注重抽象建模 凸顯概念本質(zhì)
——2021年全國乙卷兩道高考題引發(fā)的思考

符強如

(新疆烏魯木齊市實驗學(xué)校 830026)

當(dāng)前許多課堂被應(yīng)試需求主導(dǎo)，數(shù)學(xué)教學(xué)嚴重異化為解題的模仿與訓(xùn)練，大部分時間培養(yǎng)的只是學(xué)生進行機械運算和演繹推理的能力，很難全面且有深度地培育學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng).在平常的數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念教學(xué)是培育學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維素養(yǎng)的主要路徑.數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的涵育，離不開對概念內(nèi)涵與意義的認知和對知識發(fā)展的體驗，也離不開對知識關(guān)系結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)與掌握，以及應(yīng)用知識解決問題過程中對數(shù)學(xué)思想、精神的感悟[1].筆者對2021年全國高考乙卷理科第9題和第19題調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，已嚴重異化為解題模仿與訓(xùn)練的數(shù)學(xué)課堂不能真正激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的必要性和合理性的感悟嚴重缺乏，很難直接產(chǎn)生學(xué)習(xí)新概念的情感需求和思維需求.這種急功近利的做法只能讓學(xué)生獲得碎片化的、零散的知識記憶和僵化的思維，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)停留在機械表層,難以讓學(xué)生構(gòu)筑厚實的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，形成必要的探究發(fā)現(xiàn)能力，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)得不到有效的培養(yǎng)[2].下面以2021年全國高考乙卷理科第9題和第19題為具體案例，在進行多角度解法研究的基礎(chǔ)上，談?wù)剬W(xué)生在解題過程中概念理解的具體形式，以及如何進行概念教學(xué)，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì).

1 試題呈現(xiàn)及多視角探析

(1)證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；(2)略.

這道題是2021年高考全國乙卷理數(shù)第19題，從問題表述來看，表現(xiàn)樸實,題干清晰；從內(nèi)容上看，主要考查等差數(shù)列的相關(guān)知識和概念，考查考生的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng).在與學(xué)生溝通探討中發(fā)現(xiàn)，這道題的得分不容樂觀，主要體現(xiàn)在對此題第(1)問概念理解不到位.品析第(1)問，初嘗平淡,深酌而顯深厚蘊藉,余味綿長.

視角1 “消元”角度，消去Sn.

視角2 開門見山應(yīng)用等差數(shù)列定義式bn-bn-1=d(常數(shù)).

視角3 通過等差中項2bn-1=bn+bn-2(n≥3).

評析視角3也是在探究視角2過程中演變而來的，就是對主干條件變形過程中通過等差中項2bn=bn-1+bn+1(n≥2)來證明.學(xué)生直接從等差中項去證明是比較困難的，但是數(shù)列的概念反應(yīng)的特征就是列數(shù)，學(xué)生可以通過數(shù)學(xué)歸納法去求解，也可以先求出Sn，再求bn.

題2(2021年全國乙卷題9)魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測量海島的高.如圖1，點E，H，G在水平線AC上，DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，EG稱為“表距”，GC和EH都稱為“表目距”，GC與EH的差稱為“表目距的差”，則海島的高AB=( ).

圖1

此題是2021年高考全國乙卷理科數(shù)學(xué)第9題，主要考查正切函數(shù)的相關(guān)知識和概念.與上一題類似，此題的表述樸實清晰，但與學(xué)生溝通后發(fā)現(xiàn)，花了大量時間去梳理關(guān)系，得分卻不高，主要問題是對正切函數(shù)概念的理解層次欠缺，也缺乏數(shù)學(xué)建模的意識.其實細細品味，我們會發(fā)現(xiàn)此題的魅力.

解法1 (正切函數(shù)概念)

圖2

評析解法1由人教A版教材必修五第一章1.2節(jié)“應(yīng)用舉例”例3演變而來，就是在對正切函數(shù)概念理解深刻的基礎(chǔ)上，由概念進行數(shù)學(xué)建模的具體體現(xiàn).調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若學(xué)生對概念理解有深度，就能體現(xiàn)出解法1，但是對大部分學(xué)生而言是有難度的.與學(xué)生溝通發(fā)現(xiàn)，不少人是花費了大量時間去尋找邊之間的關(guān)系，現(xiàn)展示具體解法.

解法2 直角三角形相似

評析解法2主要是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與直角三角形的邊角關(guān)系來求解，現(xiàn)在看來屬于基礎(chǔ)題.部分學(xué)生反而花了大量時間去尋找關(guān)系，有的甚至還沒有得出答案，其主要原因是學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)沒有得到發(fā)展，不能用數(shù)學(xué)視角看待現(xiàn)實的問題，在數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用學(xué)習(xí)中，沒有形成一定的知識體系.

2 概念教學(xué)感悟

數(shù)學(xué)概念教學(xué)首先需要研究“為什么學(xué)習(xí)此概念”，激活學(xué)習(xí)新概念的情感需求和認知需求；其次需要研究“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的哪些內(nèi)容”，挖掘數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)及生成過程等[3].所以在概念教學(xué)中，學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維素養(yǎng)的形成，基于其對諸多和概念相關(guān)聯(lián)知識的整體理解與認識，需要教師適當(dāng)騰出時間對引入概念的必要性和歷史背景等作較詳細說明.獲得數(shù)學(xué)概念的主要思維方式是抽象與概括，而抽象與概括是一種思維的體驗和領(lǐng)悟.因而，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)盡可能多地讓學(xué)生親歷概念的抽象與概括過程，在不斷的體驗與領(lǐng)悟中將經(jīng)驗與概念、直覺與邏輯整體融合并凝聚、升華形成素養(yǎng).最重要的是要遵循知識的發(fā)生發(fā)展過程和學(xué)生頭腦中與新知識有實質(zhì)性聯(lián)系的適當(dāng)觀念，以學(xué)生認知結(jié)構(gòu)中與新概念有自然的、內(nèi)在聯(lián)系的已有知識作為新概念的生長點，使新舊概念之間產(chǎn)生非人為和實質(zhì)性聯(lián)系.

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)需要數(shù)學(xué)建模思維素養(yǎng)，需要其從數(shù)學(xué)視角看問題、用數(shù)學(xué)方法處理問題的這種意識與能力，也是學(xué)以致用精神的體現(xiàn)，即在研究一個現(xiàn)實問題時，先從問題信息抽象出形式化的數(shù)學(xué)模型，再根據(jù)模型求解結(jié)果統(tǒng)一處理同類現(xiàn)實問題的這種思維過程.數(shù)學(xué)建模以描述客觀事物的數(shù)形特征和內(nèi)在聯(lián)系所建立的模型和眾多的數(shù)學(xué)概念、公式和定理等知識一樣，都可以廣泛應(yīng)用于現(xiàn)實世界.

在概念的應(yīng)用教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生整體理解數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)及其思想方法，讓學(xué)生了解問題的現(xiàn)實意義及其所蘊含的數(shù)形特征，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號語言將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，通過聯(lián)想對問題選取適當(dāng)?shù)那乙褜W(xué)的知識模型.這需要教師多引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度觀察、發(fā)現(xiàn)并提出有意義的問題，其中往往會與已學(xué)的數(shù)學(xué)概念、知識和思想方法有廣泛聯(lián)系，能讓學(xué)生更深刻理解概念內(nèi)涵、意義及作用.

3 結(jié)束語

從概念教學(xué)深化學(xué)生對概括過程的體驗與內(nèi)涵的認知來看，必須讓學(xué)生“知其然”亦“知其所以然”，不要僅停留在簡單機械的記憶與模仿.應(yīng)努力提高學(xué)生進行探究發(fā)現(xiàn)與關(guān)系建構(gòu)的能力，可以讓學(xué)生頭腦中孤立的知識形成有機體系和完整結(jié)構(gòu)，走出零散型解題教學(xué)與碎片化學(xué)習(xí)的困境，讓學(xué)生學(xué)會如何將所學(xué)知識靈活應(yīng)用于現(xiàn)實問題情境，遠離目標(biāo)指向迷糊和被無意義問題填充的課堂教學(xué).唯有如此，我們的課堂才能真正優(yōu)質(zhì)高效，學(xué)生認知結(jié)構(gòu)才能更加穩(wěn)定，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育才能更深入落實.