數(shù)學(xué)概念的精致化教學(xué)
——談高中導(dǎo)數(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)思考*

江海華 吳琳琳

(江蘇省太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué) 215400)

導(dǎo)數(shù)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他自然學(xué)科的基礎(chǔ)，是研究現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的工具，但是建立在“無(wú)限逼近”的過(guò)程之中的導(dǎo)數(shù)概念，與初等數(shù)學(xué)所涉及的一系列思想方法有著本質(zhì)的區(qū)別.這難免給一線教師造成很大的壓力，甚至有將導(dǎo)數(shù)“驅(qū)逐”出高中數(shù)學(xué)課本的呼聲.需要強(qiáng)調(diào)的是，導(dǎo)數(shù)和微積分的發(fā)展經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的過(guò)程，這是一門(mén)早就被論證過(guò)的科學(xué)理論.不可否認(rèn)這一新理論在創(chuàng)世初期，清晰和嚴(yán)格的推理方法逐漸被“直觀”和“本能”所代替，但是這種看似模糊、站不住腳的新方法帶來(lái)的神奇效果卻在實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮了巨大的威力.眾多的歷史事實(shí)也表明，在探尋這一新方法嚴(yán)密的理論依據(jù)的過(guò)程中，數(shù)學(xué)經(jīng)歷了一段前所未有的高速發(fā)展.因此我們必須看到，對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的深入學(xué)習(xí)能夠促進(jìn)學(xué)生全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值，使學(xué)生對(duì)變量數(shù)學(xué)(特別是非線性關(guān)系)的一般研究思想和方法有新的感悟，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，感受數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的一般規(guī)律，深刻體會(huì)導(dǎo)數(shù)的工具屬性是人類(lèi)的理性思維和方法在研究實(shí)際問(wèn)題中取得的偉大勝利，這有非常重要的指導(dǎo)和啟發(fā)意義.同時(shí)，在這一曲折的追求真理的過(guò)程中出現(xiàn)的一系列新思想、新方法及名人軼事都是實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)育人”的絕佳素材.

為進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)及工具屬性的認(rèn)識(shí)，筆者將從以下幾個(gè)方面，談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)思考：

1 高中數(shù)學(xué)研究導(dǎo)數(shù)的必要性與必然性

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，函數(shù)模型可以幫助我們解決許多實(shí)際問(wèn)題，而實(shí)際應(yīng)用中充斥著大量最優(yōu)化的相關(guān)問(wèn)題，研究函數(shù)的單調(diào)性成為必然.一方面，盡管在必修一中已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)單調(diào)性的定義，但是通過(guò)定義法去判別及確定某函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是極為困難的，這必然引導(dǎo)著人們?nèi)ふ腋悠毡榈姆椒?另一方面，隨著物理學(xué)家研究問(wèn)題的逐步深入，往往需要數(shù)學(xué)家提供更精確的模型信息，如變化率等.華羅庚先生提到：“數(shù)無(wú)形時(shí)少直覺(jué)，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微.”這就為借助函數(shù)圖象，利用代數(shù)的手段精細(xì)化地研究函數(shù)的基本性質(zhì)提供了可能.在導(dǎo)數(shù)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)時(shí)刻秉持如何精細(xì)化研究函數(shù)這一整體目標(biāo)，切不可因某些細(xì)枝末節(jié)的問(wèn)題弱化了學(xué)生感受導(dǎo)數(shù)工具屬性的情感體驗(yàn).“不謀全局者不足謀一域”，導(dǎo)數(shù)教學(xué)站位要高，導(dǎo)數(shù)方法在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性要在課堂教學(xué)中著重體現(xiàn).如果學(xué)生在這方面的認(rèn)識(shí)是蒼白的，在以后獨(dú)立面對(duì)具體的函數(shù)模型時(shí)必然會(huì)陷入模糊和不知所措的困境.因此，在導(dǎo)數(shù)教學(xué)的過(guò)程中，教師要以豐富的具體實(shí)例向?qū)W生展示研究問(wèn)題的基本思路和方法，在比較與反思中強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中不可代替的工具屬性.

2 導(dǎo)數(shù)教學(xué)過(guò)程中幾個(gè)關(guān)鍵概念的理解與處理建議

從某種程度上說(shuō)，高中數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)教學(xué)確實(shí)存在著某些不可避免的“先天不足”，要克服這種“先天不足”必然要談到導(dǎo)數(shù)教學(xué)的“度”怎么把握.而這個(gè)“度”很大程度就依賴(lài)于學(xué)生對(duì)無(wú)限逼近與“量變到質(zhì)變”“近似與明確”的哲學(xué)原理的理解深度與層次.若只將導(dǎo)數(shù)(求導(dǎo))作為一種規(guī)則步驟去反復(fù)操練，則并沒(méi)有突出導(dǎo)數(shù)的核心作用.

2.1 無(wú)窮小量與函數(shù)連續(xù)

2.2 導(dǎo)數(shù)(求導(dǎo))概念教學(xué)的處理建議

教材中通過(guò)氣溫曲線圖研究氣溫“陡增”的數(shù)學(xué)意義入手，引入了“平均變化率”這一數(shù)學(xué)概念，筆者認(rèn)為鋪墊還不夠平穩(wěn).盡管學(xué)生了解平均變化率的計(jì)算方法，但是對(duì)于教材中為什么要研究這一概念卻不知所云.不妨深究一下在課堂教學(xué)中如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：量化曲線“陡峭”方法的淵源，可提出如下問(wèn)題串，讓學(xué)生思考：

問(wèn)題1通過(guò)觀察直線的圖象，我們可以很清晰地知道直線的傾斜程度，一般我們用直線的哪個(gè)代數(shù)量來(lái)刻畫(huà)呢？這個(gè)代數(shù)量是怎么計(jì)算的？

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線的斜率這一代數(shù)量可以用來(lái)刻畫(huà)直線的傾斜程度(變化趨勢(shì))，明確直線斜率的求法(差商的形式).

問(wèn)題2給出一個(gè)一般的曲線y=f(x)的圖象(這時(shí)可以用教材中的氣溫曲線圖)，它不再是直線形態(tài)，若以(x0,f(x0))為一個(gè)基準(zhǔn)點(diǎn)，你能否作出一條直線來(lái)輔助判別曲線y=f(x)的圖象在某點(diǎn)x=x0處的變化趨勢(shì)？這條直線的斜率如何計(jì)算？

問(wèn)題3你所作的這條直線總能判別該曲線y=f(x)的圖象在該點(diǎn)x=x0處的變化規(guī)律嗎？為什么？如果不能，原因是什么？該如何改進(jìn)呢？

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)作不同的割線并計(jì)算其斜率，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并不是所有的答案都和曲線y=f(x)圖象直觀上看到的一致.這種差異性為學(xué)生發(fā)現(xiàn)不是所有的割線都滿足條件做好了鋪墊，割線到切線的提出呼之欲出，這是在解釋“局部的以直代曲”的必要性.

圖1 圖2

問(wèn)題4從代數(shù)角度如何區(qū)別在曲線上點(diǎn)(x0,f(x0))左右兩端作割線？這時(shí)自變量的增量Δx→0如何理解？

設(shè)計(jì)意圖得到Δx可正也可負(fù)的結(jié)論，當(dāng)Δx取負(fù)值時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)在(x0,f(x0))的左側(cè)，當(dāng)Δx取正值時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)在(x0,f(x0))的右側(cè).而自變量的增量Δx→0就相當(dāng)于另一個(gè)點(diǎn)無(wú)限靠近點(diǎn)(x0,f(x0))，理解這種趨向過(guò)程是包含點(diǎn)(x0,f(x0))兩側(cè)的，但是又不是同一個(gè)點(diǎn).進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)趨向于0的Δx不是一個(gè)確定的常數(shù)，而是一個(gè)要多小有多小的變量.

問(wèn)題5(如果學(xué)生回答問(wèn)題4時(shí)出現(xiàn)問(wèn)題)通過(guò)作圖軟件，將曲線y=f(x)在某點(diǎn)x=x0處的圖象放大很多倍，引導(dǎo)學(xué)生從直觀發(fā)現(xiàn)“局部以直代曲”的合理性(圖2)，并提問(wèn)：這一過(guò)程如何用代數(shù)的手段去刻畫(huà)，這是在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)讓自變量的增量Δx→0的必要性.

設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)差商的極限其實(shí)就是曲線y=f(x)在某點(diǎn)x=x0處的切線斜率，但是此時(shí)學(xué)生不知道如何計(jì)算.究其原因，還是不理解自變量的增量Δx→0意味著什么.這里教師可以通過(guò)物理中的瞬時(shí)速度加以解釋.

問(wèn)題8如何理解函數(shù)y=|x|在x=0處不可導(dǎo)？

設(shè)計(jì)意圖一方面給學(xué)生講清楚，并不是與函數(shù)圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線就是該函數(shù)的切線.另一方面，若函數(shù)在定義域內(nèi)的某一點(diǎn)不可導(dǎo)，從幾何上看有什么特征(函數(shù)圖象在該點(diǎn)處是“尖”的，或者說(shuō)不光滑)？從代數(shù)上看又該如何衡量(差商在不同的趨向下不唯一)？

在上述問(wèn)題串的探究過(guò)程中，從“形”與“數(shù)”兩個(gè)方面逐步深入地解釋了導(dǎo)數(shù)(求導(dǎo))形式所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)本質(zhì)：局部“以直代曲”的合理性與可操作性.

2.3 原函數(shù)f(x)與導(dǎo)函數(shù)f′(x)的關(guān)系與聯(lián)系

通過(guò)原函數(shù)f(x)，可以求出曲線y=f(x)在x處的高度.我們還可以通過(guò)研究曲線在動(dòng)點(diǎn)P(x,f(x))處的斜率，因?yàn)檫@也是一個(gè)確定的常數(shù)，于是可將其視作是x的一個(gè)新函數(shù)，記作f′(x).這就和由變量x的任何值得到f(x)的情形一樣：f(x)是曲線y=f(x)在點(diǎn)x的高度，f′(x)是曲線y=f(x)在點(diǎn)x的斜率.當(dāng)x的值發(fā)生改變時(shí)，可以通過(guò)f′(x)的值來(lái)描述曲線y=f(x)的變化規(guī)律.若一個(gè)點(diǎn)有正的導(dǎo)數(shù)，即f′(x)>0，就表示該點(diǎn)曲線上升(y增加)，反之亦然.特別地，若f′(x)=0，就表示曲線在x處是水平方向.特別需要指出的是，將y=f(x)上下平移得到一個(gè)新函數(shù)，并不會(huì)讓新函數(shù)在x處的變化規(guī)律發(fā)生改變.換句話說(shuō)，f′(x)只是刻畫(huà)函數(shù)變化規(guī)律的代數(shù)量，它的大小與函數(shù)值f(x)的大小并沒(méi)有直接的關(guān)系，而這一點(diǎn)是學(xué)生理解極大值與極小值沒(méi)有必要聯(lián)系(不能判斷極大值、極小值誰(shuí)大誰(shuí)小)的基礎(chǔ).教師在教學(xué)過(guò)程中，要通過(guò)大量的函數(shù)圖象實(shí)例向?qū)W生展示這一基本事實(shí)，在一系列正反例辨析中達(dá)到對(duì)該概念的深入理解.

2.4 函數(shù)極值概念的處理建議

按照教材編排的順序看，先研究的是函數(shù)的極大極小值，再研究函數(shù)的最大最小值.這種設(shè)計(jì)符合研究函數(shù)的自然流程，但是從知識(shí)發(fā)生發(fā)展的角度來(lái)說(shuō)，我們應(yīng)該先提出如何尋找函數(shù)最大最小值的問(wèn)題，而極大極小值只是一個(gè)“過(guò)渡性、階梯性”的概念，講清楚極值在求函數(shù)最值中扮演的“輔助”屬性，是我們研究極值的邏輯起點(diǎn).在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，我們可以設(shè)計(jì)如下的問(wèn)題串.

問(wèn)題1假設(shè)函數(shù)f(x)是定義在閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)(通俗地說(shuō)，該函數(shù)圖象可以一筆畫(huà))，你們不妨親自動(dòng)手畫(huà)一畫(huà)，然后根據(jù)你所畫(huà)的圖象，判斷：函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上是否必有最大最小值？

問(wèn)題2這堂課主要是利用導(dǎo)數(shù)工具來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，請(qǐng)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義判斷你畫(huà)的函數(shù)的圖象是否符合f(x)是定義在閉區(qū)間[a,b]上的可導(dǎo)函數(shù)？如果不是，請(qǐng)你再另舉一個(gè)滿足條件的例子.

問(wèn)題3標(biāo)出函數(shù)圖象中的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，談?wù)勀愕陌l(fā)現(xiàn).

問(wèn)題4(引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出兩種情形：最值點(diǎn)不在兩端點(diǎn)處取到，最值點(diǎn)在兩端點(diǎn)處取到)若最值點(diǎn)不在兩端點(diǎn)處取到，函數(shù)圖象在該點(diǎn)處有何特征？(總結(jié)出此時(shí)f′(x0)=0)此時(shí)函數(shù)f(x)在x=x0處兩側(cè)具有怎么的變化規(guī)律？

問(wèn)題5若f′(x0)=0，則函數(shù)f(x)一定在x=x0處取到最大值或最小值嗎？若不是，請(qǐng)舉一個(gè)反例加以說(shuō)明.特別給出以下兩個(gè)例子來(lái)說(shuō)明滿足f′(x0)=0的點(diǎn)(x0,f(x0))不一定是函數(shù)的最值點(diǎn)，然后給出函數(shù)極值點(diǎn)的定義.

圖3 圖4

問(wèn)題6通過(guò)上述分析，請(qǐng)你給出求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在某閉區(qū)間上的最值的方法.

最值是函數(shù)的一個(gè)非常重要的特征(前提得有)，大量的生活實(shí)例中都需要尋找某函數(shù)模型的最優(yōu)解(很大一部分就屬于最值問(wèn)題).通過(guò)上述一系列的探究活動(dòng)，學(xué)生可以清晰地看到：連續(xù)的可導(dǎo)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上必存在最大、最小值，最值要么在端點(diǎn)處取到，要么不在兩端點(diǎn)處取到.若最值點(diǎn)不在兩端點(diǎn)處取到，函數(shù)圖象在該點(diǎn)處呈水平狀態(tài)，即f′(x0)=0.反之，若f′(x0)=0，則函數(shù)f(x)不一定在x=x0處取到最大值或最小值.在大量的正反實(shí)例辨析中，筆者相信，學(xué)生可以真正明白：一般地，研究函數(shù)的最值要先研究函數(shù)的極值，極值在求函數(shù)最值中扮演著“輔助”角色.

2.5 函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)

雖然導(dǎo)數(shù)f′(x)能夠刻畫(huà)曲線y=f(x)的“陡峭程度”，但是卻無(wú)法分辨曲線的彎曲程度.那我們追求的所謂精細(xì)化研究函數(shù)的形態(tài)又該如何體現(xiàn)呢？如圖5.

圖5

從圖象上看，盡管函數(shù)圖象在原點(diǎn)兩側(cè)均是呈上升狀態(tài)，但是能明顯發(fā)現(xiàn)，這兩種上升狀態(tài)(曲線的彎曲形態(tài))是不同的，那又該用什么代數(shù)量來(lái)刻畫(huà)這個(gè)不同點(diǎn)呢(這是研究二階導(dǎo)數(shù)的原因之一)？二階導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)分析中是一個(gè)非常重要的概念，因?yàn)閒″(x)表示f′(x)的變化率，給出了曲線彎曲程度的代數(shù)表示方法.引導(dǎo)學(xué)生探究：先在曲線y=f(x)的圖象上任取一點(diǎn)x，作出在x處的切線，隨著自變量x逐漸變大，切線的傾斜程度越來(lái)越大，這一發(fā)現(xiàn)如何用代數(shù)量來(lái)表示？(f′(x)表示在x處的切線斜率，即f′(x)越來(lái)越大)如果繼續(xù)用導(dǎo)數(shù)的觀點(diǎn)看，等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)f′(x)的導(dǎo)數(shù)大于0，反之亦然.導(dǎo)函數(shù)f′(x)的導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中稱(chēng)為函數(shù)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)，記為f″(x).如果f″(x)在一個(gè)區(qū)間是正的，那么f′(x)的變化率是正的.一個(gè)函數(shù)的變化率是正的是指函數(shù)值隨x的增加而增加.因此，f″(x)>0是指當(dāng)x增加時(shí)斜率f′(x)增加，于是在f′(x)是正的地方函數(shù)變陡峭，而在f′(x)是負(fù)的地方函數(shù)變平緩，此時(shí)就說(shuō)曲線是下凸的，如圖6.同理，如果f″(x)<0，那么曲線y=f(x)是向上凹的，如圖7.要得到這一結(jié)論，不可操之過(guò)急，建議多用幾個(gè)常見(jiàn)的函數(shù)模型圖象來(lái)加以說(shuō)明和辨析，強(qiáng)化幾何直觀和代數(shù)刻畫(huà)的聯(lián)系.

圖6 圖7

雖然在高中階段函數(shù)f(x)的二階導(dǎo)數(shù)不是必學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，但從精致化研究函數(shù)性質(zhì)的角度來(lái)看，這是一個(gè)繞不過(guò)去的概念，從某種程度真正反映了學(xué)生的思維層次和理解深度，必然成為考查的重點(diǎn).

3 導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)反思

導(dǎo)數(shù)問(wèn)題一直是各省份高考數(shù)學(xué)中的難題，從近幾年全國(guó)卷導(dǎo)數(shù)大題的命題思路來(lái)看，往往是選擇我們非常熟悉的初等函數(shù)作為題干基礎(chǔ)，并沒(méi)有在刻意制造一個(gè)形式復(fù)雜的函數(shù)模型；盡管起點(diǎn)往往很低，但還是讓大部分考生感到十分吃力，各種求導(dǎo)、分類(lèi)討論、運(yùn)算技巧蜂擁而上，洋洋灑灑之后學(xué)生思路基本已經(jīng)湮沒(méi)在細(xì)枝末節(jié)的汪洋大海，對(duì)于題目的要求早已拋諸腦后.作為一線的教師，我們要深刻思考出現(xiàn)這種問(wèn)題的本質(zhì)原因在哪里，是題目做得太少嗎？筆者認(rèn)為，恰恰是在日常的數(shù)學(xué)教學(xué)中我們花費(fèi)了過(guò)多的時(shí)間在所謂的數(shù)學(xué)技巧之上，在解決眾多“結(jié)構(gòu)良好”的問(wèn)題中，幾乎迷失了教學(xué)方向，讓學(xué)生錯(cuò)誤地相信研究數(shù)學(xué)其實(shí)是有一套固定程序的.如果意識(shí)不到這一點(diǎn)，數(shù)學(xué)教學(xué)永遠(yuǎn)是僵化低效的.我們要從高考命題的角度去洞察數(shù)學(xué)新課改的方向.學(xué)生在實(shí)戰(zhàn)中的潰不成軍要引起我們足夠的重視，改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式一直是數(shù)學(xué)教育改革的核心，而改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式在很大程度上依賴(lài)于教師的教學(xué)方式.在講授數(shù)學(xué)某些核心概念的過(guò)程中，要避免粗放的引導(dǎo)和“快餐式”的啟發(fā).正如章建躍先生所說(shuō)[1]：在知識(shí)形成過(guò)程的“關(guān)鍵點(diǎn)”上要精致，在運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生解決問(wèn)題策略的“關(guān)節(jié)點(diǎn)”上要精致，在數(shù)學(xué)知識(shí)之間聯(lián)系的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”上要精致.我們有理由相信，數(shù)學(xué)概念的精致化教學(xué)是引導(dǎo)學(xué)生走向有深度、有廣度的數(shù)學(xué)課堂的一項(xiàng)有效手段.