn)構(gòu)建平面向量關(guān)系式，利用平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積運(yùn)算加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)的真假情況.基底法是平面向量中借助三角形法則和平行四邊形法則的理解和掌握來解決問題的方法.

則點(diǎn)A與點(diǎn)H重合，點(diǎn)M與點(diǎn)O重合，

故選擇答案：BCD.

點(diǎn)評：根據(jù)題目條件，利用特殊的直角三角形，構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而利用坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積公式等來分析與判斷.通過坐標(biāo)運(yùn)算來特殊化處理的關(guān)鍵是需要根據(jù)題意，建立平面直角坐標(biāo)系，從而實(shí)現(xiàn)問題的求解.

以三角形為問題場景來創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)文化問題，融合初中與高中數(shù)學(xué)知識，借助知識之間的聯(lián)系與過渡，引進(jìn)數(shù)學(xué)文化情境，使得考生深刻認(rèn)識到全世界各民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的博大精深和源遠(yuǎn)流長.因而，在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考過程中，教師要有意識地加強(qiáng)對數(shù)學(xué)文化類試題的訓(xùn)練，進(jìn)一步加強(qiáng)考生的應(yīng)用意識，提升數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生的探究與創(chuàng)新精神.