基于“三教”理念的“余弦定理”教學(xué)探索

陸婭君，靳 朋，陳明萬

(貴州師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,貴州貴陽,550025)

貴州師范大學(xué)呂傳漢教授于2014年提出教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)(以下簡(jiǎn)稱“三教”)的教育理念，旨在引領(lǐng)課堂教學(xué)，培育學(xué)生的核心素養(yǎng).主張：教思考，重在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維；教體驗(yàn)，重在增進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)感悟；教表達(dá)，重在強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)交流.數(shù)學(xué)教學(xué)要重在“教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)”，既是回應(yīng)教育哲學(xué)對(duì)人成長(zhǎng)的關(guān)切，又是回答核心素養(yǎng)如何走進(jìn)課堂的疑問[1].在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何使“三教”理念落地，成為當(dāng)前教學(xué)實(shí)踐中亟待解決的問題.因此，本文根據(jù)“三教”理念分析“余弦定理”的教學(xué)，談?wù)勅绾螌ⅰ叭獭崩砟钬灤┯谡n堂教學(xué)中，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

1 “三教”理念概述

“教思考”，主要是指學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中從已有的關(guān)系或知識(shí)出發(fā)，通過數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，在教師的引導(dǎo)下發(fā)現(xiàn)和提出問題，尋求解決問題的思路，通過推理運(yùn)算得到新的數(shù)學(xué)知識(shí)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法.

“教體驗(yàn)”，是指教師通過創(chuàng)設(shè)情境搭建起學(xué)生體驗(yàn)的平臺(tái)，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中引導(dǎo)學(xué)生觀察和分析、抽象和概括，使學(xué)生進(jìn)一步獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、問題解決的過程性體驗(yàn)，累積從具體到抽象的經(jīng)驗(yàn).

“教表達(dá)”是指既包括提高學(xué)生的口頭表達(dá)能力，也包括提高學(xué)生的書面表達(dá)能力，對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)而言，主要是指培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言來討論數(shù)學(xué)、表達(dá)數(shù)學(xué)問題、表達(dá)數(shù)學(xué)結(jié)論的能力[2].

2 “三教”理念對(duì)“余弦定理”的教學(xué)啟示

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，直觀感悟

某隧道施工隊(duì)為了開鑿一條山地隧道，需要測(cè)算隧道通過這座山的長(zhǎng)度.如圖1，工程技術(shù)人員先在地面上選一適當(dāng)位置A，量出A到山腳B、C的距離，分別是AC=5 km，AB=8 km，再利用經(jīng)緯儀(測(cè)角儀)測(cè)出A對(duì)山腳BC的張角，∠BAC=60°，如何求出山腳的長(zhǎng)度BC？

圖1

問題1：上述實(shí)際問題可以數(shù)學(xué)化為什么問題？

問題2：已知三角形的兩邊及其夾角，能唯一確定第三邊嗎？

問題3：之前學(xué)習(xí)的正弦定理可以解決這個(gè)問題嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生能直觀感悟出此隧道問題其實(shí)是三角形問題，進(jìn)一步抽象出“三角形”模型，引導(dǎo)學(xué)生分析三角形中邊、角之間的關(guān)系，學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、抽象的過程，知道利用正弦定理無法解決此問題，從而尋求新的方式.在這個(gè)過程中，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)與提出問題的能力.

2.2 問題驅(qū)動(dòng)，探索新知

2.2.1 以問促思，推導(dǎo)定理

問題4：已知△ABC兩邊a、b及其夾角∠C，求第三邊c.

(1)如圖2，當(dāng)∠C=90°時(shí)，求第三邊c.

圖2

生：用勾股定理，即c2=a2+b2.

(2)一般地，已知兩邊a、b及其夾角∠C，如何表示c2？

追問1：回顧之前探究正弦定理的經(jīng)驗(yàn)，同學(xué)們有沒有想到什么探究工具？可以用什么方法溝通三角形邊與角之間的關(guān)系？能用同樣的方法來探究嗎？

追問2：如圖3所示，已知兩邊a、b及其夾角∠C，如何用向量法表示第三邊的平方？

圖3

師：第三條邊所對(duì)應(yīng)的向量與已知的兩條邊所對(duì)應(yīng)的向量具有怎樣的關(guān)系？

師：此時(shí)，如何求第三條邊的平方？

生：兩邊平方.

師：邊的平方也就是向量模的平方，即向量的平方.請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)筆計(jì)算，兩邊平方之后會(huì)得到怎樣的結(jié)論？

師：同學(xué)們還有不同的想法嗎？

圖4

生：互補(bǔ).

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生得出：c2=a2+b2-2abcos∠C.

問題5：已知兩邊b、c及其夾角∠A，第三邊a與它們之間的關(guān)系？

a2=b2+c2-2bccos∠A.

問題6：已知兩邊a、c及其夾角∠B，第三邊b與它們之間的關(guān)系？

b2=a2+c2-2accos∠B.

余弦定理：三角形任意一邊的平方，等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的2倍.

設(shè)計(jì)意圖：在探究三角形三邊的數(shù)量關(guān)系時(shí)，以層層遞進(jìn)的問題引導(dǎo)學(xué)生思考，經(jīng)歷由特殊的直角三角形到銳角三角形的探究過程.首先探究余弦定理的難點(diǎn)在于運(yùn)用向量法，在學(xué)生“憤悱”時(shí)，以追問1引導(dǎo)學(xué)生深入思考怎么溝通三角形邊與角之間的關(guān)系，此時(shí)“類比”的思想根植于學(xué)生心中，逐步教會(huì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維去思考.通過向量法溝通了三角形的邊與角之間的關(guān)系，再通過代數(shù)運(yùn)算得到等式：c2=a2+b2-2abcos∠C，通過觀察、分析、歸納與概括，最終推導(dǎo)出了余弦定理.

2.2.2 以問促思，明確幾何意義

問題7：能否從形的角度解釋余弦定理的意義？

情形1：直角三角形中余弦定理的幾何意義是什么？當(dāng)∠C=90°時(shí)，余弦定理c2=a2+b2-2abcos∠C變成了什么形式？

生：勾股定理，即c2=a2+b2.

師：也就是說，勾股定理是余弦定理的一種特殊情形，那么勾股定理的幾何解釋又是什么呢？在初中階段是如何來證明勾股定理的？

生：以直角三角形的三邊為邊長(zhǎng)向外做出了三個(gè)正方形，以c為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于以a為邊長(zhǎng)的正方形的面積與以b為邊長(zhǎng)的正方形的面積之和，如圖5所示.

情形2：其它三角形中余弦定理的幾何意義是什么？(以銳角三角形為例)

問題8：余弦定理c2=a2+b2-2abcos∠C，其中c2表示以c為邊長(zhǎng)的正方形的面積，a2、b2分別表示另外兩個(gè)正方形的面積(如圖6所示)，那2abcos∠C表示的是哪兩塊圖形的面積？

圖6

追問1：abcos∠C可以表示為a·bcos∠C，也可以表示為b·acos∠C，那么bcos∠C、acos∠C分別表示什么？

追問2：過點(diǎn)A作BC邊的垂線，垂足為E，bcos∠C表示的是什么？a又表示正方形的邊長(zhǎng)，此時(shí)a·bcos∠C表示的是什么？

追問3：類比剛才的作法，應(yīng)該怎樣作輔助線？acos∠C表示的是什么？b又表示正方形的邊長(zhǎng)，此時(shí)b·acos∠C表示的是什么？

如圖7所示，銳角三角形中余弦定理的幾何意義是：以c為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于另外兩個(gè)正方形的面積之和再減去兩個(gè)矩形的面積(陰影部分)，即正方形①的面積等于矩形②的面積與矩形③的面積之和.

圖7

思考：對(duì)于鈍角三角形而言，余弦定理的幾何意義又是什么？

設(shè)計(jì)意圖：為探究余弦定理的幾何意義，從最簡(jiǎn)單的直角三角形入手，引導(dǎo)學(xué)生回顧初中階段所學(xué)習(xí)的勾股定理的幾何意義，并按照此思路進(jìn)行類似的探究，滲透了從特殊到一般、類比的數(shù)學(xué)思想方法，逐步教會(huì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考問題.將問題8分解為3個(gè)追問，以遞進(jìn)式問題啟發(fā)思考，溝通數(shù)形之間的思維橋梁；追問1，通過對(duì)式子的適當(dāng)變形，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考abcos∠C表示的是什么；追問2和追問3突破了如何用代數(shù)表示相應(yīng)的圖形，引導(dǎo)學(xué)生作輔助線、找關(guān)系，經(jīng)歷由數(shù)到形、再到數(shù)的推理過程.最后設(shè)置了思考環(huán)節(jié)，啟發(fā)學(xué)生用類似的方法作進(jìn)一步的探究，將分散的知識(shí)碎片整合聯(lián)系起來，進(jìn)而達(dá)到思維上質(zhì)的飛躍.

2.3 總結(jié)升華，形成圖式

2.3.1 回歸情境，應(yīng)用定理

問題9：情境中的隧道問題能抽象出怎樣的數(shù)學(xué)模型？

問題10：如何應(yīng)用余弦定理解決情境中的隧道問題？

問題11：已知條件有哪些，要求的是什么，如何用數(shù)學(xué)語言來表述？

問題12：觀察一下余弦定理的這三個(gè)等式，請(qǐng)大家對(duì)這三個(gè)等式作一個(gè)變形，每個(gè)角的余弦值應(yīng)該如何來表示？

問題13：變形后得到的公式可以解決什么樣的問題？

設(shè)計(jì)意圖：回歸到實(shí)際問題中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷應(yīng)用余弦定理解決生活問題的過程，總結(jié)出解決問題的一般步驟：首先將情境問題抽象為數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而提煉出數(shù)學(xué)模型，再轉(zhuǎn)化到三角形中進(jìn)行研究，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)；其次是分析清楚已知條件、要求解的問題，進(jìn)而確定解題方案，即已知三角形的兩邊及其夾角，求第三邊，需要列方程求解；最后設(shè)BC的長(zhǎng)為x，根據(jù)余弦定理的等量關(guān)系列方程，進(jìn)而求解出x的值.學(xué)生經(jīng)歷“抽象模型——表達(dá)模型——求解模型”的過程，培養(yǎng)學(xué)生的模型觀念意識(shí)，提升學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題的素養(yǎng).

2.3.2 回顧整合，形成結(jié)構(gòu)

問題14：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你收獲了什么？

追問1：在推導(dǎo)余弦定理以及探究其幾何意義的過程中，你認(rèn)識(shí)到了哪些數(shù)學(xué)思想方法？

追問2：本節(jié)課是如何來探究的？

追問3：在探究的過程中，你聯(lián)想到了哪些知識(shí)點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：回顧整堂課所學(xué)，從中萃取精華，進(jìn)而形成知識(shí)的整體結(jié)構(gòu)和解決問題的一般思路，幫助學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行鞏固與反思，提升學(xué)生用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題的能力.

3 對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)的反思

以上關(guān)于余弦定理的教學(xué)探究，經(jīng)歷“創(chuàng)設(shè)情境、直觀感悟；問題驅(qū)動(dòng)、探索新知；總結(jié)升華，形成圖式”三大環(huán)節(jié)，分別以實(shí)際問題為切入點(diǎn)、問題啟發(fā)為著力點(diǎn)、形成圖式為落腳點(diǎn)，每一環(huán)節(jié)都不同程度地體現(xiàn)了“三教”的教育理念，有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法以及發(fā)展核心素養(yǎng).

3.1 以實(shí)際問題為切入點(diǎn)

在余弦定理教學(xué)中，以生活問題為切入點(diǎn)啟發(fā)學(xué)生去觀察，進(jìn)而抽象出“三角形”模型，旨在讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)來源于生活，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)；以數(shù)學(xué)的眼光抽象出三角形中邊、角間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生尋求新的方式解決此問題，讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)余弦定理的必要性，激發(fā)學(xué)生探究問題的興趣.

3.2 以問題啟發(fā)為著力點(diǎn)

以遞進(jìn)式問題引領(lǐng)學(xué)生逐步深入探究，使學(xué)生的思維以螺旋上升式發(fā)展.在推導(dǎo)余弦定理以及探究其幾何意義的過程中，都是從特殊的直角三角形入手，分別以一個(gè)大問題為核心，再逐步分解為遞進(jìn)式的問題串，滿足學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，激發(fā)學(xué)生對(duì)銳角三角形中邊、角關(guān)系以及余弦定理的幾何意義等問題深度思考，在無形中滲透了從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的思想方法.這種遞進(jìn)式的問題串有助于學(xué)生推理能力的培養(yǎng)，啟迪學(xué)生的思維，促進(jìn)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考問題.

3.3 以形成圖式為落腳點(diǎn)

在定理應(yīng)用環(huán)節(jié)，不能僅停留在表層地解決問題上，應(yīng)該學(xué)會(huì)歸納、表達(dá)建模步驟，形成知識(shí)的綜合結(jié)構(gòu).在應(yīng)用余弦定理解決問題之后，不僅要讓學(xué)生學(xué)懂，還要融會(huì)貫通，只有對(duì)建模的思想和方法進(jìn)行綜合提煉，才能在下次運(yùn)用時(shí)準(zhǔn)確定位數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).